Cách chứng minh tam giác cân, vuông

Cách 3: Chứng minh 2 đoạn thẳng đó là 2 cạnh bên của một tam giác cân hay là hai

cạnh của 1 tam giác đều.Bạn đang xem: Các cách chứng minh tam giác cân lớp 9

Cách 4 : Chứng minh 2 đoạn thẳng đó là các cạnh đối của hình bình hành, hình chữ

nhật, hình thoi hay hình vuông.

You watching: Nêu các cách chứng minh một tam giác là tam giác cân

2. Chứng minh : Hai góc bằng nhau

Cách 1: Hai góc cùng bằng góc thứ ba.

Cách 2: Chứng minh có hai tam giác bằng nhau mà hai tam giác này chứa hai góc

đó.

Cách 3: Chứng minh có hai tam giác đồng dạng mà hai tam giác này chứa hai góc

Cách 4 : Chứng minh hai góc (nhọn) này là các góc có cạnh tương ứng song song

hoặc vuông góc.

See more: Write A Short Paragraph About Tet Holiday Mấy Bạn Viết Ngắn Hộ Mình

Cách 5: Chứng minh 2 góc này là các góc đáy của tam giác cân, hình thang cân hay

là các góc của tam giác đều.

Cách 6: Chứng minh 2 góc là các góc đối của hình bình hành, hình thoi.

See more: Những Bộ Ngôn Tình Hay Nhất Mọi Thời Đại, 25 Bộ Phim Ngôn Tình Hay Nhất Mọi Thời Đại

Cách 7 : Dùng các tính chất bằng nhau của cặp góc đối đỉnh, so le, đồng vị.

1Download Bạn đang xem tài liệu “Các phương pháp chứng minh hình học phẳng”, để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trênGV. Lê Anh Tuấn Cao Đẳng Sư Phạm Đồng Nai 1 CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HÌNH HỌC PHẲNG GV. Lê Anh Tuấn, Tổ Toán, Trường Cao Đẳng Sư Phạm Đồng Nai Lời nói đầu: Người ta nói: “ Phương Pháp là thầy của các thầy ”. Điều này thật đúng. Đặc biệt trong chứng minh hình học, học sinh luôn gặp khó khăn trong việc tìm hướng chứng minh bài toán. Hy vọng rằng, những tổng kết qua bài viết này sẽ giúp ích cho việc dạy cũng như học hình học phẳng. 1. Chứng minh : Hai đoạn thẳng bằng nhau Cách 1: Chứng minh 2 đoạn thẳng này cùng bằng một đoạn thứ ba. Cách 2: Chứng minh có hai tam giác bằng nhau mà hai tam giác này chứa hai đoạn thẳng đó. Cách 3: Chứng minh 2 đoạn thẳng đó là 2 cạnh bên của một tam giác cân hay là hai cạnh của 1 tam giác đều. Cách 4 : Chứng minh 2 đoạn thẳng đó là các cạnh đối của hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi hay hình vuông. 2. Chứng minh : Hai góc bằng nhau Cách 1: Hai góc cùng bằng góc thứ ba. Cách 2: Chứng minh có hai tam giác bằng nhau mà hai tam giác này chứa hai góc đó. Cách 3: Chứng minh có hai tam giác đồng dạng mà hai tam giác này chứa hai góc đó. Cách 4 : Chứng minh hai góc (nhọn) này là các góc có cạnh tương ứng song song hoặc vuông góc. Cách 5: Chứng minh 2 góc này là các góc đáy của tam giác cân, hình thang cân hay là các góc của tam giác đều. Cách 6: Chứng minh 2 góc là các góc đối của hình bình hành, hình thoi. Cách 7 : Dùng các tính chất bằng nhau của cặp góc đối đỉnh, so le, đồng vị. abc211ABChẳng hạn: Nếu a // b , c là 1 cát tuyến cắt a và b thì: A1 = A2 : đối đỉnh A1 = B1 : đồng vị A2 = B1 : so le trong … GV. Lê Anh Tuấn Cao Đẳng Sư Phạm Đồng Nai 2 3. Chứng minh : 2 đường thẳng song song Cách 1: Hai đt cùng song song với đt thứ ba thì song song. Cách 2: Hai đt cùng vuông góc với đt thứ ba thì song song. Cách 3: Nếu 2 đt định trên một cát tuyến những góc so le bằng nhau, hay góc đồng vị bằng nhau thì chúng song song với nhau. abc211AB Chẳng hạn : Nếu có 2 1 1 1 hay A B A B= = thì a // b Cách 4: Sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác hay hình thang. Cách 5: Sử dụng định lý Talet đảo Cách 6: Các cạnh đối diện của hình thang, hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật, hình vuông. 4. Chứng minh : ba điểm thẳng hàng Để Cm 3 điểm A, B, C thẳng hàng làm như sau Cách 1: Chứng minh A thuộc BC Cách 2: A CB chứng minh 0180ABC = Cách 3: aA CBChứng minh : AB // a và AC // a Cách 4: dA CBchứng minh : AB và AC cùng vuông góc với d GV. Lê Anh Tuấn Cao Đẳng Sư Phạm Đồng Nai 3 5. Chứng minh : các đường thẳng đồng qui abcICách 1: Gọi I là giao điểm của a và b. Chứng minh I thuộc c( hay c đi qua I) Cách 2: chứng minh 3 đường thẳng a, b, c là 3 đường cao hay 3 đường trung tuyến, trung trực hay phân giác của một tam giác. 6. Chứng minh : Tam giác vuông HCMBACách 1: Tam giác có 1 góc vuông hay 2 góc phụ nhau Cách 2: Khi một đường trung tuyến bằng nửa cạnh tương ứng ( AM = BC/2 = MB = MC) Cách 3: Khi tam giác nội tiếp đường tròn đường kính BC Cách 4 : Khi một trong các hệ thức sau đây được nghiệm đúng AB2 + AC2 = BC2 ( Pitago đảo) AH2 = HB.HC ; AB2 = BC.BH ; AC2 = BC.CH ** Chứng minh : Tam giác vuông cân Tam giác ABC vuông tại A có một trong các yếu tố: + Góc B hay góc C bằng 450 + AB = AC + 2BC AB= GV. Lê Anh Tuấn Cao Đẳng Sư Phạm Đồng Nai 4 7. Chứng minh : Tam giác cân HB CACách 1: Hai cạnh bằng nhau AB = AC Cách 2: Hai góc bằng nhau : B C= Cách 3 : Đường cao AH cũng là đường phân giác góc A ( hay đường trung tuyến) 8. Chứng minh : Tam giác đều Cách 1 : Ta giác có 3 cạnh bằng nhau Cách 2: Tam giác cân có một góc bằng 600. 9. Chứng minh : Tứ giác là hình thang D CA BCách CM: Chứng minh tứ giác có 2 cạnh đối song song ( AB // CD) **Chứng minh : Tứ giác là hình thang cân Tứ giác ABCD là hình thang và có một trong các yếu tố sau đây: + Hai góc đáy bằng nhau ( góc C = góc D hay góc A = góc B) + Hai đường chéo bằng nhau ( AC = BD) + ABCD nội tiếp một đường tròn. 10. Chứng minh : Tứ giác là hình bình hành OCADBCách 1: Các cặp cạnh đối song song đôi một ( AB//CD và BC // AD) Cách 2: Hai cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau( AB //CD và AB = CD) Cách 3: Các cặp cạnh đối bằng nhau đôi một ( AB = CD và BC = AD) Cách 4 : Các góc đối bằng nhau đôi một ( ,A C B D= = ) Cách 5 : Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường ( OA = OC và OB = OD). GV. Lê Anh Tuấn Cao Đẳng Sư Phạm Đồng Nai 5 11. Chứng minh : Tứ giác là hình chữ nhật BD CACách 1: Tứ giác có 3 góc vuông ( A = B = C = 900) Cách 2: Hình bình hành có 1 góc vuông. Cách 3 : Hình bình hành có 2 đường chéo bằng nhau (AC = BD) 12. Chứng minh : Tứ giác là hình thoi CA BDCách 1: Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau Cách 2 : Hình bình hành có 2 cạnh kề bằng nhau ( chẳng hạn AB = BC) Cách 3 : Hình bình hành có 2 đường chéo vuông góc ( AC vuông BD) Cách 4 : Hình bình hành có 1 đường chéo là phân giác của góc hợp bởi hai cạnh. 13. Chứng minh : Tứ giác là hình vuông D CBACách 1: Hình chữ nhật có 2 cạnh kề bằng nhau. Cách 2: Hình thoi có 1 góc vuông. 14. Chứng minh : Tứ giác nội tiếp Cách 1: Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800 OADCBChứng minh : 0 0180 hay 180DAB DCB ADC ABC+ = + = GV. Lê Anh Tuấn Cao Đẳng Sư Phạm Đồng Nai 6 • Đặc biệt 1 DO BACA,C nhìn đường kính DB dưới 1 góc vuông thì ABCD nội tiếp đường tròn đường kính BC. • Đặc biệt 2 Tứ giác có 1 góc bằng góc ngoài của góc đối Cách 2: Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm O cho trước. Cách 3 : Tứ giác có 2 đỉnh liên tiếp cùng nhìn 1 cạnh dưới góc bằng nhau OA BDCChẳng hạn ta chứng minh được : DAC DBC= thì suy ra được ABCD nội tiếp. Đặc biệt: Tứ giác có 2 đỉnh liên tiếp cùng nhìn 1 cạnh dưới một góc vuông. DOABCGV. Lê Anh Tuấn Cao Đẳng Sư Phạm Đồng Nai 7 Chẳng hạn : B, C nhìn AD dưới góc 900 thì ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AD 15. Chứng minh : một đường thẳng là trung trực của một đoạn thẳng aMA BDECách 1: khi đt đó vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm( MA = MB và a vuông góc AB tại M) Cách 2: Khi 2 điểm của đt cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng ( DA = DB và EA = EB) Cách 3: Khi đt đó là đường phân giác, đường cao hay đường trung tuyến của một tam giác cân đã biết. Cách 4: Khi đt là đường chéo của một hình thoi hay một hình vuông đã biết. Cách 5: khi đt nối tâm của 2 đường tròn cắt nhau. 16. Chứng minh : một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn dOAChứng minh (d) là tiếp tuyến của đường tròn (O,R) tại A. Ta chứng minh: Cách 1: A thuộc (O,R) và d vuông góc OA tại A Cách 2: d vuông góc OA tại A và OA = R 17. Chứng minh: O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Cách 1: chứng minh OA = OB = OC Cách 2: chứng minh O là giao điểm của 2 đường trung trực của 2 cạnh tam giác ABC. GV. Lê Anh Tuấn Cao Đẳng Sư Phạm Đồng Nai 8 18. Chứng minh: I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Cách làm : chứng minh I là giao điểm của 2 tia phân giác trong 2 góc của tam giác. 19. Chứng minh: H là trực tâm tam giác ABC Cách làm : chứng minh H là giao điểm của 2 đường cao của tam giác này. 20. Chứng minh: các đẳng thức và bất đẳng thức về độ dài Cách làm: Thông thường ta sử dụng các kết quả về a) Hệ thức lượng trong tam giác vuông b) Tỉ số đồng dạng của tam giác. c) Công thức tính chu vi và diện tích các hình. d) Định lý Talet e) Bất đẳng thức về cạnh trong tam giác.

ở trênGV. Lê Anh Tuấn Cao Đẳng Sư Phạm Đồng Nai 1 CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HÌNH HỌC PHẲNG GV. Lê Anh Tuấn, Tổ Toán, Trường Cao Đẳng Sư Phạm Đồng Nai Lời nói đầu: Người ta nói: “ Phương Pháp là thầy của các thầy ”. Điều này thật đúng. Đặc biệt trong chứng minh hình học, học sinh luôn gặp khó khăn trong việc tìm hướng chứng minh bài toán. Hy vọng rằng, những tổng kết qua bài viết này sẽ giúp ích cho việc dạy cũng như học hình học phẳng. 1. Chứng minh : Hai đoạn thẳng bằng nhau Cách 1: Chứng minh 2 đoạn thẳng này cùng bằng một đoạn thứ ba. Cách 2: Chứng minh có hai tam giác bằng nhau mà hai tam giác này chứa hai đoạn thẳng đó. Cách 3: Chứng minh 2 đoạn thẳng đó là 2 cạnh bên của một tam giác cân hay là hai cạnh của 1 tam giác đều. Cách 4 : Chứng minh 2 đoạn thẳng đó là các cạnh đối của hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi hay hình vuông. 2. Chứng minh : Hai góc bằng nhau Cách 1: Hai góc cùng bằng góc thứ ba. Cách 2: Chứng minh có hai tam giác bằng nhau mà hai tam giác này chứa hai góc đó. Cách 3: Chứng minh có hai tam giác đồng dạng mà hai tam giác này chứa hai góc đó. Cách 4 : Chứng minh hai góc (nhọn) này là các góc có cạnh tương ứng song song hoặc vuông góc. Cách 5: Chứng minh 2 góc này là các góc đáy của tam giác cân, hình thang cân hay là các góc của tam giác đều. Cách 6: Chứng minh 2 góc là các góc đối của hình bình hành, hình thoi. Cách 7 : Dùng các tính chất bằng nhau của cặp góc đối đỉnh, so le, đồng vị. abc211ABChẳng hạn: Nếu a // b , c là 1 cát tuyến cắt a và b thì: A1 = A2 : đối đỉnh A1 = B1 : đồng vị A2 = B1 : so le trong … GV. Lê Anh Tuấn Cao Đẳng Sư Phạm Đồng Nai 2 3. Chứng minh : 2 đường thẳng song song Cách 1: Hai đt cùng song song với đt thứ ba thì song song. Cách 2: Hai đt cùng vuông góc với đt thứ ba thì song song. Cách 3: Nếu 2 đt định trên một cát tuyến những góc so le bằng nhau, hay góc đồng vị bằng nhau thì chúng song song với nhau. abc211AB Chẳng hạn : Nếu có 2 1 1 1 hay A B A B= = thì a // b Cách 4: Sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác hay hình thang. Cách 5: Sử dụng định lý Talet đảo Cách 6: Các cạnh đối diện của hình thang, hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật, hình vuông. 4. Chứng minh : ba điểm thẳng hàng Để Cm 3 điểm A, B, C thẳng hàng làm như sau Cách 1: Chứng minh A thuộc BC Cách 2: A CB chứng minh 0180ABC = Cách 3: aA CBChứng minh : AB // a và AC // a Cách 4: dA CBchứng minh : AB và AC cùng vuông góc với d GV. Lê Anh Tuấn Cao Đẳng Sư Phạm Đồng Nai 3 5. Chứng minh : các đường thẳng đồng qui abcICách 1: Gọi I là giao điểm của a và b. Chứng minh I thuộc c( hay c đi qua I) Cách 2: chứng minh 3 đường thẳng a, b, c là 3 đường cao hay 3 đường trung tuyến, trung trực hay phân giác của một tam giác. 6. Chứng minh : Tam giác vuông HCMBACách 1: Tam giác có 1 góc vuông hay 2 góc phụ nhau Cách 2: Khi một đường trung tuyến bằng nửa cạnh tương ứng ( AM = BC/2 = MB = MC) Cách 3: Khi tam giác nội tiếp đường tròn đường kính BC Cách 4 : Khi một trong các hệ thức sau đây được nghiệm đúng AB2 + AC2 = BC2 ( Pitago đảo) AH2 = HB.HC ; AB2 = BC.BH ; AC2 = BC.CH ** Chứng minh : Tam giác vuông cân Tam giác ABC vuông tại A có một trong các yếu tố: + Góc B hay góc C bằng 450 + AB = AC + 2BC AB= GV. Lê Anh Tuấn Cao Đẳng Sư Phạm Đồng Nai 4 7. Chứng minh : Tam giác cân HB CACách 1: Hai cạnh bằng nhau AB = AC Cách 2: Hai góc bằng nhau : B C= Cách 3 : Đường cao AH cũng là đường phân giác góc A ( hay đường trung tuyến) 8. Chứng minh : Tam giác đều Cách 1 : Ta giác có 3 cạnh bằng nhau Cách 2: Tam giác cân có một góc bằng 600. 9. Chứng minh : Tứ giác là hình thang D CA BCách CM: Chứng minh tứ giác có 2 cạnh đối song song ( AB // CD) **Chứng minh : Tứ giác là hình thang cân Tứ giác ABCD là hình thang và có một trong các yếu tố sau đây: + Hai góc đáy bằng nhau ( góc C = góc D hay góc A = góc B) + Hai đường chéo bằng nhau ( AC = BD) + ABCD nội tiếp một đường tròn. 10. Chứng minh : Tứ giác là hình bình hành OCADBCách 1: Các cặp cạnh đối song song đôi một ( AB//CD và BC // AD) Cách 2: Hai cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau( AB //CD và AB = CD) Cách 3: Các cặp cạnh đối bằng nhau đôi một ( AB = CD và BC = AD) Cách 4 : Các góc đối bằng nhau đôi một ( ,A C B D= = ) Cách 5 : Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường ( OA = OC và OB = OD). GV. Lê Anh Tuấn Cao Đẳng Sư Phạm Đồng Nai 5 11. Chứng minh : Tứ giác là hình chữ nhật BD CACách 1: Tứ giác có 3 góc vuông ( A = B = C = 900) Cách 2: Hình bình hành có 1 góc vuông. Cách 3 : Hình bình hành có 2 đường chéo bằng nhau (AC = BD) 12. Chứng minh : Tứ giác là hình thoi CA BDCách 1: Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau Cách 2 : Hình bình hành có 2 cạnh kề bằng nhau ( chẳng hạn AB = BC) Cách 3 : Hình bình hành có 2 đường chéo vuông góc ( AC vuông BD) Cách 4 : Hình bình hành có 1 đường chéo là phân giác của góc hợp bởi hai cạnh. 13. Chứng minh : Tứ giác là hình vuông D CBACách 1: Hình chữ nhật có 2 cạnh kề bằng nhau. Cách 2: Hình thoi có 1 góc vuông. 14. Chứng minh : Tứ giác nội tiếp Cách 1: Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800 OADCBChứng minh : 0 0180 hay 180DAB DCB ADC ABC+ = + = GV. Lê Anh Tuấn Cao Đẳng Sư Phạm Đồng Nai 6 • Đặc biệt 1 DO BACA,C nhìn đường kính DB dưới 1 góc vuông thì ABCD nội tiếp đường tròn đường kính BC. • Đặc biệt 2 Tứ giác có 1 góc bằng góc ngoài của góc đối Cách 2: Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm O cho trước. Cách 3 : Tứ giác có 2 đỉnh liên tiếp cùng nhìn 1 cạnh dưới góc bằng nhau OA BDCChẳng hạn ta chứng minh được : DAC DBC= thì suy ra được ABCD nội tiếp. Đặc biệt: Tứ giác có 2 đỉnh liên tiếp cùng nhìn 1 cạnh dưới một góc vuông. DOABCGV. Lê Anh Tuấn Cao Đẳng Sư Phạm Đồng Nai 7 Chẳng hạn : B, C nhìn AD dưới góc 900 thì ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AD 15. Chứng minh : một đường thẳng là trung trực của một đoạn thẳng aMA BDECách 1: khi đt đó vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm( MA = MB và a vuông góc AB tại M) Cách 2: Khi 2 điểm của đt cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng ( DA = DB và EA = EB) Cách 3: Khi đt đó là đường phân giác, đường cao hay đường trung tuyến của một tam giác cân đã biết. Cách 4: Khi đt là đường chéo của một hình thoi hay một hình vuông đã biết. Cách 5: khi đt nối tâm của 2 đường tròn cắt nhau. 16. Chứng minh : một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn dOAChứng minh (d) là tiếp tuyến của đường tròn (O,R) tại A. Ta chứng minh: Cách 1: A thuộc (O,R) và d vuông góc OA tại A Cách 2: d vuông góc OA tại A và OA = R 17. Chứng minh: O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Cách 1: chứng minh OA = OB = OC Cách 2: chứng minh O là giao điểm của 2 đường trung trực của 2 cạnh tam giác ABC. GV. Lê Anh Tuấn Cao Đẳng Sư Phạm Đồng Nai 8 18. Chứng minh: I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Cách làm : chứng minh I là giao điểm của 2 tia phân giác trong 2 góc của tam giác. 19. Chứng minh: H là trực tâm tam giác ABC Cách làm : chứng minh H là giao điểm của 2 đường cao của tam giác này. 20. Chứng minh: các đẳng thức và bất đẳng thức về độ dài Cách làm: Thông thường ta sử dụng các kết quả về a) Hệ thức lượng trong tam giác vuông b) Tỉ số đồng dạng của tam giác. c) Công thức tính chu vi và diện tích các hình. d) Định lý Talet e) Bất đẳng thức về cạnh trong tam giác.