Câu 1: Một ô tô chuyển động thẳng đều từ A đến B với vận tốc 90km/h, Sau 15 phút từ B một xe máy chuyển động về A với vận tốc 40km/h. Sau khoảng thời gian đến B ô tô dừng lại nghỉ 30 phút rồi chuyển động thẳng đều quay trở lại A và gặp xe máy lần 2 ở điểm cách A là 25km (chưa đến A). Tính độ dài của quãng đường AB.
Hướng dẫn
15phút = 0,25h; 30phút = 0,5h
chọn gốc thời gian là lúc xe máy khởi đầu đi, chiều dương A → B, gốc tại A
Tọa độ gặp nhau lần thứ 2 của xe máy: x2 = AB – 40t = 25 => t = (AB – 25)/40 (1)
xe máy suất phát sau ô tô 15 phút, ô tô nghỉ 30 phút => trong quãng thời gian chuyển động của xe máy
ô tô xuất phát chậm hơn 15 phút = 0,25h
Tọa độ gặp nhau lần thứ 2 của ô tô: x1 = 2AB – 90(t – 0,25) = 25 (2)
Từ (1) và (2) => AB = 215km
[Ẩn HD]
Câu 2: Lúc 5h một người đi bộ chuyển động thẳng đều từ A đến B. Sau đó 2h một người đi xe đạp chuyển động thẳng đều từ A đến B, người đi xe đạp gặp người đi bộ lần thứ nhất lúc 8h. Biết quãng đường AB dài 24km. Người đi xe đạp tới B rồi quay lại A và gặp người đi bộ lần thứ 2 lúc 9h30ph. Hỏi vận tốc của mỗi người là bao nhiêu.
Hướng dẫn
Chọn gốc thời gian là lúc 7h, chiều dương từ A→B, gốc tại A
gọi v1: vận tốc người đi bộ, v2: vận tốc người đi xe đạp; 9h30ph = 9,5h
=> phương trình chuyển động của người đi bộ và đi xe đạp khi gặp nhau lần thứ nhất
x1 = v1(t1 + 2); x2 = v2t1
thời gian hai vật gặp nhau lần thứ nhất: x1= x2=> v1(t1 + 2) = v2t1
=> t1 = [dfrac{2v_1}{v_2-v_1}] = 8h – 7h = 1 (h) => v1 = v2/3 (1)
tọa độ gặp nhau lần thứ nhất: x1 = v1(t1 + 2) = 3v1
tọa độ của người đi bộ sau lần gặp thứ 2: x1‘ = v1(t1‘ + 2)= v1(9,5 – 7 + 2) = 4,5v1
tọa độ của người đi xe đạp lúc gặp nhau lần 2: x’2 = 2AB – v2(9,5 – 7)
hai vật gặp nhau => x1‘ = x2‘ => 4,5v1 = 48 – 2,5v2 (2)
từ (1) và (2) => v1 = 4km/h; v2 = 12km/h
[Ẩn HD]
Câu 3: Khoảng cách từ nhà đến trường là 12km. Tan trường bố đi đón con, cùng với một con chó. Vận tốc của con là v1= 2km/h, vận tốc của bố là v2 = 4km/h. Vận tốc của con chó thay đổi như sau: Lúc chạy lại gặp con với vận tốc v3 = 8km/h, sau thời điểm gặp đứa con thì quay lại chạy gặp bố với vận tốc v4 = 12km/h, rồi lại tiềp tục quá trình trên cho đến khi hai bố con gặp nhau.Hỏi khi hai bố con gặp nhau thì con chó đã chạy được quãng đường là bao nhiêu ?
Hướng dẫn
Gọi t là khoảng thời gian từ lúc hai bố con khởi đầu đi đến khi gặp nhau
=> v1.t + v2.t = s => Thời gian hai bố con gặp nhau:
[t=dfrac{s}{v_{1}+v_{2}}=dfrac{12}{2+4}=2h]
– Thời gian con chó chạy lại gặp người con lần thứ nhất là
[t_{1}=dfrac{s}{v_{1}+v_{3}}=dfrac{12}{2+8}=1,2h]
=> s1 = t1.v3 = 9,6km
– Thời gian con chó chạy lại gặp bố lần thứ nhất:
[t_{2}=dfrac{s_{1}-1,2.4}{v_{2}+v_{4}}=dfrac{9,6-1,2.4}{4+12}=0,3h]
– Quãng đường con chó đã chạy được là:
S2 = t2.v4 = 0,3.12 = 3,6 (km).
=>Vận tốc trung bình của con chó là:
[v_{tb}=dfrac{s_{1}+s_{2}}{t_{1}+t_{2}}=8,8km/h]
Vận tốc trung bình của con chó không thay đổi trong suốt quá trình chạy =>
Quãng đường con chó chạy được:
s$_{c}$ = v$_{tb}$.t = 8,8.2= 17,6(km).
[Ẩn HD]
Câu 4. Ba người ở cùng một nơi và muốn có mặt tại một sân vận động cách đó 48km. Đường đi thẳng, họ có một chiếc xe đạp chỉ có thể chở thêm một người. Ba người khắc phục bằng cách hai người đi xe đạp xuất hành đồng thời với người đi bộ, tới một vị trí thích hợp, người được chở bằng xe đạp xuống xe đi bộ tiếp, người đi xe đạp quay về gặp người đi bộ từ đầu và trở người này quay ngược trở lại. Ba người đến sân vận động đồng thời.
a/ Vẽ đồ thị của các chuyển động. Coi các chuyển động là thẳng đều mà vận tốc có độ lớn không đổi là 12km/h cho xe đạp, 4km/h cho đi bộ.
b/ Tính sự phân bố thời gian và quãng đường.
Hướng dẫn
[Ẩn HD]
Câu 5: Hai chiếc tầu chuyển động thẳng đều với cùng vận tốc v nhắm tới O theo quỹ đạo là những đường thẳng hợp với nhau góc 60o. Xác nhận khoảng cách nhỏ nhất giữa các tầu lúc đó chúng đã vượt qua O chưa. Cho biết ban đầu chúng cách O những khoảng 40km và 60 km.
Hướng dẫn
gọi CD là khoảng cách nhỏ nhất của hai tàu sau thời điểm chuyển động được khoảng thời gian t
OC = OA – AC = 60 – v.t
OD = OB – BD = 40 – vt
CD2=OC2+OD2-2OC.OD.cos60o
CD2 = (60 – vt)2 + (40 – vt)2 – (60 – vt)(40-vt)
CD2 = (vt)$^{2 }$- 100vt + 2800 (tam thức có b = -100; Δ = -1200; a = 1)
(CDmin)2 = -Δ/4a = 300km => CD$_{min }$= 10√3 (km)
CDmin khi vt = -b/2a = 50 km => 40 km => một tàu đã vượt qua O
[Ẩn HD]
Câu 6: Giữa hai bến sông A và B cách nhau 20km theo đường thẳng có một đoàn cano phục vụ chở khách liên tục, chuyển động đều với vận tốc như sau: 20km/h khi xuôi dòng từ A đến B, và 10km/h khi ngược dòng từ B về A. Ở mỗi bến cứ cách 20 phút lại có một ca nô xuất phát, khi đến bến kia ca nô đó nghỉ 20 phút rồi quay về.
a/ Tính số ca nô thiết yếu phục vụ cho đoạn sông đó;
b/ Một ca nô đi từ A đến B sẽ gặp trên đường bao nhiêu ca nô chạy ngược chiều, và khi đi từ B về A sẽ gặp bao nhiêu ca nô.
Giải toán bằng phương pháp đồ thị.
Hướng dẫn
Chọn gốc tọa độ là bến A, chiều dương là chiều đi từ A đến B;
gốc thời gian là lúc một ca nô đi từ A đến B.
Các đồ thị trình diễn chuyển động của các ca nô đi từ A đến B là các đoạn thẳng song song hướng lên và bằng OD, cách đều nhau 20 phút. Còn các đồ thị trình diễn chuyển động của các ca nô đi từ B đến A là các đoạn thẳng song song hướng xuống và bằng EF, cũng cách đều nhau 20 phút.
Thời gian ca nô đi từ A đến B: [t_1=dfrac{20}{20}=1h];
còn thời gian ca nô đi từ B đến A:[t_2=dfrac{20}{10}=2h]
a/ Cho đến khi chiếc ca nô trước hết từ A đến B và quay về (đoạn OF tính cả O và F) => số ca nô thiết yếu là: N=11 ca nô.
b/ số ca nô gặp nhau khi đi và về (số giao điểm so với một đường) = 8.
[Ẩn HD]
Câu 7: lúc 8h có một người đi xe đạp vs vận tốc 12km/h gặp một người đi bộ ngược chiều vs vận tốc đều 4km/h trên cùng một đoạn đường thẳng . Tới 8h30′ người đi xe đạp dừng lại nghỉ 30′ rồi quay trở lại đuổi theo người đi bộ vs vận tốc có độ lớn như trước xác nhận thời gian và nơi người đi xe đạp đuổi kịp người đi bộ.
Hướng dẫn
lúc 9h ((t1 = 9h – 8h – 30 phút nghỉ = 0,5h) người đi xe đạp đi được quãng đường
s1 = v1.t1 = 12 . 0,5 = 6km
lúc 9h (t2 = 9h-8h = 1h) quãng đường người đi bộ đi dược
s2 = v2.t2 = 4.1 = 4km
=> khoảng cách 2 xe lúc 9h: 6 + 4 = 10km
chọn gốc thời gian là lúc 9h, gốc tọa độ tại vị trí của người đi xe đạp, chiều dương là chiều chuyển động của xe đạp
x1 = 12t
x2 = 10 + 4t
hai xe gặp nhau: x1 = x2 => t = 1,25h
=> hai xe gặp nhau lúc: 9h + 1,25h = 10,25h = 10h15 phút
vị trí gặp nhau x = 1,25.12 = 15km (cách gốc đã chọn 15km)
[Ẩn HD]
Câu 8: Hai xe cách nhau một khoảng s, xuất phát đồng thời và chuyển động thẳng đều với vận tốc lần lượt là v1 và v2. Trong cùng 1 khoảng thời gian 30 phút, nếu hai xe đi ngược chiều thì khoảng cách giảm đi 25km, nếu hai xe đi cùng chiều thì khoảng cách giảm đi 5km. Tính v1, v2 ( v1vàgt; v2)
Hướng dẫn
30phút = 0,5h
2 xe chuyển động ngược chiều: 0,5v1 + 0,5v2 = 25
2 xe chuyển động cùng chiều: 0,5v1 – 0,5v2 = 5
từ (1) và (2) => v1 = 30 km/h; v2 = 20km/h
[Ẩn HD]
Câu 9: 2 xe đi theo 2 con đường vuông góc. xe 1 từ đông sang tây vs vận tốc 50 km/h. xe 2 chạy từ bắc xuống nam vs vận tốc 30 km/h. lúc 8h sáng xe 1 và 2 còn cách ngã tư lần lượt là 4,4 km và 4 km. thời điểm mà khoảng cách 2 xe nhỏ nhất là bao nhiêu?
Hướng dẫn
chọn gốc thời gian là lúc 8h. Tại thời điểm t xe 2 chuyển động đến C, xe 1 chuyển động đến D
OD = OA – AD = 4,4 – v1.t = 4,4 – 50t
OC = OB – BC = 4 – v2.t = 4 – 30t
khoảng cách giữa hai xe
CD2 = OC2 + OD2 = (4 – 30t)2 + (4,4 – 50t)2 =3400t2 – 680t + 35,36
(tam thức có: a = 3400; b = -680; c = 35,36 => Δ =-18496)
=> CD2min => t = -b/2a = 0,1(h) = 6phút => thời điểm: 8h6phút
[Ẩn HD]
Câu 10: Lúc 5h hai vật cùng xuất phát từ hai điểm A, B chuyển động thẳng đều trên hai đường thẳng vuông góc hướng về C với nhau với vận tốc lần lượt là 8km/h và 5km/h. AC = 30km; BC=20km.
a/ Tìm khoảng cách giữa hai vật ở thời điểm 6h
b/ Tìm thời điểm hai vật gặp nhau
c/ Tìm thời điểm khi hai vật cách nhau 30km
d/ Tìm thời điểm khi khoảng cách giữa hai vật là nhỏ nhất.
Hướng dẫn
a/ Chọn gốc thời gian là lúc 5h => lúc 6h: t = 6h -5h = 1h
EC = AC – AE = AC – v1.t = 30 – 8.1 = 22km
FC = BC – BF = BC – v2.t = 20 – 5.1 = 15km
khoảng cách giữa hai vật: [EF = sqrt{EC^{2}+FC^{2}}]
b/ Hai vật chỉ có thể gặp nhau tại C:
Thời gian vật 1 về đến C: t1 = AC/v1
Thời gian vật 2 về đến C: t2 = BC/v2
t1 = t2 thì hai vật mới gặp được nhau => thời điểm gặp nhau t = t1 + 5h
c/ EF2 = EC2 + FC2 = (30 – 8t)2 + (20 – 5t)2 = 302
giải phương trình trên => thời điểm 2 vật cách nhau 30m
d/ EF2 = (30 – 8t)2 + (20 – 5t)$^{2 }$ = 89t2 – 680t + 1300
xét tam thức a = 89; b = -680; c = 1300
EFmin tại t = -b/2a = 3,82h => thời điểm khoảng cách hai vật nhỏ nhất là 8,82h
[Ẩn HD]
Câu 11. Có ba con sên đang nằm trên ba đỉnh của một tam giác đều cạnh 60cm. Cùng một lúc 3 con xuất hành, con thứ nhất đi hướng về con thứ hai, con thứ hai hướng về con thứ ba, con thứ ba hướng về con thứ nhất, với cùng một vận tốc không đổi 5cm/phút. Trong suốt cuộc hành trình, mỗi con luôn chuyển động về phía con đích đến tương ứng. Phải mất bao lâu và quãng đường mà mỗi con đi được cho đến lúc chúng gặp nhau ?
Hướng dẫn
Hình minh họa chuyển động của các con ốc sên
Do tính chất đồng đẳng của 3 con nên trong quá trình chuyển động chúng đều nằm trên đỉnh của các tam giác đều đồng tâm. Do đó thành phần vận tốc hướng vào tâm của tam giác là không đổi
v$_{ht}$ = vcos30o
quãng đường hướng vào tâm bằng khoảng cách từ đỉnh đến tâm s = a/√3
=> thời gian đi t = s/v$_{ht}$ = 2a/3
[Ẩn HD]
Câu 12. Hai tàu A và B cách nhau một khoảng cách a đồng thời chuyển động thẳng đều với vận tốc lớn v của vận tốc từ hai nơi trên một bờ hồ thẳng. Tàu A chuyển động theo hướng vuông góc với bờ trong khi tàu B luôn luôn hướng về tàu A. Sau một thời gian đủ lâu, tàu B và tàu A chuyển động trên cùng một đường thẳng nhưng cách nhau một khoảng trống đổi. Tính khoảng phương pháp này.
Hướng dẫn
Theo phương CA: tàu B tiến lại gần tàu A với vận tốc vcosx
Theo phương BA: tàu A đi xa tàu B với vận tốc vcosx
= > Trong cùng một khoảng thời gian rất nhỏ. Tàu B tiến lại gần A theo phương AC một đoạn bao nhiêu thì tàu A lại rời xa tàu B theo phương AB 1 đoạn từng ấy
=> tổng khoảng cách AB+AC là không đổi
Ban đầu AB + AC = a (1)
Sau một khoảng thời gian đủ lâu thì 2 tàu cùng nằm trên đường AC, khi đó AB = AC (2)
từ (1) và (2) => AB = AC = a/2
[Ẩn HD]
Câu 13. Năm 1946 người ta đo khoảng cách giữa Trái Đất – Mặt trăng bằng kỹ thuật phản xạ rada. Tín hiệu rada phát đi từ Trái đất truyền với vận tốc c = 3.108m/s phản xạ trên mặt phẳng của mặt trăng và trở lại trái đất. Tín hiệu phản xạ ghi thu được sau 2,5s kể từ lúc truyền. Coi trái đất và mặt trăng có dạng hình cầu bán kính lần lượt R$_{đ}$= 6400km; R$_{t}$= 1740km. Tính khoảng cách d giữa hai tâm.
Hướng dẫn
[Ẩn HD]
Câu 14. Một ca nô rời bến chuyển động thẳng đều. Thoạt tiên, ca nô đuổi theo hướng nam bắc trong thời gian 2phút 40 giây rồi tức thì rẽ sang hướng đông tây và chạy thêm 2 phút với vận tốc như trước và dừng lại. Khoảng cách từ nơi xuất phát tới nơi dừng lại là 1km. Tính vận tốc của cano.
Hướng dẫn
[Ẩn HD]
Câu 15. Một người đứng tại A trên một bờ hồ. Người này muốn tới B trên mặt hồ nhanh nhất. Cho các khoảng cách như trên hình vẽ.
Biết rằng người này có thể chạy xuôi theo bờ hồ với vận tốc v2 và bơi thẳng với vận tốc v1. Hãy xác nhận cách mà người này phải theo
– hoặc bơi thẳng từ A đến B
– hoặc chạy xuôi theo bờ hồ một đoạn rồi sau đó bơi thẳng tới B.
Biết vận tốc chạy xuôi theo bờ hồ luôn to hơn vận tốc khi bơi (v1 < v2)
Hướng dẫn
[Ẩn HD]
Câu 16. Hai vật khởi đầu chuyển động đồng thời từ A đến C vật (1) đi từ A đến B rồi mới tới C, vật (2) đi thẳng từ A đến C. Ở một thời điểm bất kì, hai vật luôn nằm trên đường thẳng góc AC. Tìm vận tốc trung bình của vật (1) cho góc A = 30o; v2 = 6m/s
Hướng dẫn
[Ẩn HD]
Câu 17. Giữa hai bến sông A, B có hai tàu chuyển động thẳng đều. Tàu A xuôi dòng, tàu B ngược dòng. Khi gặp nhau và chuyển thư, mỗi tàu tức thì trở lại bến xuất phát. Nếu xuất hành đồng thời thì tàu A đi và về mất 3h, tàu B đi và về mất 1h30. Hỏi nếu thời gian đi và về của hai tàu bằng nhau thì tàu từ A phải xuất hành trễ hơn tàu từ B bao lâu cho biết
– Vận tốc mỗi tàu so với nước như nhau và không đổi lúc đi và về.
– Khi xuôi dòng, vận tốc dòng nước làm tàu chạy nhanh hơn, khi ngược dòng vận tốc dòng nước làm tàu chạy chậm hơn.
a/ Giải bài toán bằng đồ thị
b/ Giải bài toán bằng phương trình.
Hướng dẫn
b/
Thời gian đi và về của tàu A: t1 + t’1 = 3h
thời gian đi và về của tàu B: t2 + t’2 = 1,5h
=> t1 + t2 + t’1+ t’2 = 4,5h
hai tầu xuất phát đồng thời => t1 = t’2 => t1 + t2 = 1,5h => t’1 + t’2 = 3h
=> nếu chạy xuôi dòng thì thời gian đi A → B là 1,5h; nếu chạy ngược dòng thì thời gian đi từ B → A là 3h
Để thời gian đi và về là như nhau => hai tàu phải gặp nhau ở điểm trung tâm
=> thời gian tàu A xuôi dòng đến điểm trung tâm: Δt1 = 1,5/2 = 0,75h
=> thời gian tàu B xuôi dòng đến điểm trung tâm: Δt2 = 3/2 = 1,5h
=> thời gian tàu A xuất phát chậm: Δt = 1,5 – 0,75 = 0,75h = 45 phút
[Ẩn HD]
Câu 18. Hàng ngày một xe hơi từ nhà máy tới đón kỹ sư tại trạm đến nhà máy làm việc. Một hôm, viên kỹ sư tới trạm sớm hơn 1h nên anh đi bộ hướng về nhà máy. Dọc đường anh ta gặp chiếc xe tới đón mình và cả hai tới nhà máy sơm hơn bình thường 10 phút. Coi chuyển động là thẳng đều có độ lớn vận tốc nhất định. Tính thời gian kỹ sư đã đi bộ từ trạm tới khi gặp xe.
Hướng dẫn
[Ẩn HD]
Câu 19. Hai học sinh đi cắm trại. Nơi xuất phát cách nơi cắm trại 40km. Họ có một chiếc xe đạp chỉ dùng được cho một người và họ sắp xếp như sau: Hai người xuất hành đồng thời, một đi bộ với vận tốc không đổi v1 = 5km/h một đi xe đạp với vận tốc không đổi v2 = 15km/h. Tới một vị trí thích hợp, người đang đi xe đạp bỏ xe và đi bộ. Khi người kia tới nơi thì lấy xe đạp sử dụng. Vận tốc đi bộ và đi xe đạp vẫn như trước. Hai người đến nơi đồng thời.
a/ Tính vận tốc trung bình của mỗi người.
b/ Xe đạp không được sử dụng trong thời gian bao lâu.
Hướng dẫn
[Ẩn HD]
Câu 20. Hai ô tô xuất hành đồng thời từ A và chuyển động thẳng đều về B cách A khoảng l. Ô tô I đi nửa quãng đường đầu với vận tốc v1 và nửa quãng đường sau với vận tốc v2. Ô tô II đi với vận tốc v1 trong nửa thời gian sau. Hỏi ô tô nào tới nơi trước và trước một thời gian bao lâu.
Hướng dẫn
[Ẩn HD]
Câu 21. Lúc 6h30 khi thắng vừa rời nhà đi xe đạp đến trường học thì mẹ thắng cũng rời nhà đi bộ đến đơn vị (nằm trên đg từ nhà đến trường học). Giữa chừng thắng chợt nhớ là chưa xin chữ kí vào sổ liên lạc liền quay lại và gặp mẹ lấy chữ kí rồi đến trường vừa đúng 7h. Khoảng cách từ nhà đến trường là 3.6km. Thắng nhận thấy là thời gian đi từ nhà đến lúc quay lại đúng bằng thời gian từ lúc gặp mẹ đến khi đến trường. Biết vận tốc đi bộ của mẹ là 4km/h, còn vận tốc đạp xe của thắng khôngg đổi. Bỏ qua thời gian dừng lại lấy chữ kí và quay xe Tìm vận tốc xe đạp của thắng.
Hướng dẫn
Gọi quãng đường từ nhà đến trường là s = AD = AB + BC + CD;
vận tốc xe đạp là v; vận tốc mẹ đi v1 = 4km/h
tổng thời gian đi của xe đạp: t = 7h – 6h30 = 30phút = 0,5h
C là vị trí quay lại, B là vị trí gặp mẹ, thời gian từ A → C = thời gian từ B → D =>
AC = BD => AB + BC = BC + CD => AB = CD => 2AB + BC = s (1)
gọi t’ là thời gian quay lại => AB/v1 = BC/v => AB = 4BC/v (2)
từ (1) và (2) => 4BC/v + BC = s => BC = s ÷ (4/v + 1)
tổng quãng đường xe đạp đi: ℓ = AC + BC + BD = AB + BC + BC + BC + CD = 2BC + s = 2s ÷ (4/v + 1) + s
=> ℓ / v = 0,5 => 2s ÷ (4/v + 1) + s = 0,5v => v = 19 km/h
[Ẩn HD]
Câu 22. Một thanh cứng, mảnh AB có chiều dài ℓ = 2m dựng đứng sát hàng rào thẳng đứng (hình vẽ).
Ở đầu A của thanh có một con kiến. Khi đầu A của thanh khởi đầu chuyển động trên sàn ngang về bên phải theo phương vuông góc với hàng rào thì con kiến cũng khởi đầu bò xuôi theo thanh. Đầu A chuyển động thẳng đều với vận tốc v1 = 0,5 cm/s so với sàn kể từ vị trí tiếp xúc với hàng rào. Con kiến bò thẳng đều với vận tốc v2 = 0,2 cm/s so với thanh kể từ đầu A. Tìm độ cao cực đại của con kiến so với sàn ngang. Biết rằng đầu b của thanh luôn tiếp xúc với tường thẳng đúng.
Hướng dẫn
[Ẩn HD]
