Cách giải bất phương trình logarit

Bài viết hướng dẫn phương pháp giải một số dạng toán bất phương trình logarit thường gặp trong chương trình Giải tích 12.

A. TÓM TẮT SÁCH GIÁO KHOA
Định nghĩa: Bất phương trình logarit cơ bản là bất phương trình có một trong các dạng: ${\log _a}x > m$, ${\log _a}x \ge m$, ${\log _a}x < m$, ${\log _a}x \le m$ với $0 < a \ne 1.$

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Phương pháp chung: Dùng tính chất đồng biến, nghịch biến của hàm mũ (mũ hóa).
Chú ý: Có thể tìm tập xác định của bất phương trình trước khi giải.

Vấn đề 1: Bất phương trình logarit dạng cơ bản.
1. PHƯƠNG PHÁP:
Với bất phương trình ${\log _a}x > m$ $(1).$
$(1) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x > {a^m}{\rm{\:nếu\:}}a > 1}\\
{0 < x < {a^m}{\rm{\:nếu\:}}0 < a < 1}
\end{array}} \right..$

2. CÁC VÍ DỤ:
Ví dụ 1: Giải các bất phương trình sau:
a) ${\log _2}\left( {{x^2} – 2x} \right) > 3.$
b) ${\log _{\frac{1}{3}}}\left( {{x^2} – 6x} \right) > – 3.$

a) ${\log _2}\left( {{x^2} – 2x} \right) > 3$ $ \Leftrightarrow {x^2} – 2x > {2^3}$ $ \Leftrightarrow {x^2} – 2x – 8 > 0$ $ \Leftrightarrow x < – 2$ hoặc $x > 4.$
b) ${\log _{\frac{1}{3}}}\left( {{x^2} – 6x} \right) > – 3$ $ \Leftrightarrow 0 < {x^2} – 6x < {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{ – 3}}$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x^2} – 6x > 0}\\
{{x^2} – 6x – 27 < 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x < 0{\rm{\:hoặc\:}}x > 6}\\
{ – 3 < x < 9}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{ – 3 < x < 0}\\
{6 < x < 9}
\end{array}} \right..$

Ví dụ 2: Giải bất phương trình sau: ${\log _3}\frac{{{x^2} + 4x}}{{2x – 3}} < 1.$

${\log _3}\frac{{{x^2} + 4x}}{{2x – 3}} < 1$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{{x^2} + 4x}}{{2x – 3}} > 0}\\
{\frac{{{x^2} + 4x}}{{2x – 3}} < 3}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{{x^2} + 4x}}{{2x – 3}} > 0}\\
{\frac{{{x^2} – 2x + 9}}{{2x – 3}} < 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2x – 3 < 0}\\
{{x^2} + 4x < 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x < \frac{3}{2}}\\
{ – 4 < x < 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow – 4 < x < 0.$

3. BÀI TẬP:
1. Giải các bất phương trình sau:
a) ${\log _8}(4 – 2x) \ge 2.$
b) ${\log _2}\left( {2 – x – \sqrt {{x^2} – 1} } \right) < 1.$
c) ${\log _{\sqrt 5 }}\left( {{6^{x + 1}} – {{36}^x}} \right) \le 2.$

2. Giải bất phương trình sau: ${\log _{\frac{2}{3}}}{\log _3}|x – 3| \ge 0.$

3. Giải bất phương trình sau: ${\log _2}x\left( {{{\log }_3}x – 1} \right) + 1 – {\log _3}x > 0.$

4. Giải bất phương trình: ${\log _{0,7}}\left[ {{{\log }_6}\left( {\frac{{{x^2} + x}}{{x + 4}}} \right)} \right] < 0$ (TSĐH – khối B – 2008).

5. Giải bất phương trình: ${\log _{\frac{1}{2}}}\left( {\frac{{{x^2} – 3x + 2}}{x}} \right) \ge 0$ (TSĐH – khối D – 2008).

Vấn đề 2: Đưa logarit về cùng một cơ số.
1. PHƯƠNG PHÁP:
Với $0 < a \ne 1$, ta có:
+ ${\log _a}f(x) > {\log _a}g(x)$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{f(x) > g(x) > 0{\rm{\:nếu\:}}a{\rm{ }} > 1}\\
{0 < f(x) < g(x){\rm{\:nếu\:}}0 < a < 1}
\end{array}} \right..$
+ ${\log _a}f(x) ≥ {\log _a}g(x)$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{f(x) ≥ g(x) > 0{\rm{\:nếu\:}}a{\rm{ }} > 1}\\
{0 < f(x) ≤ g(x){\rm{\:nếu\:}}0 < a < 1}
\end{array}} \right..$

2. CÁC VÍ DỤ:
Ví dụ 1: Giải các bất phương trình:
a) ${\log _{0,5}}(5x + 10) < {\log _{0,5}}\left( {{x^2} + 6x + 8} \right).$
b) ${\log _2}(x – 3) + {\log _2}(x – 2) \le 1.$

a) ${\log _{0,5}}(5x + 10) < {\log _{0,5}}\left( {{x^2} + 6x + 8} \right)$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x^2} + 6x + 8 > 0}\\
{5x + 10 > {x^2} + 6x + 8}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x < – 4 \vee x > – 2}\\
{{x^2} + x – 2 < 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x < – 4 \vee x > – 2}\\
{ – 2 < x < 1}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow – 2 < x < 1.$
b) ${\log _2}(x – 3) + {\log _2}(x – 2) \le 1$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x – 3 > 0}\\
{x – 2 > 0}\\
{{{\log }_2}(x – 3)(x – 2) \le {{\log }_2}2}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x > 3}\\
{{x^2} – 5x + 6 \le 2}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x > 3}\\
{1 \le x \le 4}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow 3 < x \le 4.$

Ví dụ 2: Giải bất phương trình: ${\log _x}\left( {3 – \sqrt {1 – 2x + {x^2}} } \right) > 1.$

Ta có: ${\log _x}\left( {3 – \sqrt {1 – 2x + {x^2}} } \right) > 1$ $ \Leftrightarrow {\log _x}(3 – |1 – x|) > 1$ $(1).$
Điều kiện: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{1 \ne x > 0}\\
{3 – |1 – x| > 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{0 < x \ne 1}\\
{ – 2 < x < 4}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{0 < x < 4}\\
{x \ne 1}
\end{array}} \right..$
$(1) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x > 1}\\
{3 – |1 – x| > x}
\end{array}} \right.$ hoặc $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{0 < x < 1}\\
{3 – |1 – x| < x}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow 1 < x < 2$ (thỏa điều kiện).
Vậy nghiệm của bất phương trình là: $1 < x < 2.$

3. BÀI TẬP:
1. Giải các bất phương trình sau:
a) ${\log _{\frac{1}{3}}}(x + 1) \le {\log _3}(2 – x).$
b) ${\log _{\frac{1}{7}}}\frac{{{x^2} + 6x + 9}}{{2(x + 1)}} < – {\log _7}(x + 1).$
c) ${\log _2}\left( {{9^{x – 1}} + 7} \right) > {\log _2}\left( {{3^{x – 1}} + 1} \right) + 2.$

2. Giải các bất phương trình sau:
a) ${\log _x}\left( {5{x^2} – 8x + 3} \right) > 2.$
b) ${\log _x}\frac{{4x + 5}}{{6 – 5x}} < – 1.$

3. Giải các bất phương trình sau:
a) $\frac{1}{2}{\log _{\frac{1}{2}}}x + {\log _{\frac{1}{4}}}(x – 1) + \frac{1}{2}{\log _2}6 \le 0.$
b) $\log \left( {{x^2} – 3x + 6} \right) > 2(\log x + \log 2).$
c) $\frac{1}{{{{\log }_{\frac{1}{2}}}(2x – 1)}} + \frac{1}{{{{\log }_2}\sqrt {{x^2} – 3x + 2} }} > 0.$

4. Giải bất phương trình: $2{\log _3}(4x – 3) + {\log _{\frac{1}{3}}}(2x + 3) \le 2$ (TSĐH – khối A – 2007).

5. Giải các bất phương trình sau:
a) ${\log _{\frac{1}{5}}}\left( {{x^2} – 6x + 18} \right) + 2{\log _5}(x – 4) < 0.$
b) ${\log _3}\left[ {{{\log }_{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} – 1} \right)} \right] < 1.$

6. Giải bất phương trình: ${\log _x}\left( {{{\log }_3}\left( {{9^x} – 72} \right)} \right) \le 1$ (TSĐH – khối B – 2002).

Vấn đề 3: Phương pháp đặt ẩn số phụ.
1. PHƯƠNG PHÁP:
Nếu đặt $t = {\log _a}x$ thì ${\log _{\frac{1}{a}}}x = – t$, ${\log _{{a^2}}}x = \frac{1}{2}t$, $\log _a^2x = {t^2}$ ….

2. CÁC VÍ DỤ:
Ví dụ: Giải bất phương trình: ${\log _2}\left( {{2^x} – 1} \right) \cdot {\log _2}\left( {{2^{x + 1}} – 2} \right) < 2.$

Ta có: ${\log _2}\left( {{2^x} – 1} \right).{\log _2}\left( {{2^{x + 1}} – 2} \right) < 2$ $ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{2^x} – 1} \right).\left[ {{{\log }_2}\left( {{2^x} – 1} \right) + {{\log }_2}2} \right] < 2$ $(1).$
Đặt $t = {\log _2}\left( {{2^x} – 1} \right).$
$(1)$ trở thành: $t(t + 1) < 2$ $ \Leftrightarrow {t^2} + t – 2 < 0$ $ \Leftrightarrow – 2 < t < 1$ $ \Leftrightarrow – 2 < {\log _2}\left( {{2^x} – 1} \right) < 1$ $ \Leftrightarrow {2^{ – 2}} < {2^x} – 1 < {2^1}$ $ \Leftrightarrow \frac{1}{4} + 1 < {2^x} < 2$ $ \Leftrightarrow \frac{5}{4} < {2^x} < 2$ $ \Leftrightarrow {\log _2}\frac{5}{4} < x < {\log _2}2$ $ \Leftrightarrow {\log _2}5 – 2 < x < 1.$

3. BÀI TẬP:
1. Giải các bất phương trình sau:
a) $2{\log _5}x – {\log _x}125 < 1.$
b) ${\log _x}2.{\log _{\frac{x}{{16}}}}2 > \frac{1}{{{{\log }_2}x – 6}}.$

2. Giải các bất phương trình sau:
a) ${3^{\log x + 2}} – {3^{\log {x^2} + 5}} + 2 < 0.$
b) ${6^{\log _6^2x}} + {x^{{{\log }_6}x}} \le 12.$

3. Giải các bất phương trình sau:
a) $\sqrt {\log _3^2x – 4{{\log }_3}x + 9} \ge 2{\log _3}x – 3.$
b) ${\log _2}\left( {{2^x} – 1} \right).{\log _2}\left( {{2^{x + 1}} – 2} \right) < 2.$

4. Giải bất phương trình: ${\log _5}\left( {{4^x} + 144} \right) – 4{\log _5}2 < 1 + {\log _5}\left( {{2^{x – 2}} + 1} \right)$ (Đề thi TSĐH – khối B – 2006).