Giáo Dục

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 10 bài viết Các bài toán thực tiễn liên quan đến bất phương trình bậc nhất hai ẩn, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 10.

Nội dung bài viết Các bài toán thực tiễn liên quan đến bất phương trình bậc nhất hai ẩn:
Các bài toán thực tiễn. BÀI TẬP DẠNG 3. Ví dụ 1. Trong một cuộc thi pha chế, mỗi đội chơi được sử dụng tối đa 24g hương liệu, 9 lít nước và 210g đường để pha chế nước cam và nước táo. Để pha chế 1 lít nước cam cần 30g đường, 1 lít nước và 1g hương liệu; pha chế 1 lít nước táo cần 10g đường, 1 lít nước và 4g hương liệu. Mỗi lít nước cam nhận được 60 điểm thưởng, mỗi lít nước táo nhận được 80 điển thưởng. Hỏi cần pha chế bao nhiêu lít nước trái cây mỗi loại để được số điểm thưởng là lớn nhất. Lời giải. Gọi x, y lần lượt là số lít nước cam và táo của một đội pha chế (x, y ≥ 0). Số điểm thưởng của đội chơi này là f(x; y) = 60x + 80y. Số gam đường cần dùng là 30x + 10y. Số lít nước cần dùng là x + y. Số gam hương liệu cần dùng là x + 4y. Vì trong cuộc thi pha chế, mỗi đội chơi sử dụng tối đa 24g hương liệu, 9 lít nước và 210g đường nên ta có hệ bất phương trình 30x + 10y ≤ 210, x + y ≤ 9, x + 4y ≤ 24. x, y ≥ 0.
Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x; y) trên miền nghiệm của hệ bất phương trình. Miền nghiệm của hệ bất phương trình là ngũ giác OABCD (kể cả biên). Hàm số f(x; y) = 60x + 80y sẽ đạt giá trị lớn nhất trên miền nghiệm của hệ bất phương trình (∗) khi (x; y) là toạ độ của một trong các đỉnh O(0; 0), A(7; 0), B(6; 3), C(4; 5), D(0; 6). Ta có: f(0; 0) = 0; f(7; 0) = 420; f(6; 3) = 600; f(4; 5) = 640; f(0; 6) = 480. Suy ra f(4; 5) là giá trị lớn nhất của hàm số f(x; y) trên miền nghiệm của hệ (∗). Như vậy để được số điểm thưởng là lớn nhất cần pha chế 6 lít nước cam và 5 lít nước táo.
Ví dụ 2. Một công ty kinh doanh thương mại chuẩn bị cho một đợt khuyến mại nhằm thu hút khách hàng bằng cách tiến hành quảng cáo sản phẩm của công ty trên hệ thống phát thanh và truyền hình. Chi phí cho 1 phút quảng cáo trên sóng phát thanh là 800.000 đồng, trên sóng truyền hình là 4.000.000 đồng. Đài phát thanh chỉ nhận phát các chương trình quảng cáo dài ít nhất là 5 phút. Do nhu cầu quảng cáo trên truyền hình lớn nên đài truyền hình chỉ nhận phát các chương trình dài tối đa là 4 phút. Theo các phân tích, cùng thời lượng một phút quảng cáo, trên truyền hình sẽ có hiệu quả gấp 6 lần trên sóng phát thanh. Công ty dự định chi tối đa 16.000.000 đồng cho quảng cáo. Công ty cần đặt thời lượng quảng cáo trên sóng phát thanh và truyền hình như thế nào để hiệu quả nhất?
Lời giải. Gọi thời lượng công ty đặt quảng cáo trên sóng phát thanh là x (phút), trên truyền hình là y (phút). Chi phí cho việc này là: 800.000x + 4.000.000y (đồng). Mức chi này không được phép vượt qúa mức chi tối đa, tức 800.000x + 4.000.000y ≤ 16.000.000 hay x + 5y − 20 ≤ 0. Do các điều kiện đài phát thanh, truyền hình đưa ra, ta có x ≥ 5, y ≤ 4. Đồng thời do x, y là thời lượng nên x ≥ 0, y ≥ 0. Hiệu quả chung của quảng cáo là x + 6y. Bài toán trở thành: Tìm x, y sao cho f(x; y) = x + 6y đạt giá trị lớn nhất với các điều kiện x + 5y − 20 ≤ 0. x ≥ 5. 0 ≤ y ≤ 4. Hàm số f(x; y) = x + 6y sẽ đạt giá trị lớn nhất trên miền nghiệm của hệ bất phương trình khi (x; y) là tọa độ của một trong các đỉnh A(5; 0), B(5; 3), C(20; 0). Ta có f(5; 3) = 23, f(5; 0) = 5, f(20, 0) = 20. Suy ra giá trị lớn nhất của M(x; y) bằng 23 tại (5; 3) tức là nếu đặt thời lượng quảng cáo trên sóng phát thanh là 5 phút và trên truyền hình là 3 phút thì sẽ đạt hiệu quả nhất?
Ví dụ 3. Trong một cuộc thi gói bánh vào dịp năm mới, mỗi đội chơi được sử dụng tối đa 20 kg gạo nếp, 2 kg thịt ba chỉ, 5 kg đậu xanh để gói bánh chưng và bánh ống. Để gói một cái bánh chưng cần 0, 4 kg gạo nếp, 0, 05 kg thịt và 0, 1 kg đậu xanh; để gói một cái bánh ống cần 0, 6 kg gạo nếp, 0, 075 kg thịt và 0, 15 kg đậu xanh. Mỗi cái bánh chưng nhận được 5 điểm thưởng, mỗi cái bánh ống nhận được 7 điểm thưởng. Hỏi cần phải gói mấy cái bánh mỗi loại để được nhiều điểm thưởng nhất? Lời giải. Gọi số bánh chưng gói được là x, số bánh ống gói được là y. Khi đó số điểm thưởng là f(x; y) = 5x + 7y. Số kg gạo nếp cần dùng là 0, 4x + 0, 6y. Số kg thịt ba chỉ cần dùng là 0, 05x + 0, 075y. Số kg đậu xanh cần dùng là 0, 1x + 0, 15y. Vì trong cuộc thi này chỉ được sử dụng tối đa 20 kg gạo nếp, 2 kg thịt ba chỉ và 5 kg đậu xanh nên ta có hệ bất phương trình 0, 4x + 0, 6y ≤ 201, 0, 05x + 0, 075y ≤ 2, 0, 1x + 0, 15y ≤ 5, 0, 1x + 0, 15y ≤ 5. x, y ≥ 0. Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x; y) trên miền nghiệm của hệ bất phương trình. Miền nghiệm của hệ bất phương trình là tam giác OAB (kể cả biên). Hàm số f(x; y) = 5x + 5ysẽ đạt giá trị lớn nhất trên miền nghiệm của hệ bất phương trình khi (x; y) là toạ độ một trong các đỉnh O(0; 0), A(40; 0). Ta có: f(0; 0) = 0, f(40; 0) = 200. Suy ra f(x; y) lớn nhất khi (x; y) = (40; 0). Do đó cần phải gói 40 cái bánh chưng để nhận được số điểm thưởng là lớn nhất.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Một gia đình cần ít nhất 900 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày. Mỗi kg thịt bò chứa 800 đơn vị protein và 200 đơn vị lipit. Mỗi kg thịt lợn chứa 600 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit. Biết rằng gia đình này chỉ mua tối đa 1, 6 kg thịt bò và 1, 1 kg thịt lợn; giá tiền 1 kg thịt bò là 45 nghìn đồng, 1 kg thịt lợn là 35 nghìn đồng. Hỏi gia đình đó phải mua bao nhiêu kg thịt mỗi loại để số tiền bỏ ra là ít nhất? Lời giải. Gọi x và y lần lượt là số kg thịt bò và thịt lợn mà gia đình đó mua mỗi ngày (0 ≤ x ≤ 1, 6; 0 ≤ y ≤ 1, 1). Khi đó chi phí để mua số thịt trên là f(x; y) = 45x + 35y nghìn đồng. Trong x kg thịt bò chứa 800x đơn vị protein và 200x đơn vị lipit. Trong y kg thịt lợn chứa 600x đơn vị protein và 400y đơn vị lipit. Suy ra số đơn vị protein và số đơn lipit lần lượt là 800x + 600y đơn vị và 200x + 400y đơn vị. Do gia đình này cần ít nhất 900 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày nên ta có hệ bất phương trình sau 800x + 600y ≥ 900, 200x + 400y ≥ 400, 0 ≤ x ≤ 1, 6, 0 ≤ y ≤ 1, 1. Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x; y) trên miền nghiệm của hệ bất phương trình. Miền nghiệm của hệ bất phương trình là tứ giác ABCD (kể cả biên). Hàm số f(x; y) = 45x + 35y sẽ đạt giá trị nhỏ nhất khi (x; y) là tọa độ của một trong các đỉnh A(1, 6; 1, 1), B(1, 6; 0, 2), C(0, 6; 0, 7), D(0, 3; 1, 1). Ta có: f(1, 6; 1, 1) = 110, 5; f(1, 6; 0, 2) = 79; f(0, 6; 0, 7) = 51, 5; f(0, 3; 1, 1) = 52. Suy ra f(x; y) nhỏ nhất khi (x; y) = (0, 6; 0, 7). Do đó gia đình này cần phải mua 0, 6 kg thịt bò và 0, 7 kg thịt lợn để số tiền bỏ ra là ít nhất.
Bài 2. Một gia đình định trồng cà phê và ca cao trên diện tích 10 ha. Nếu trồng cà phê thì cần 20 công và thu về 10.000.000 đồng trên diện tích mỗi ha, nếu trồng cà thì cần 30 công và thu 12.000.000 đồng trên diện tích mỗi ha. Hỏi cần trồng mỗi loại cây trên với diện tích là bao nhiêu để thu được nhiều tiền nhất. Biết rằng cà phê do các thành viên trong gia đình tự chăm sóc và số công không vượt quá 80, còn ca cao gia đình thuê người làm với giá 100.000 đồng cho mỗi công? Gọi x và y lần lượt là số ha cà phê và ca cao mà hộ nông dân này trồng (x, y ≥ 0). Số tiền cần bỏ ra để thuê người trồng ca cao là 30y.100000 = 3000000y (trồng). Lợi nhuận thu được là f(x; y) = 1000000x + 12000000 − 3000000y ⇒ f(x; y) = 10000000x + 9000000y (đồng). Vì số công để trồng cà phê không vượt qua 80 nên 20x ≤ 80 ⇔ x ≤ 4. Ta có hệ bất phương trình sau x + y ≤ 10, 0 ≤ x ≤ 4, y ≥ 0. Ta cần tìm giá trị lớn nhất của f(x; y) trên miền nghiệm của hệ. Miền nghiệm của hệ là tứ giác OABC (kể cả biên). Hàm số f(x; y) sẽ đạt giá trị lớn nhất khi (x; y) là toạ độ của một trong các đỉnh O(0; 0), A(4; 0), B(4; 6), C(0; 10). Suy ra f(x; y) lớn nhất khi (x; y) = (4; 6). Như vậy cần phải trồng 4 ha cà phê và 6 ha ca cao để thu về lợi nhuận lớn nhất.
Bài 3. Một hộ nông dân định trồng đậu và cà trên diện tích 8 ha. Nếu trồng đậu thì cần 20 công và thu 3000000 đồng trên diện tích mỗi ha, nếu trồng cà thì cần 30 công và thu 4000000 đồng trên diện tích mỗi ha. Hỏi cần trồng mỗi loại cây trên với diện tích là bao nhiêu để thu được nhiều tiền nhất biết rằng tổng số công không quá 180? Gọi số ha đậu và cà mà hộ nông dân này trồng lần lượt là x và y(x, y ≥ 0). Lợi nhuận thu được là f(x; y) = 3000000x + 4000000y (đồng). Tổng số công dùng để trông x ha đậu và y ha cà là 20x + 30y. Ta có hệ bất phương trình sau x + y ≤ 8, 20x + 30y ≤ 180, x, y ≥ 0. Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x; y) trên miền nghiệm của hệ bất phương trình. Miền nghiệm của hệ bất phương trình là tứ giác OABC (kể cả biên). Hàm số f(x; y) sẽ đạt giá trị lớn nhất khi (x; y) là tọa độ của một trong các đỉnh O(0; 0), A(8; 0), B(6; 2), C(0; 6). Ta có: f(0; 0) = 0, f(8; 0) = 24000000, f(6; 2) = 26000000, f(0; 6) = 2400000. Suy ra f(x; y) lớn nhất khi (x; y) = (6; 2) tức là hộ nông dân này cần phải tròng 6 ha đậu và 2 ha cà thì sẽ thu về lợi nhuận lớn nhất.
Bài 4. Một phân xưởng có hai máy đặc chủng M1, M2 sản xuất hai loại sản phẩm kí hiệu là A và B. Một tấn sản phẩm loại A lãi 2 triệu đồng, một tấn sản phẩm loại B lãi 1, 6 triệu đồng. Muốn sản xuất một tấn sản phẩm loại A phải dùng máy M1 trong 3 giờ và máy M2 trong 1 giờ. Muốn sản xuất một tấn sản phẩm loại B phải dùng máy M1 trong 1 giờ và máy M2 trong 1 giờ. Một máy không thể dùng để sản xuất đồng thời hai loại sản phẩm. Máy M1 làm việc không quá 6 giờ một ngày, máy M2 làm việc không quá 4 giờ một ngày. Hỏi số tiền lãi lớn nhất mà phân xưởng này có thể thu được trong một ngày là bao nhiêu? Gọi x, y lần lượt là số tấn sản phẩm loại A, B mà phân xưởng này sản xuất trong một ngày (x, y > 0). Khi đó số tiền lãi một ngày của phân xưởng này là f(x; y) = 2x + 1, 6y (triệu đồng); số giờ làm việc trong ngày của máy M1 là 3x + y và số giờ làm việc trong ngày của máy M2 là x + y. Vì mỗi ngày máy M1 làm việc không quá 6 giờ và máy M2 làm việc không quá 4 giờ nên ta có hệ bất phương trình. Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x; y) trên miền nghiệm của hệ bất phương trình. Miền nghiệm của hệ bất phương trình là tứ giác OABC (kể cả biên). Hàm số f(x; y) sẽ đạt giá trị lớn nhất trên miền nghiệm của hệ bất phương trình khi (x; y) là toạ độ một trong các đỉnh O(0; 0), A(2; 0), B(1; 3), C(0; 4). Ta có f(0; 0) = 0; f(2; 0) = 4; f(1; 3) = 6, 8; f(0; 4) = 6, 4. Suy ra max f(x; y) = 6, 8 khi (x; y) = (1; 3).
Bài 5. Một công ty cần thuê xe để chở 140 người và 9 tấn hàng. Nơi thuê xe có hai loại xe A và B, trong đó loại xe A có 10 chiếc và loại xe B có 9 chiếc. Một chiếc xe loại A cho thuê với giá 4 triệu đồng, một chiếc xe loại B cho thuê với giá 3 triệu. Biết rằng mỗi xe loại A có thể chở tối đa 20 người và 0, 6 tấn hàng; mỗi xe loại B có thể chở tối đa 10 người và 1, 5 tấn hàng. Hỏi phải thuê bao nhiêu xe mỗi loại để chi phí bỏ ra là ít nhất? Gọi x, y lần lượt là số xe loại A và B. Khi đó số tiền cần bỏ ra để thuê xe là f(x; y) = 4x + 3y. Ta có x xe loại A sẽ chở được 20x người và 0, 6x tấn hàng; y xe loại B sẽ chở được 10y người và 1, 5y tấn hàng. Suy ra x xe loại A và y xe loại B se chở được 20x + 10y người và 0, 6x + 1, 5y tấn hàng. Ta có hệ bất phương trình sau 20x + 10 ≥ 40, 0, 6x + 1, 5y ≥ 9, 0 ≤ x ≤ 10, 0 ≤ y ≤ 9 ⇔ 2x + y ≥ 14, 2x + 5y ≥ 30, 0 ≤ x ≤ 10, 0 ≤ y ≤ 9. Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x; y) trên miền nghiệm của hệ. Miền nghiệm của hệ là tứ giác ABCD (kể cả biên). Hàm số f(x; y) = 4x + 3y sẽ đạt giá trị nhỏ nhất trên miền nghiệm của hệ bất phương trình khi (x; y) là tọa độ của một trong các đỉnh A(5; 4), B(10; 2), C(10; 9). Ta có: f(5; 4) = 32; f(10; 2) = 46; f(10; 9) = 67. Suy ra f(x; y) nhỏ nhất khi (x; y) = (5; 4). Như vậy để chi phí vận chuyển thấp nhất cần thuê 5 xe loại A và 4 xe loại B.

Xem thêm :  Bảng số nguyên tố chuẩn, đầy đủ



Xem thêm bài viết thuộc chuyên mục: Giáo Dục

Related Articles

Back to top button