Giáo Dục

Dạng bài tập phân tích đa thức thành nhân tử

Phân tích đa thức thành nhân tử là một trong những dạng toán khá quan trọng nằm trong chương trình Toán 8. 

bài tập phân tích đa thức thành nhân tử bao gồm lý thuyết, các phương pháp và các bài luyện tập chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử. Hi vọng với tài liệu này sẽ giúp các bạn có thêm nhiều tài liệu ôn tập giải toán lớp 8, củng cố và nâng cao các kiến thức đã học. Mời các bạn cùng tham khảo.

I. Phân tích đa thức thành nhân tử là gì?

1. Định nghĩa:

Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.

Ví dụ:

a) 2×2+ 5x – 3 = (2x – 1).(x + 3)

b) x – 2y +5– 10y = [()2– 2 y ] + (5– 10y)

= (– 2y) + 5(– 2y)

= (– 2y)( + 5)

II. Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

a) Phương pháp đặt nhân tử chung:

Nếu tất cả các hạng tử của đa thức có một nhân tử chung thì đa thức đó được biểu diễn thành một tích của nhân tử chung với một đa thức khác.

Công thức:

AB + AC = A(B + C)

Ví dụ:

1. 5x(y + 1) – 2(y + 1) = (y + 1)(5x – 2)

2. 3x + 12 y = 3 ( + 4y)

b) Phương pháp dùng hằng đẳng thức:

Nếu đa thức là một vế của hằng đẳng thức đáng nhớ nào đó thì có thể dùng hằng đẳng thức đó để biểu diễn đa thức này thành tích các đa thức.

*Những hằng đẳng thức đáng nhớ:

(A + B)2 = A2 + 2AB + B2

(A – B)2 = A2 – 2AB + B2

A2 – B2 = (A + B)(A – B)

(A+B)3= A3 + 3A2B + 3AB2 + B3

(A – B)3= A3 – 3A2B + 3AB2-B3

A3 + B3 = (A+B) (A2 – AB + B2)

A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2)

c) Phương pháp nhóm hạng tử:

Nhóm một số hạng tử của một đa thức một cách thích hợp để có thể đặt được nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức đáng nhớ.

Ví dụ:

1. x2 – 2xy + 5x – 10y = (x2– 2xy) + (5x – 10y) = x(x – 2y) + 5(x – 2y)

= (x – 2y)(x + 5)

2. x – 3+ y – 3y = (x – 3) + (y – 3y)

= ( – 3) + y( – 3)= (- 3)( + y)

d. Phương pháp tách một hạng tử:(trường hợp đặc biệt của tam thức bậc 2 có nghiệm)

Tam thức bậc hai có dạng: ax2 + bx + c = ax2 + b1x + b2x + c () nếu

Ví dụ:

a) 2×23x + 1

= 2×2 2x x +1

= 2x(x 1) (x 1)

= (x 1)(2x 1)

e. Phương pháp thêm, bớt cùng một hạng tử:

Ví dụ:

a) y4+ 64 = y4+ 16y2 + 64 16y2

= (y2 + 8)2 – (4y)2

= (y2 + 8 4y)(y2 + 8 + 4y)

b) x2+ 4 = x2+ 4x + 4 4x = (x + 2)2 4x

= (x + 2)2 =

f. Phương pháp phối hợp nhiều phương pháp:

Ví dụ:

a) a3a2b ab2 + b3 = a2(a b) b2(a b)

=(a b) (a2 b2)

= (a b) (a b) (a + b)

= (a b)2(a + b)

III. Bài tập áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử

Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

a) 14×2– 21xy2+ 28x2y2 = 7x(2x – 3y2 + 4xy2)

b) 2(x + 3) – x(x + 3) = (x+3)(2-x)

c) x2+ 4x – y2+ 4 = (x + 2)2 y2 = (x + 2 y)(x + 2 + y)

Bài 2: Giải phương trình sau :

2(x + 3) – x(x + 3) = 0

Vậy nghiệm của phương trình là x1 = 3: x2 = 2

Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a)8×3+ 4×2 y3 y2 = (8×3 y3) + (4×2 y2)

Xem thêm :  Phương pháp đường tròn lượng giác vật lý 12

b) x2+ 5x 6 = x2 + 6x x 6

= x(x + 6) (x + 6)

= (x + 6)(x 1)

c. a4 + 16 = a4+ 8a2 + 16 8a2

= (a2 + 4)2 – (a)2

= (a2 + 4 +a)( a2 + 4 a)

Bài 4: Thực hiện phép chia đa thức sau đây bằng cách phân tích đa thức bị chia thành nhân tử:

a) (x5+ x3+ x2 + 1):(x3 + 1)

b) (x25x + 6):(x 3)

Giải:

a) Vì x5+ x3+ x2 + 1

= x3(x2 + 1) + x2 + 1

= (x2 + 1)(x3 + 1)

nên (x5 + x3 + x2 + 1):(x3 + 1)

= (x2 + 1)(x3 + 1):(x3 + 1)

= (x2 + 1)

b)Vì x2 5x + 6

= x2 3x 2x + 6

= x(x 3) 2(x 3)

= (x 3)(x 2)

nên (x2 5x + 6):(x 3)

= (x 3)(x 2): (x 3)

= (x 2)

IV. Bài tập tự luyện phân tích đa thức thành nhân tử

Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x2– y2 – 2x + 2y

b) 2x + 2y – x2 – xy

c) 3a2– 6ab + 3b2 – 12c2

d) x2 – 25 + y2 + 2xy

e) a2+ 2ab + b2 – ac – bc

f) x2 – 2x – 4y2 – 4y

g) x2y – x3– 9y + 9x

h) x2(x -1) + 16(1- x)

Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

1) 4×2 – 25 + (2x + 7)(5 – 2x)

2) 3(x+ 4) – x2 – 4x

3) 5×2 – 5y2 – 10x + 10y

4) x2 – xy + x – y

5) ax – bx – a2 + 2ab – b2

6) x2 + 4x – y2 + 4

7) x3 – x2 – x + 1

8) x4 + 6x2y + 9y2 – 1

9) x3 + x2y – 4x – 4y

10) x3 – 3×2 + 1 – 3x

11) 3×2 – 6xy + 3y2 – 12z2

12) x2 – 2x – 15

13) 2×2 + 3x – 5

14) 2×2 – 18

15) x2 – 7xy + 10y2

16) x3 – 2×2 + x – xy2

Bài tập 3: Phân tích đa thức thành nhân tử.

1. x2+ 2xy – 8y2+ 2xz + 14yz – 3z2

2. 3×2– 22xy – 4x + 8y + 7y2+ 1

3. 12×2+ 5x – 12y2+ 12y – 10xy – 3

4. 2×2– 7xy + 3y2+ 5xz – 5yz + 2z2

5. x2+ 3xy + 2y2+ 3xz + 5yz + 2z2

6. x2– 8xy + 15y2+ 2x – 4y – 3

7. x4– 13×2+ 36

8. x4+ 3×2– 2x + 3

9. x4+ 2×3+ 3×2 + 2x + 1

Bài tập 4: Phân tích đa thức thành nhân tử:

1. (a – b)3+ (b – c)3+ (c – a)3

2. (a – x)y3– (a – y)x3– (x – y)a3

3. x(y2– z2) + y(z2– x2) + z(x2 – y2)

4. (x + y + z)3– x3– y3 – z3

5. 3×5– 10×4– 8×3 – 3×2 + 10x + 8

6. 5×4+ 24×3– 15×2 – 118x + 24

7. 15×3+ 29×2– 8x – 12

8. x4– 6×3+ 7×2 + 6x – 8

9. x3+ 9×2+ 26x + 24

Bài tập 5: Phân tích đa thức thành nhân tử.

1. a(b + c)(b2– c2) + b(a + c)(a2– c2) + c(a + b)(a2 – b2)

2. ab(a – b) + bc(b – c) + ca(c – a)

3. a(b2– c2) – b(a2– c2) + c(a2 – b2)

4. (x – y)5+ (y – z)5+ (z – x)5

5. (x + y)7– x7– y7

6. ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) + abc

7. (x + y + z)5– x5– y5 – z5

8. a(b2+ c2) + b(c2+ a2) + c(a2 + b2) + 2abc

9. a3(b – c) + b3(c – a) + c3(a – b)

10. abc – (ab + bc + ac) + (a + b + c) – 1

…………………..

Mời các bạn tải File tài liệu để xem thêm nội dung chi tiết

Phân tích đa thức thành nhân tử là một trong những dạng toán khá quan trọng nằm trong chương trình Toán 8. 

Bài tập phân tích đa thức thành nhân tử bao gồm lý thuyết, các phương pháp và các bài luyện tập chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử. Hi vọng với tài liệu này sẽ giúp các bạn có thêm nhiều tài liệu ôn tập giải toán lớp 8, củng cố và nâng cao các kiến thức đã học. Mời các bạn cùng tham khảo.

Xem thêm :  Chuyên đề: vận chuyển các chất qua màng sinh chất sinh học 10

I. Phân tích đa thức thành nhân tử là gì?

1. Định nghĩa:

Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.

Ví dụ:

a) 2×2+ 5x – 3 = (2x – 1).(x + 3)

b) x – 2y +5– 10y = [()2– 2 y ] + (5– 10y)

= (– 2y) + 5(– 2y)

= (– 2y)( + 5)

II. Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

a) Phương pháp đặt nhân tử chung:

Nếu tất cả các hạng tử của đa thức có một nhân tử chung thì đa thức đó được biểu diễn thành một tích của nhân tử chung với một đa thức khác.

Công thức:

AB + AC = A(B + C)

Ví dụ:

1. 5x(y + 1) – 2(y + 1) = (y + 1)(5x – 2)

2. 3x + 12 y = 3 ( + 4y)

b) Phương pháp dùng hằng đẳng thức:

Nếu đa thức là một vế của hằng đẳng thức đáng nhớ nào đó thì có thể dùng hằng đẳng thức đó để biểu diễn đa thức này thành tích các đa thức.

*Những hằng đẳng thức đáng nhớ:

(A + B)2 = A2 + 2AB + B2

(A – B)2 = A2 – 2AB + B2

A2 – B2 = (A + B)(A – B)

(A+B)3= A3 + 3A2B + 3AB2 + B3

(A – B)3= A3 – 3A2B + 3AB2-B3

A3 + B3 = (A+B) (A2 – AB + B2)

A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2)

c) Phương pháp nhóm hạng tử:

Nhóm một số hạng tử của một đa thức một cách thích hợp để có thể đặt được nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức đáng nhớ.

Ví dụ:

1. x2 – 2xy + 5x – 10y = (x2– 2xy) + (5x – 10y) = x(x – 2y) + 5(x – 2y)

= (x – 2y)(x + 5)

2. x – 3+ y – 3y = (x – 3) + (y – 3y)

= ( – 3) + y( – 3)= (- 3)( + y)

d. Phương pháp tách một hạng tử:(trường hợp đặc biệt của tam thức bậc 2 có nghiệm)

Tam thức bậc hai có dạng: ax2 + bx + c = ax2 + b1x + b2x + c () nếu

Ví dụ:

a) 2×23x + 1

= 2×2 2x x +1

= 2x(x 1) (x 1)

= (x 1)(2x 1)

e. Phương pháp thêm, bớt cùng một hạng tử:

Ví dụ:

a) y4+ 64 = y4+ 16y2 + 64 16y2

= (y2 + 8)2 – (4y)2

= (y2 + 8 4y)(y2 + 8 + 4y)

b) x2+ 4 = x2+ 4x + 4 4x = (x + 2)2 4x

= (x + 2)2 =

f. Phương pháp phối hợp nhiều phương pháp:

Ví dụ:

a) a3a2b ab2 + b3 = a2(a b) b2(a b)

=(a b) (a2 b2)

= (a b) (a b) (a + b)

= (a b)2(a + b)

III. Bài tập áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử

Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

a) 14×2– 21xy2+ 28x2y2 = 7x(2x – 3y2 + 4xy2)

b) 2(x + 3) – x(x + 3) = (x+3)(2-x)

c) x2+ 4x – y2+ 4 = (x + 2)2 y2 = (x + 2 y)(x + 2 + y)

Bài 2: Giải phương trình sau :

2(x + 3) – x(x + 3) = 0

Vậy nghiệm của phương trình là x1 = 3: x2 = 2

Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a)8×3+ 4×2 y3 y2 = (8×3 y3) + (4×2 y2)

b) x2+ 5x 6 = x2 + 6x x 6

= x(x + 6) (x + 6)

= (x + 6)(x 1)

c. a4 + 16 = a4+ 8a2 + 16 8a2

= (a2 + 4)2 – (a)2

= (a2 + 4 +a)( a2 + 4 a)

Bài 4: Thực hiện phép chia đa thức sau đây bằng cách phân tích đa thức bị chia thành nhân tử:

a) (x5+ x3+ x2 + 1):(x3 + 1)

b) (x25x + 6):(x 3)

Xem thêm :  Giáo án toán 10 bài 2: giá trị lượng giác của một cung mới nhất

Giải:

a) Vì x5+ x3+ x2 + 1

= x3(x2 + 1) + x2 + 1

= (x2 + 1)(x3 + 1)

nên (x5 + x3 + x2 + 1):(x3 + 1)

= (x2 + 1)(x3 + 1):(x3 + 1)

= (x2 + 1)

b)Vì x2 5x + 6

= x2 3x 2x + 6

= x(x 3) 2(x 3)

= (x 3)(x 2)

nên (x2 5x + 6):(x 3)

= (x 3)(x 2): (x 3)

= (x 2)

IV. Bài tập tự luyện phân tích đa thức thành nhân tử

Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x2– y2 – 2x + 2y

b) 2x + 2y – x2 – xy

c) 3a2– 6ab + 3b2 – 12c2

d) x2 – 25 + y2 + 2xy

e) a2+ 2ab + b2 – ac – bc

f) x2 – 2x – 4y2 – 4y

g) x2y – x3– 9y + 9x

h) x2(x -1) + 16(1- x)

Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

1) 4×2 – 25 + (2x + 7)(5 – 2x)

2) 3(x+ 4) – x2 – 4x

3) 5×2 – 5y2 – 10x + 10y

4) x2 – xy + x – y

5) ax – bx – a2 + 2ab – b2

6) x2 + 4x – y2 + 4

7) x3 – x2 – x + 1

8) x4 + 6x2y + 9y2 – 1

9) x3 + x2y – 4x – 4y

10) x3 – 3×2 + 1 – 3x

11) 3×2 – 6xy + 3y2 – 12z2

12) x2 – 2x – 15

13) 2×2 + 3x – 5

14) 2×2 – 18

15) x2 – 7xy + 10y2

16) x3 – 2×2 + x – xy2

Bài tập 3: Phân tích đa thức thành nhân tử.

1. x2+ 2xy – 8y2+ 2xz + 14yz – 3z2

2. 3×2– 22xy – 4x + 8y + 7y2+ 1

3. 12×2+ 5x – 12y2+ 12y – 10xy – 3

4. 2×2– 7xy + 3y2+ 5xz – 5yz + 2z2

5. x2+ 3xy + 2y2+ 3xz + 5yz + 2z2

6. x2– 8xy + 15y2+ 2x – 4y – 3

7. x4– 13×2+ 36

8. x4+ 3×2– 2x + 3

9. x4+ 2×3+ 3×2 + 2x + 1

Bài tập 4: Phân tích đa thức thành nhân tử:

1. (a – b)3+ (b – c)3+ (c – a)3

2. (a – x)y3– (a – y)x3– (x – y)a3

3. x(y2– z2) + y(z2– x2) + z(x2 – y2)

4. (x + y + z)3– x3– y3 – z3

5. 3×5– 10×4– 8×3 – 3×2 + 10x + 8

6. 5×4+ 24×3– 15×2 – 118x + 24

7. 15×3+ 29×2– 8x – 12

8. x4– 6×3+ 7×2 + 6x – 8

9. x3+ 9×2+ 26x + 24

Bài tập 5: Phân tích đa thức thành nhân tử.

1. a(b + c)(b2– c2) + b(a + c)(a2– c2) + c(a + b)(a2 – b2)

2. ab(a – b) + bc(b – c) + ca(c – a)

3. a(b2– c2) – b(a2– c2) + c(a2 – b2)

4. (x – y)5+ (y – z)5+ (z – x)5

5. (x + y)7– x7– y7

6. ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) + abc

7. (x + y + z)5– x5– y5 – z5

8. a(b2+ c2) + b(c2+ a2) + c(a2 + b2) + 2abc

9. a3(b – c) + b3(c – a) + c3(a – b)

10. abc – (ab + bc + ac) + (a + b + c) – 1

…………………..

Mời các bạn tải File tài liệu để xem thêm nội dung chi tiết


Luyện tập phân tích đa thức thành nhân tử – Toán 8 Thầy Đỗ Văn Bảo


Bài giảng “Luyện tập phân tích đa thức thành nhân tử (tiết 2)” của thầy Đỗ Văn Bảo bao gồm các bài tập mang tính vận dụng cao, sử dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đã được học trong các bài lý thuyết trước. Trong bài giảng này thầy giúp các em có thể hiểu sâu các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử và tự tin hơn với kiến thức mình đã được học để làm tốt các bài tập trong đề kiểm tra cũng những đề thi sắp tới. Học trực tuyến tại: http://tuyensinh247.com
Fanpage: https://fb.com/luyenthi.tuyensinh247/

Xem thêm bài viết thuộc chuyên mục: Giáo Dục

Related Articles

Check Also
Close
Back to top button