Tổng hợp công thức phương trình đường thẳng trong không gian cực hay
Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng cơ bản – Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên hoconline)
+ Cho đường thẳng Δ đi qua điểm
và nhận vectơ làm vectơ chỉ phương. Khi đó Δ có phương trình tham số là :
+ Cho đường thẳng Δ đi qua điểm và nhận vectơ sao cho a.b.c ≠ 0 làm vectơ chỉ phương. Khi đó Δ có phương trình chính tắc là :
1. Góc giữa hai đường thẳng:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng d1; d2. Trong đó:
· Đường thẳng d1 vectơ chỉ phương
· Đường thẳng d2 có vectơ chỉ phương
· Góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 được xác định bởi:
2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng d và mặt phẳng (P). Trong đó:
· Đường thẳng d có vecto chỉ phương
· Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến là
· Gọi φ là góc tạo bởi đường thẳng d và mặt phẳng (P). Khi đó ,ta có:
1. Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng d đi qua điểm M0( x0; y0; z0) và có vecto chỉ phương .
Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d là:
2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2. Trong đó:
·Đường thẳng d1 đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương
· Đường thẳng d2 đi qua điểm N và có vectơ chỉ phương
·Khoảng cách hai đường thẳng d1 và d2 là:
1. Phương pháp giải
Nếu đường thẳng d đi qua điểm M(xo; yo; zo) và vecto chỉ phương ( a; b; c) thì
+ Phương trình tham số của đường thẳng d:
+ Phương trình chính tắc của đường thẳng d ( với a.b.c ≠ 0 ) là:
* Chú ý:
+ Nếu đường thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng (α) thì vectơ chỉ phương của đường thẳng d cùng phương với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α) vì d ⊥(α)
+ Nếu đường thẳng d// ∆ thì đường thẳng d nhận vecto ud→ = uΔ→ làm vecto chỉ phương .
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho đường thẳng ∆ biết ∆ đi qua A (2 ; 1 ; 5) và có vectơ chỉ phương =(1;1;2). Tìm mệnh đề đúng
A. Phương trình chính tắc của đường thẳng d:
B. Phương trình tham số của đường thẳng d:
C. Phương trình tham số của đường thẳng d:
D. Phương trình chính tắc của đường thẳng d:
Hướng dẫn giải:
Phương trình tham số của đường thẳng ∆ là:
Trong đó t là tham số
Phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ là:
Chọn B.
Ví dụ 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho đường thẳng ∆ đi qua A(1;0; -1) và vuông góc với mặt phẳng (P): 2x – y + z + 9 = 0. Tìm mệnh đề đúng?
A. Vậy phương trình tham số của ∆ là
B. Phương trình chính tắc của ∆ là
C. Vậy phương trình tham số của ∆ là:
D. Phương trình chính tắc của ∆ là
Hướng dẫn giải:
Vì đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng (α) nên vectơ chỉ phương của ∆ là:
= = (2; -1;1)
Vậy phương trình tham số của ∆ là
Phương trình chính tắc của ∆ là
Chọn A.
Ví dụ 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho đường thẳng d biết d đi qua A (1; 2; 3) và song song với (d’): . Tìm mệnh đề sai
A. Một vecto chỉ phương của đường thẳng d là ( -4; 4; 2)
B. Vậy phương trình tham số của d là
C. Phương trình chính tắc của d là
D. đường thẳng d không có phương trình chính tắc
Hướng dẫn giải:
Vì đường thẳng d // d’ nên vectơ chỉ phương của d là: = = ( 2; -2; -1)
Vậy phương trình tham số của d là
Phương trình chính tắc của d là
Chọn D.
1. Phương pháp giải
Cách 1:
+ Cả hai trường hợp đều suy ra ⊥ và ⊥
Mà (P) và (Q) cắt nhau nên VTCP của d là ⊥ [; ]
+ Tìm một điểm M thuộc đường thẳng d.
+ Đường thẳng d đi qua M và nhận vecto ⊥ [; ] làm vecto chỉ phương
=> phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng
Cách 2:
Nếu d là giao tuyến của hai mặt phẳng cắt nhau (P) và (Q) thì với mỗi điểm
M ( x; y;z) thuộc d là nghiệm của hệ phương trình:
phương trình (P) và Phương trình (Q) (*)
Đặt x= t ( hoặc y = t hoặc z = t) thay vào hệ (*) rồi rút y; z theo t
Từ đó suy ra phương trình của đường thẳng d.
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng (α): x- 3y + z = 0 và (α’): x+y – z +4 = 0. Viết phương trình tham số của đường thẳng d
Hướng dẫn giải:
Ta tìm một điểm thuộc đường thẳng d bằng cách cho y = 0 trong hệ (*)
Ta có hệ
Vậy điểm Mo( -2; 0; 2) thuộc đường thẳng d.
Do ( 1;-3; 1); ( 1; 1; -1)
Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là (1;1;2)
Chọn 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng d là (1; 1;2)
Vậy phương trình tham số của d là:
Chọn C.
Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; gọi d là giao tuyến của mặt phẳng (P): y – 2z + 3 = 0 và mặt phẳng tọa độ (Oyz).
Chọn 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng d là (1; 1;2)
Chọn 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng d là (1; 1;2)
Hướng dẫn giải:
Mặt phẳng (Oyz) có phương trình x= 0
Điểm M (x; y; z)∈ d khi tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:
Đặt z= t ta được: là phương trình đường thẳng d
Chọn A.
1. Phương pháp giải
Do đường thẳng song song với mặt phẳng ( P) và vuông góc với đường thẳng d’ nên
Suy ra ⊥ và ⊥
Mà d’ không vuông góc với (P)
Nên VTCP của d là = [;]
+ Đường thẳng d đi qua điểm M( đã biết) và nhận vecto làm vecto chỉ phương
=> phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng d.
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M (1; 2; -1), song song với mặt phẳng (P): x + y – z = 3 và vuông góc với đường thẳng d’:
Hướng dẫn giải:
Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là (1; 1; -1)
Vecto chỉ phương của đường thẳng d’ là: (1; 3; 2)
Do đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng d’ nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là: u→ = [nP→; ud’→] =( 5; -3; 2)
d đi qua điểm M (1; 2; -1)
Vậy phương trình đường thẳng d là
Chọn B.
Ví dụ 2: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M (0; 1; 2), song song với mặt phẳng (Oxy) và vuông góc với đường thẳng
Hướng dẫn giải:
Phương trình mặt phẳng (Oxy) là: z= 0; vecto pháp tuyến của mặt phẳng này là (0; 0; 1)
Vecto chỉ phương của đường thẳng d’ là (1; -2; 1)
Do đường thẳng d song song với mặt phẳng (Oxy) và vuông góc với đường thẳng d’ nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là: u→ = [ud’→;nOxy→] = ( 2; 1; 0)
d đi qua điểm M (0; 1; 2)
Vậy phương trình đường thẳng d là
Chọn C.
1. Phương pháp giải
+ Tìm vecto chỉ phương của đường thẳng ∆:
+ Tìm vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q): ;
+ Trong cả hai trường hợp ta đều có một vecto chỉ phương của đường thẳng d là:
= [; ] hoặc [; ]
+ Khi đó; đường thẳng d: đi qua điểm M và có vecto chỉ phương
=> phương trình đường thẳng d:
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng ∆: và mặt phẳng (P): x- 2y+ 3z+ 10 = 0. Viết phương trình đường thẳng d đi qua M( 1; -1; 1); nằm trong mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng ∆?
Hướng dẫn giải:
+ Đường thẳng ∆ có vecto chỉ phương ( 1; 2; -1)
Mặt phẳng ( P) có vecto pháp tuyến ( 1; -2; 3).
+ Do đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng ∆ nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là:
= [; ] = ( 4; – 4; – 4) chọn ( 1; -1; -1) .
=> Phương trình đường thẳng d cần tìm
Chọn B.
Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng ∆ : và mặt (P): x+ 2y – 3z+ 4= 0. Phương trình tham số của đường thẳng d nằm trong (P) , cắt và vuông góc đường thẳng ∆ là:
Hướng dẫn giải:
+ Tìm giao điểm M của ∆ và mặt phẳng ( P):
Điểm M( – 2+ t; 2+ t;- t) thuộc ∆.
Thay tọa độ M vào phương trình (P) ta được:
– 2+ t+ 2(2+ t) – 3( – t) + 4= 0 ⇔ – 2+ t + 4 + 2t + 3t + 4= 0
⇔ 6t+ 6= 0 nên t= -1 => M ( – 3; 1; 1)
+ Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến ( 1; 2;-3)
+ Đường thẳng ∆ có vectơ chỉ phương ( 1; 1; -1)
+ Do đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P)và vuông góc với đường thẳng ∆ nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là : u→=[nP→;u∆→] = (1; -2; -1)
+ Đường thẳng d đi qua điểm M( -3; 1; 1) và có vectơ chỉ phương là = (1; -2; -1)
Vậy phương trình tham số của d là:
Chọn B.
Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng nâng cao – Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên hoconline)
Xem thêm các chuyên đề Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
Giới thiệu kênh Youtube hoconline
phuong-trinh-duong-thang-trong-khong-gian.jsp
Phương trình đường thẳng – Môn toán lớp 10 – Thầy giáo: Nguyễn Công Chính
