Luyện tập Bài §3. Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương, chương I – Căn bậc hai. Căn bậc ba, sách giáo khoa toán 9 tập một. Nội dung bài giải bài 22 23 24 25 26 27 trang 15 16 sgk toán 9 tập 1 bao gồm tổng hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài tập phần đại số có trong SGK toán để giúp các em học sinh học tốt môn toán lớp 9.
Lý thuyết
1. Định lí
Với hai số $a$ và $b$ không âm, ta có: \(\sqrt{a}.\sqrt{b}=\sqrt{ab}\)
Chú ý: định lý trên có thể mở rộng cho tích của nhiều số không âm.
2. Áp dụng
a) Quy tắc khai phương một tích
Muốn khai phương một tích của các số không âm, ta có thể khai phương từng thừa số rồi nhân các kết quả lại với nhau.
b) Quy tắc nhân các căn bậc hai
Muốn nhân các căn bậc hai của các số không âm, ta có thể nhân các số dưới dấu căn với nhau rồi khai phương kết quả đó.
Chú ý: Một cách tổng quát, với hai biểu thức A và B không âm, ta có: \(\sqrt{A}.\sqrt{B}=\sqrt{AB}\)
Dưới đây là Hướng dẫn giải bài 22 23 24 25 26 27 trang 15 16 sgk toán 9 tập 1. Các bạn hãy đọc kỹ đầu bài trước khi giải nhé!
Luyện tập
Giaibaisgk.com giới thiệu với các bạn đầy đủ phương pháp giải bài tập phần đại số 9 kèm bài giải chi tiết bài 22 23 24 25 26 27 trang 15 16 sgk toán 9 tập 1 của bài §3. Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương trong chương I – Căn bậc hai. Căn bậc ba cho các bạn tham khảo. Nội dung chi tiết bài giải từng bài tập các bạn xem dưới đây:
1. Giải bài 22 trang 15 sgk Toán 9 tập 1
Biến đổi các biểu thức dưới dấu căn thành dạng tích rồi tính:
a) \( \sqrt{13^{2}- 12^{2}}\); b) \( \sqrt{17^{2}- 8^{2}}\);
c) \( \sqrt{117^{2} – 108^{2}}\); d) \( \sqrt{313^{2} – 312^{2}}\).
Bài giải:
a) Ta có:
\(\sqrt{13^{2}- 12^{2}}=\sqrt{(13+12)(13-12)}\)
\(=\sqrt{25.1}=\sqrt{25}\) \(=\sqrt{5^2}=|5|=5\).
b) Ta có:
\(\sqrt{17^{2}- 8^{2}}=\sqrt{(17+8)(17-8)}\)
\(=\sqrt{25.9}=\sqrt{25}.\sqrt{9}\)
\(=\sqrt{5^2}.\sqrt{3^2}=|5|.|3|\) \(=5.3=15\).
c) Ta có:
\(\sqrt{117^{2} – 108^{2}} =\sqrt{(117-108)(117+108)}\)
\(=\sqrt{9.225}\) \(=\sqrt{9}.\sqrt{225}\)
\(=\sqrt{3^2}.\sqrt{15^2}=|3|.|15|\) \(=3.15=45\).
d) Ta có:
\(\sqrt{313^{2} – 312^{2}}=\sqrt{(313-312)(313+312)}\)
\(=\sqrt{1.625}=\sqrt{625}\) \(=\sqrt{25^2}=|25|=25\).
2. Giải bài 23 trang 15 sgk Toán 9 tập 1
Chứng minh.
a) \((2 – \sqrt{3})(2 + \sqrt{3}) = 1\);
b) \((\sqrt{2006} – \sqrt{2005})\) và \((\sqrt{2006} + \sqrt{2005})\) là hai số nghịch đảo của nhau.
Bài giải:
a) Ta có:
\((2 – \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})=2^2-(\sqrt{3})^2=4-3=1\) (đpcm)
b) Muốn chứng minh hai số là nghịch đảo của nhau ta chứng minh tích của chúng bằng \(1\).
Ta tìm tích của hai số \((\sqrt{2006} – \sqrt{2005})\) và \((\sqrt{2006} + \sqrt{2005})\)
Ta có:
\((\sqrt{2006} + \sqrt{2005}).(\sqrt{2006} – \sqrt{2005})\)
= \((\sqrt{2006})^2-(\sqrt{2005})^2\) \(=2006-2005=1\)
Do đó \( (\sqrt{2006} + \sqrt{2005}).(\sqrt{2006} – \sqrt{2005})=1\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{2006}-\sqrt{2005}=\dfrac{1}{\sqrt{2006}+\sqrt{2005}}\)
Vậy hai số trên là nghịch đảo của nhau!
3. Giải bài 24 trang 15 sgk toán 9 tập 1
Rút gọn và tìm giá trị (làm tròn đến chữ số thập phân thứ \(3\)) của các căn thức sau:
\(a)\) \( \sqrt{4(1 + 6x + 9x^{2})^{2}}\) tại \(x = – \sqrt 2 \);
\(b)\) \( \sqrt{9a^{2}(b^{2} + 4 – 4b)}\) tại \(a = – 2;\,\,b = – \sqrt 3 \).
Bài giải:
a) Ta có:
\( \sqrt{4(1 + 6x + 9x^{2})^{2}}\) \(=\sqrt {4}. \sqrt {{{(1 + 6x + 9{x^2})}^2}} \)
\(=\sqrt{4}.\sqrt{(1+2.3x+3^2.x^2)^2}\)
\(=\sqrt{2^2}.\sqrt{\left[1^2+2.3x+(3x)^2\right]^2}\)
\(=2.\sqrt {{{\left[ {{{\left( {1 + 3x} \right)}^2}} \right]}^2}} \)
\(=2.\left|(1+3x)^2\right|\) \(=2(1+3x)^2\).
Vì \( (1+3x)^2 \ge 0 \) với mọi \(x\) nên \(\left|(1+3x)^2\right|=(1+3x)^2 \).
Thay \(x = – \sqrt 2 \) vào biểu thức rút gọn trên, ta được:
\( 2{\left[ {1 + 3.(-\sqrt 2) } \right]^2}=2(1-3\sqrt{2})^2\).
Bấm máy tính, ta được: \( 2{\left( {1 – 3\sqrt 2 } \right)^2} \approx 21,029\).
b) Ta có:
\( \sqrt{9a^{2}(b^{2} + 4 – 4b)} =\sqrt{3^2.a^2.(b^2-4b+4)}\)
\(=\sqrt{(3a)^2.(b^2-2.b.2+2^2)}\)
\(=\sqrt{(3a)^2}. \sqrt{(b-2)^2}\)
\(=\left|3a\right|. \left|b-2\right| \)
Thay \(a = -2\) và \(b = – \sqrt 3 \) vào biểu thức rút gọn trên, ta được:
\(\left| 3.(-2)\right|. \left| -\sqrt{3}-2\right| =\left|-6\right|.\left|-(\sqrt{3}+2) \right|\)
\(=6.(\sqrt{3}+2)=6\sqrt{3}+12\).
Bấm máy tính, ta được: \(6\sqrt{3}+12 \approx 22,392\).
4. Giải bài 25 trang 16 sgk Toán 9 tập 1
Tìm \(x\) biết:
a) \( \sqrt{16x}= 8\); b) \( \sqrt{4x} = \sqrt{5}\);
c) \( \sqrt{9(x – 1)} = 21\); d) \( \sqrt{4(1 – x)^{2}}- 6 = 0\).
Bài giải:
a) Điều kiện: \(16x\geq 0 \Leftrightarrow x \ge 0\).
♦ Cách 1: Bình phương cả hai vế, ta được:
\(\sqrt{16x}= 8 \Leftrightarrow ( \sqrt{16x})^2=8^2\)
\(\Leftrightarrow |16x|=64\) \(\Leftrightarrow 16.|x|=64\)
\(\Leftrightarrow |x|=\dfrac{64}{16}\) \(\Leftrightarrow |x| = 4\)
\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 4(tm) \hfill \cr
x = – 4(loại) \hfill \cr} \right.\)
♦ Cách 2: Áp dụng quy tắc khai phương một tích, ta được:
\(\sqrt{16x}=8 \Leftrightarrow \sqrt{16}.\sqrt{x}=8\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{4^2}.\sqrt{x}=8 \) \(\Leftrightarrow 4\sqrt{x}=4.2\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{x}=2 \) \( \Leftrightarrow (\sqrt{x})^2=2^2\)
\(\Leftrightarrow |x| = 4\)
\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 4(tm) \hfill \cr
x = – 4(loại) \hfill \cr} \right.\)
Vậy \(x=4\).
b) Điều kiện: \(4x\geq 0 \Leftrightarrow x \ge 0\).
Khi đó: \(\sqrt{4x} = \sqrt{5} \Leftrightarrow (\sqrt{4x})^2=(\sqrt{5})^2\)
\(\Leftrightarrow |4x|=5\) \(\Leftrightarrow 4|x|=5\)
\(\Leftrightarrow |x|=\dfrac{5}{4}\)
\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = \dfrac{5}{4}(tm) \hfill \cr
x = – \dfrac{5}{4}(loại) \hfill \cr} \right.\)
Vậy \(x=\dfrac{5}{4}\).
c) Điều kiện: \(9(x-1) \geq 0 \Leftrightarrow x-1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1.\)
Khi đó: \(\sqrt{9(x – 1)}= 21 \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {9\left( {x – 1} \right)} } \right)^2}=21^2\)
\(\Leftrightarrow \left|9(x-1)\right| = 441\)
\(\Leftrightarrow 9.\left|x-1\right| =9.49\)
\(\Leftrightarrow \left|x-1\right|=49\)
\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x – 1 = 49 \hfill \cr
x – 1 = – 49 \hfill \cr} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 49 + 1 \hfill \cr
x = – 49 + 1 \hfill \cr} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 50 ™\hfill \cr
x = – 48 (loại) \hfill \cr} \right.\)
Vậy \( x=50\).
d) Điều kiện: Vì \( (1 – x)^{2} ≥ 0\) với mọi giá trị của \(x\) nên \( \sqrt{4(1 – x)^{2}}\) có nghĩa với mọi giá trị của \(x\).
Ta có:
\( \sqrt{4(1 – x)^{2}}- 6 = 0 \Leftrightarrow \sqrt{4(1 – x)^{2}}=6\)
\(\Leftrightarrow {\left( {\sqrt {4{{(1 – x)}^2}} } \right)^2} = {6^2}\)
\(\Leftrightarrow \left| 4(1-x)^2\right| =36\)
\(Vì (x-1)^2 \ge 0\) nên \(4(x-1)^2 \ge 0 \Leftrightarrow \left|4(x-1)^2\right| =4(x-1)^2\).
Do đó \(\left|4(x-1)^2\right|=36 \Leftrightarrow 4(x-1)^2=36\)
\(\Leftrightarrow (x-1)^2= 9\) \(\Leftrightarrow \sqrt{(x-1)^2}=\sqrt{9}\)
\(\Leftrightarrow \left|x-1\right| = 3\)
\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x – 1 = 3 \hfill \cr
x – 1 = – 3 \hfill \cr} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 3 + 1 \hfill \cr
x = – 3 + 1 \hfill \cr} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 4 \hfill \cr
x = – 2 \hfill \cr} \right.\)
Vậy \(x=-2\) và \(x=4\).
5. Giải bài 26 trang 16 sgk Toán 9 tập 1
a) So sánh \( \sqrt{25 + 9}\) và \( \sqrt{25} + \sqrt{9}\);
b) Với \(a > 0\) và \(b > 0\), chứng minh \( \sqrt{a + b} < \sqrt{a}+\sqrt{b}\).
Bài giải:
a) Ta có: \(+) \sqrt{25 + 9}=\sqrt{34}\).
\(+) \sqrt{25} + \sqrt{9}=\sqrt{5^2}+\sqrt{3^2}=5+3\)
\(=8=\sqrt{8^2}=\sqrt{64}\).
Vì \(34<64\)
Vậy \(\sqrt{25 + 9}<\sqrt{25} + \sqrt{9}\)
b) Ta có:
\(+) (\sqrt{a + b})^{2} = a + b\).
\(+) (\sqrt{a} + \sqrt{b})^{2}= (\sqrt{a})^2+ 2\sqrt a .\sqrt b +(\sqrt{b})^2\)
\( = a +2\sqrt{ab} + b\)
\(=(a+b) +2\sqrt{ab}\).
Vì \(a > 0,\ b > 0\) nên \(\sqrt{ab} > 0 \Leftrightarrow 2\sqrt{ab} >0\)
\(\Leftrightarrow (a+b) +2\sqrt{ab} > a+b\)
\(\Leftrightarrow (\sqrt{a}+\sqrt{ b})^2 > (\sqrt{a+b})^2\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{a}+\sqrt{b}>\sqrt{a+b}\) (đpcm)
6. Giải bài 27 trang 16 sgk Toán 9 tập 1
So sánh
a) \(4\) và \(2\sqrt{3}\);
b) \(-\sqrt{5}\) và \(-2\)
Bài giải:
a) Ta có:
\(\left\{ \matrix{
{4^2} = 16 \hfill \cr
{\left( {2\sqrt 3 } \right)^2} = {2^2}.{\left( {\sqrt 3 } \right)^3} = 4.3 = 12 \hfill \cr} \right.\)
Vì \(16> 12 \Leftrightarrow \sqrt {16} > \sqrt 12 \)
Hay \(4 > 2\sqrt 3\).
b) Ta có:
\(\left\{ \matrix{
{\left( {\sqrt 5 } \right)^2} = 5 \hfill \cr
{2^2} = 4 \hfill \cr} \right.\)
Vì \(5>4 \Leftrightarrow \sqrt 5 > \sqrt 4 \)
\(\Leftrightarrow \sqrt 5 > 2\) (Nhân cả hai vế với \(-1\))
\(\Leftrightarrow -\sqrt 5 < -2\).
Vậy \(-\sqrt{5} < -2\).
Bài trước:
Bài tiếp theo:
Xem thêm:
Chúc các bạn làm bài tốt cùng giải bài tập sgk toán lớp 9 với giải bài 22 23 24 25 26 27 trang 15 16 sgk toán 9 tập 1!
“Bài tập nào khó đã có giaibaisgk.com“
Giải bài 24 trang 15 SGK toán 9 tập 1
Giải bài 24 trang 15 sách giáo khoa toán 9 tập 1 với lời giải chi tiết, ngắn gọn nhất sẽ giúp các em nắm bắt các kiến thức cơ bản và nâng cao một cách nhanh nhất
Xem chi tiết lời giải tại đây: https://loigiaihay.com/bai24trang15sgktoan9tap1c44a3097.html
Rút gọn và tìm giá trị (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 3 ) của các căn thức sau:
a) \\sqrt{4(1 + 6x + 9x^{2})^{2}} tại x = \\sqrt 2 ;
b) \\sqrt{9a^{2}(b^{2} + 4 4b)} tại a = 2;\\,\\,b = \\sqrt 3.
