Phương trình chứa căn – Bất phương trình chứa căn

Các dạng phương trình chứa căn bậc hai, bất phương trình chứa căn thức bậc hai luôn là một dạng toán xuất hiện nhiều trong các kì thi học kì, thi tuyển sinh vào lớp 10, thi THPTQG.

Để giải được phương trình, bất phương trình chứa căn, các em học sinh cần nắm vững kiến thức sau:

1. Nguyên tắc chung để giải phương trình, bất phương trình chứa căn bậc 2

Nguyên tắc chung để khử dấu căn thức là bình phương 2 vế của một phương trình, bất phương trình. Tuy nhiên, để đảm bảo việc bình phương này cho chúng ta một phương trình, bất phương trình mới tương đương thì cần phải có điều kiện cả 2 vế pt, bpt đều không âm.

Do đó, về bản chất, chúng ta lần lượt kiểm tra 2 trường hợp âm, và không âm của các biểu thức (thường là 1 vế của phương trình, bất phương trình đã cho).

Nếu bài viết hữu ích, bạn có thể ủng hộ chúng tôi bằng cách bấm vào các banner quảng cáo hoặc tặng tôi 1 cốc cafe vào số tài khoản Agribank 3205215033513.  Xin cảm ơn!

2. Các dạng phương trình chứa căn, bất phương trình chứa căn cơ bản

Có khoảng 4 dạng phương trình chứa căn, bất phương trình chứa căn cơ bản đó là

3. cách giải phương trình chứa căn, cách giải bất phương trình chứa căn

Chi tiết về phương pháp giải các dạng phương trình, bất phương trình chứa căn, xin mời thầy cô và các em học sinh theo dõi trong video sau đây.

4. Một số ví dụ về phương trình và bất phương trình chứa căn thức

Ví dụ 1. Giải phương trình

$$\sqrt {4 + 2x – {x^2}} = x – 2$$

Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với

\[\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}
x – 2 \ge 0\\
4 + 2x – {x^2} = {(x – 2)^2}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge 2\\
{x^2} – 3x = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge 2\\
x = 0\, \vee \,x = 3
\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow x = 3
\end{array}\] Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x = 3$.

Ví dụ 2. Giải phương trình

\[\sqrt {25 – {x^2}} = x – 1\]

Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với

\[\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}
x – 1 \ge 0\\
25 – {x^2} = {(x – 1)^2}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge 1\\
2{x^2} – 2x – 24 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge 1\\
x = 4\, \vee \,x = – 3
\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow x = 4
\end{array}\] Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=4$.

Ví dụ 3. Giải phương trình \[\sqrt {3{x^2} – 9x + 1} + 2 = x\]

Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với

\[\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,\,\,\,\sqrt {3{x^2} – 9x + 1} = x – 2\\
\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x – 2 \ge 0\\
3{x^2} – 9x + 1 = {(x – 2)^2}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge 2\\
2{x^2} – 5x – 3 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge 2\\
x = 3 \vee \,x = – \frac{1}{2}
\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow x = 3
\end{array}\] Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x = 3$.

Ví dụ 4. Giải phương trình $$\sqrt {{x^2} – 3x + 2} = x – 1$$

Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với $$\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}
x – 1 \ge 0\\
{x^2} – 3x + 2 = {\left( {x – 1} \right)^2}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge 1\\
x = 1
\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow x = 1
\end{array}$$ Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x = 1$.

Ví dụ 5. Giải phương trình $$\sqrt {{x^2} – 5x + 4} = \sqrt { – 2{x^2} – 3x + 12} $$

Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với $$\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} – 5x + 4 \ge 0\\
{x^2} – 5x + 4 = – 2{x^2} – 3x + 12
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left( {x – 1} \right)\left( {x – 4} \right) \ge 0\\
3{x^2} – 2x – 8 = 0
\end{array} \right. & \\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
x \le 1\\
x \ge 4
\end{array} \right.\\
\left[ \begin{array}{l}
x = 2\\
x = \frac{{ – 8}}{6}
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{{ – 8}}{6}
\end{array}$$ Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x = \frac{-8}{6}$.

Ví dụ 6. Giải bất phương trình $$x + 1 \ge \sqrt {2\left( {{x^2} – 1} \right)} $$

Hướng dẫn. Bất phương trình đã cho tương đương với $$\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}
x + 1 \ge 0\\
{\left( {x + 1} \right)^2} \ge 2\left( {{x^2} – 1} \right) \ge 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge – 1\\
{x^2} – 2x – 3 \le 0\\
{x^2} – 1 \ge 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge – 1\\
– 1 \le x \le 3\\
\left[ \begin{array}{l}
x \le – 1\\
x \ge 1
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = – 1\\
1 \le x \le 3
\end{array} \right.
\end{array}$$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left[ {1;3} \right] \cup \left\{ { – 1} \right\}$.

Ví dụ 7. Giải bất phương trình $$2x – 5 < \sqrt { – {x^2} + 4x – 3} $$

Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với $$\left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
2x – 5 < 0\\
– {x^2} + 4x – 3 \ge 0
\end{array} \right. &  \left( 1 \right)\\
\left\{ \begin{array}{l}
2x – 5 \ge 0\\
{\left( {2x – 5} \right)^2} < – {x^2} + 4x – 3
\end{array} \right. & \left( 2 \right)
\end{array} \right.$$

• Hệ bất phương trình (1) tương đương với $$\left\{ \begin{array}{l}
  x < \frac{5}{2}\\
  1 \le x \le 3
  \end{array} \right. \Leftrightarrow 1 \le x < \frac{5}{2}$$
• Hệ bất phương trình (2) tương đương với $$\begin{array}{l}
  \,\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}
  x \ge \frac{5}{2}\\
  5{x^2} – 24x + 28 < 0
  \end{array} \right.\\
  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
  x \ge \frac{5}{2}\\
  2 < x < \frac{{14}}{5}
  \end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{5}{2} \le x < \frac{{14}}{4}
  \end{array}$$

Lấy hợp tập nghiệm của 2 trường hợp trên, được đáp số cuối cùng là $S = \left[ {1;\frac{{14}}{5}} \right)$.

Ví dụ 8. Giải phương trình $$\sqrt {x + 4} – \sqrt {1 – x} = \sqrt {1 – 2x} $$

Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với

$$\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,\,\,\sqrt {x + 4} = \sqrt {1 – 2x} + \sqrt {1 – x} \\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
– 4 \le x \le \frac{1}{2}\\
x + 4 = 1 – x + 2\sqrt {(1 – x)(1 – 2x)} + 1 – 2x
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
– 4 \le x \le \frac{1}{2}\\
\sqrt {(1 – x)(1 – 2x)} = 2x + 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
– 4 \le x \le \frac{1}{2}\\
x \ge – \frac{1}{2}\\
(1 – x)(1 – 2x) = 4{x^2} + 4x + 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
– \frac{1}{2} \le x \le \frac{1}{2}\\
x = 0 \vee x = – \frac{7}{2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 0
\end{array}$$ Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x = 0$.

Ví dụ 9. Giải phương trình $$\sqrt {3x + 1} – \sqrt {2x – 1} = \sqrt {6 – x} $$

Hướng dẫn. Điều kiện $\left\{ \begin{align}  & 3x+1\ge 0 \\ & 2x-1\ge 0 \\ & 6-x\ge 0 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow \left\{ \frac{1}{2}\le x\le 6 \right.$

Với điều kiện đó, phương trình đã cho tương đương với $$\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,\,\,\sqrt {3x + 1} – \sqrt {2x – 1} = \sqrt {6 – x} \\
\Leftrightarrow \,\,\,\sqrt {3x + 1} = \sqrt {6 – x} + \sqrt {2x – 1} \\
\Leftrightarrow \,\,\,3x + 1 = 6 – x + 2x – 1 + 2\sqrt {6 – x} \sqrt {2x – 1} \\
\Leftrightarrow \,\,\,2x – 4 = 2\sqrt {6 – x} \sqrt {2x – 1} \\
\Leftrightarrow \,\,x – 2 = \sqrt {6 – x} \sqrt {2x – 1} \\
\Leftrightarrow \,\,{x^2} – 4x + 4 = – 2{x^2} + 13x – 6\,\,\,(x \ge 2)\\
\Leftrightarrow \,\,3{x^2} – 17x + 10 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 5\\
x = \frac{2}{3}\left( l \right)
\end{array} \right.
\end{array}.$$ Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=5$.

Ví dụ 10. Giải bất phương trình $$2\sqrt{x-3}-\frac{1}{2}\sqrt{9-2x}\ge \frac{3}{2}$$

Hướng dẫn. Điều kiện $\left\{ \begin{align}  & x-3\ge 0 \\ & 9-2x\le 0 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow 3\le x\le \frac{9}{2}$

Với điều kiện trên, bất phương trình đã cho tương đương với \[\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,\,\,2\sqrt {x – 3} \ge \frac{1}{2}\sqrt {9 – 2x} + \frac{3}{2}\\
\Leftrightarrow 4\left( {x – 3} \right) \ge \frac{1}{4}\left( {9 – 2x} \right) + \frac{9}{4} + \frac{3}{2}\sqrt {9 – 2x} \\
\Leftrightarrow 16x – 48 \ge 18 – 2x + 6\sqrt {9 – 2x} \\
\Leftrightarrow 9x – 33 \ge 3\sqrt {9 – 2x} \\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
18x – 64 \ge 0\\
{\left( {9x – 33} \right)^2} \ge 9\left( {9 – 2x} \right)
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge \frac{{32}}{9}\\
81{x^2} – 576x + 1008 \ge 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge \frac{{32}}{9}\\
\left[ \begin{array}{l}
x \le \frac{{28}}{9}\\
x \ge 4
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge 4
\end{array}\]

Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình là $S=\left[ 4;\,\frac{9}{2} \right]$.

Xem các ví dụ khác nữa tại đây: Phương pháp biến đổi tương đương giải phương trình chứa căn