Giáo Dục

Dấu của nhị thức bậc nhất: định lý, cách lập bảng xét dấu và bài tập

Định nghĩa nhị thức là gì?

Trong đại số, nhị thức được định nghĩa là một đa thức với hai số hạng – tổng của hai đơn thức. Đây cũng chính là dạng đa thức đơn giản nhất sau đơn thức.

Nhắc lại về nhị thức bậc nhất

  • Nhị thức bậc nhất (đối với x) là biểu thức dạng \(ax+b\)

    , trong đó a và b là hai số cho trước với \(a \neq0\)

  • \(x_0= \frac{-b}{a}\) được gọi là nghiệm của nhị thức bậc nhất \(f(x) =ax+b\)

Định lý dấu của nhị thức bậc nhất

Trong toán học, nhị thức \(f(x) =ax+b(a\neq0)\) cùng dấu với hệ số a khi x lấy giá trị trong khoảng \(\left (\frac{-b}{a};+\infty \right )\) và trái dấu với hệ số a khi x lấy giá trị trong khoảng \(\left (-\infty ;\frac{-b}{a} \right )\). Nội dung định lý được mô tả trong bảng xét dấu của \(f(x)=ax+b\).

định lý dấu của nhị thức bậc nhất

Minh họa bằng đồ thị:

đồ thị dấu của nhị thức bậc nhất

Giả sử f(x) là một tích của những nhị thức bậc nhất. Áp dụng định lý về dấu của nhị thức bậc nhất có thể xét dấu từng nhân tử. Lập bảng xét dấu chung cho tất cả các nhị thức bậc nhất có mặt trong f(x) ta suy ra được dấu của f(x). Trường hợp f(x) là một thương cũng được xét tương tự.

Giải bất phương trình \(f(x) > 0\) thực chất là xét xem biểu thức \(f(x)\) nhận giá trị dương với những giá trị nào của x (do đó cũng biết \(f(x)\) nhận giá trị âm với những giá trị nào của x), làm như vậy ta nói đã xét dấu biểu thức \(f(x)\)

Giải bất phương trình tích

Các dạng toán thường gặp: \(P(x)>0,P(x)\geq 0,P(x)<0,P(x)\leq0\) trong đó P(x) là tích các nhị thức bậc nhất.

Lập bảng xét dấu của P(x), từ đó suy ra tập nghiệm của bất phương trình.

Ví dụ: Giải bất phương trình: \((x-2)(x+1)(3x-4)>0\)

Xem thêm :  Bảng giá các loại tã cho trẻ sơ sinh

  1. \((x-2)(x+1)(3x-4)>0\hspace{1.5cm}(1)\) 

  • Đặt \(P(x)=(x-2)(x+1)(3x-4)\) 

  • Giải phương trình \(P(x)=0\) ta được: \(x=2;x=-1;x=\frac {4}{3}\)

  • Sắp xếp các giá trị tìm được của x theo giá trị tăng: \(-1,\frac{4}{3},2\). Ba số này chia thành bốn khoảng. Ta xác định dấu của \(P(x)\) trên từng khoảng bằng cách lập bảng xét dấu của \(P(x)\)

ứng dụng dấu của nhị thức bậc nhất để giải toán

Dựa vào bảng xét dấu, ta có tập nghiệm của bất phương trình (1) là:\(\left ( -1;\frac{4}{3} \right )\cup\left(2;+\infty \right)\)

Giải bất phương trình chứa ẩn ở mẫu 

Các dạng toán thường gặp: \(\frac{P(x)}{Q(x)} > 0, \frac{P(x)}{Q(x)} \geq 0, \frac{P(x)}{Q(x)} < 0, \frac{P(x)}{Q(x)}\leq0\), trong đó P(x) và Q(x) là tích những nhị thức bậc nhất.

Lập bảng xét dấu của \(\frac{P(x)}{Q(x)}\), từ đó suy ra tập nghiệm của bất phương trình.

Ví dụ: Giải bất phương trình:\(\frac{4}{x-3} \leq\frac{6}{3x+2}\hspace{1.5cm} (1)\)

Ta có: 

\((1)\Leftrightarrow\frac{4}{x-3}-\frac{6}{3x+2}\leq0\\ \Leftrightarrow \frac{4(3x+2)-6(x-3)}{(x-3)(3x+2)}\leq0\\ \Leftrightarrow\frac{6x+26}{(x-3)(3x+2)}\leq0\)

Ta lập bảng xét dấu của bất phương trình (2): 

ví dụ về dấu của nhị thức bậc nhất

Dựa vào bảng xét dấu, ta có tập nghiệm của bất phương trình (2) là: \(\left (-\infty;\frac{-26}{6} \right ]\cup\left (\frac{-2}{3};3\right )\)

Giải bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối

Sử dụng định nghĩa hoặc tính chất của giá trị tuyệt đối để khử dấu giá trị tuyệt đối. Ta thường phải xét phương trình hay bất phương trình trong nhiều khoảng (đoạn, nửa đoạn) khác nhau, trên đó mỗi biểu thức nằm trong dấu giá trị tuyệt đối đều có một dấu xác định.

Ví dụ: Giải bất phương trình: \(|2x-1| < 3x+5\hspace{1.5cm}(3)\)

  • Với \(x < \frac{1}{2}\), ta có: 

\((3)\Leftrightarrow1-2x<3x+5\Leftrightarrow5x>-4\Leftrightarrow x>-\frac{4}{5}\)

Kết hợp với điều kiện \(x<\frac{1}{2}\), ta được \(-\frac{4}{5}

  • Với \(x\geq\frac{1}{2}\), ta có: 

\((3)\Leftrightarrow 2x-1<3x+5\Leftrightarrow x>-6\)

Kết hợp với điều kiện \(x\geq\frac{1}{2}\), ta được \(x\geq\frac{1}{2}\).

Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình (3) : \(\left (-\frac{4}{5};\frac{1}{2} \right )\cup\left [\frac{1}{2};+\infty \right )=\left ( -\frac{4}{5};+\infty \right )\)

Các dạng toán về dấu của nhị thức bậc nhất

Lập bảng xét dấu biểu thức chứa nhị thức bậc nhất

Ví dụ 1: 

  1. \(x(4-x^2)(x+2)\)

  2. \(1-\frac{4x^2}{(x+1)^2}\)

  3. \(\frac{4x-12}{x^2-4x}\)

Cách giải: 

  1. Ta có: \(x(4-x^2)(x+2)=x(2-x)(x+2)^2\)

Bảng xét dấu: 

các dạng toán về dấu của nhị thức bậc nhất

    2. Ta có: \(1-\frac{4x^2}{(x+1)^2}=\frac{(x+1)^2-4x^2}{(x+1)^2}= \frac{(3x+1)(1-x)}{(x+1)^2}\)

Bảng xét dấu: 

Xem thêm :  Văn bản người lái đò sông đà sgk ngữ văn 12

tìm hiểu bảng xét dấu tam thức bậc nhất

   3. Ta có: \(\frac{4x-12}{x^2-4x}=\frac{4x-12}{x(x-4)}\)

Bảng xét dấu: 

cách lập bảng xét dấu lớp 10

Ví dụ 2: Tùy vào \(m\) xét dấu biểu thức sau \(\frac{-2x+m}{x-2}\)

Cách giải: 

Ta có: \(x-2=0\Leftrightarrow x=2\\ -2x+m=0\Leftrightarrow x=\frac{m}{2}\)

Trường hợp 1: \(\frac{m}{2}>2\Leftrightarrow m>4\)

Bảng xét dấu: 

lý thuyết dấu của nhị thức bậc nhất và

Suy ra \(\frac{-2x+m}{x-2}>0\Leftrightarrow x\in\left ( 2;\frac{m}{2} \right )\) và \(\frac{-2x+m}{x-2}<0\Leftrightarrow x\in\left ( -\infty;2 \right )\cup\left ( \frac{m}{2};+\infty \right )\)

Trường hợp 2: \(\frac{m}{2}=2\Leftrightarrow m=4\)

Ta có \(\frac{-2x+m}{x-2}=\frac{-2x+2}{x-2}=-2\)

Suy ra \(\frac{-2x+m}{x-2}<0\Leftrightarrow x\in\mathbb{R}\setminus \left \{ 2 \right \}\)

Trường hợp 3: \(\frac{m}{2}<2\Leftrightarrow m<4\)

Bảng xét dấu: 

nhị thức là gì và ý nghĩa bậc nhất

Suy ra \(\frac{-2x+m}{x-2}>0\Leftrightarrow x\in\left ( \frac{m}{2};2 \right )\) và \(\frac{-2x+m}{x-2}<0\Leftrightarrow x\in\left (-\infty; \frac{m}{2} \right )\cup\left ( 2;+\infty \right )\).

Tìm hiểu ứng dụng xét dấu của nhị thức bậc nhất

Ví dụ 1: Giải các bất phương trình sau: 

  1. \(x(\sqrt{3}x-3)(3-x^2)\leq0\)

  2. \(\frac{1}{(x-2)^2}\leq\frac{1}{x+4}\)

  3. \(||2x-1|-4|>3\)

  4. \(|x+1|-|x-2|\geq3\)

  5. \(\frac{|x-1|-1}{x^4-x^2}\)

  1. Ta có: \(x(\sqrt{3}x-3)(3-x^2)\leq0\Leftrightarrow x\sqrt{3}(x-\sqrt3)(\sqrt3-x)(\sqrt3+x)\leq0\Leftrightarrow -\sqrt3x(x-\sqrt3)^2(x+\sqrt3)\leq0\)

\(\Leftrightarrow\left[ \begin{array}{ll} x=\sqrt3 & \\ x(x+\sqrt3)\ge0 & \end{array} \right.\)

Bảng xét dấu: 

tìm hiểu kiến thức dấu nhị thức bậc nhất

Suy ra \(x(x+\sqrt3)\ge0\Leftrightarrow x\in \left ( -\infty;-\sqrt3 \right ]\cup \left [0;+\infty \right )\).

Vậy tập nghiệm của phương trình là: \(S=\left ( -\infty;-\sqrt3 \right ]\cup \left [0;+\infty \right )\)

    2. Điều kiện xác định: \(\left\{\begin{matrix} x\ne2 & \\ x\ne -4 & \end{matrix}\right.\)

Ta có:

\(\frac{1}{(x-2)^2}\leq\frac{1}{x+4} \Leftrightarrow \frac{1}{x+4}-\frac{1}{(x-2)^2}\ge0\\ \Leftrightarrow\frac{x^2-4x}{(x+4)(x-2)^2}\ge0\Leftrightarrow\frac{x(x-4)}{(x+4)(x-2)^2}\ge0\\ \Leftrightarrow\frac{x(x-4)}{(x+4)}\). Do \((x-2)^2\) luôn dương nên ta chỉ xét các phần tử còn lại.

nguyên tắc dấu của nhị thức bậc nhất

Kết hợp với điều kiện xác định ban đầu, suy ra tập nghiệm của bất phương trình là: \(S=\left (-4;0 \right ]\cup\left [4;+\infty \right )\).

   3. Ta có: 

\(||2x-1|-4|>3\Leftrightarrow\left[ \begin{array}{ll} |2x-1|-4>3 & \\ |2x-1|-4<-3 & \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow\left[ \begin{array}{ll} |2x-1|>7 & \\ |2x-1|<1 & \end{array} \right.\Leftrightarrow\left[ \begin{array}{ll} 2x-1>7 & \\ 2x-1<-7 & \\-1<2x-1<1 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow\left[ \begin{array}{ll} x>4 & \\ x<-3 & \\0

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \(S=\left ( -\infty;-3 \right )\cup\left ( 0;1 \right )\cup\left ( 4;+\infty \right )\)

    4. Bảng xét dấu: 

giải bất phương trình từ dấu của nhị thức bậc nhất

Từ bảng xét dấu đó ta chia ra các trường hợp sau: 

  • Với \(x<-1\) ta có bất phương trình tương đương với \(-(x+1)+(x-2)\ge3\Leftrightarrow-3\ge3\) (vô nghiệm).

  • Với \(-1\le x\le2\) ta có bất phương trình tương đương với \((x+1)+(x-2)\ge3\Leftrightarrow x\ge2\). Kết hợp với điều kiện \(-1\le x\le2\) suy ra bất phương trình vô nghiệm.

  • Với \(x\ge2\) ta có bất phương trình tương đương với \((x+1)-(x-2)\ge3\Leftrightarrow 3\ge3\). Kết hợp với điều kiện \(x\ge2\) suy ra bất phương trình có nghiệm là \(x\ge2\)

Xem thêm :  15 mẫu tóm tắt vợ nhặt ngắn gọn và đầy đủ

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S=\left [2;+\infty \right )\)

   5. Điều kiện xác định: \(x^4-x^2\ne0\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} x\ne0 & \\ x\ne\pm 1 & \end{matrix}\right.\)

Ta có: 

\(\frac{|x-1|-1}{x^4-x^2}\ge0\Leftrightarrow\frac{(|x-1|+1)(|x-1|-1)}{x^4-x^2}\ge0\Leftrightarrow\frac{|x-1|^2-1}{x^4-x^2}\\ \Leftrightarrow\frac{x^2-2x}{x^4-x^2}\ge0\Leftrightarrow\frac{x(x-2)}{x^2(x-1)(x+1)}\ge0\Leftrightarrow\frac{x-2}{x(x-1)(x+1)}\ge0\)

Bảng xét dấu: 

bài tập về dấu của nhị thức bậc nhất

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \(S=\left ( -\infty;-1 \right )\cup\left ( 0;1 \right )\cup\left [2;+\infty \right )\).

Ví dụ 2:

luyện tập về các dạng toán dấu của nhị thức bậc nhất

lời giải dấu của nhị thức bậc nhất

Xem chi tiết qua tài liệu cùng bài giảng dưới đây:

(Nguồn: www.youtube.com)

dau-cua-nhi-thuc-bac-nhat-7

Xem thêm:

Rate this post

Please follow and like us:

error

fb-share-icon



Dấu của nhị thức bậc nhất – Bài 3 – Toán học 10 – Thầy Lê Thành Đạt (HAY NHẤT)


? Đăng ký khóa học của thầy cô VietJack giá từ 250k tại: https://bit.ly/30CPP9X.
?Tải app VietJack để xem các bài giảng khác của thầy cô. Link tải: https://vietjack.onelink.me/hJSB/30701ef0
☎️ Hotline hỗ trợ: 084 283 4585
Toán học 10 Bài 3 Dấu của nhị thức bậc nhất
Dấu của nhị thức bậc nhất là bài học quan trọng trong chương trình Toán học 10. Trong bài giảng này, thầy sẽ giúp các em tìm hiểu tất cả các lý thuyết trọng tâm nhất bài học. Từ đó, các em sẽ giải các dạng bài tập từ cơ bản nhất đến nâng cao. Các em chú ý theo dõi bài học cùng thầy nhé !
Đăng kí mua khóa học của VietJack tại: https://m.me/hoc.cung.vietjack
Học trực tuyến tại: https://khoahoc.vietjack.com/
Fanpage: https://www.facebook.com/hoc.cung.vietjack/
vietjack, toan10, bai3
▶ Danh sách các bài học môn Toán học 10 Thầy Lê Thành Đạt:
https://www.youtube.com/playlist?list=PLOVaCZ_HQkvc7PyQ2JJ8DILA2FMdB5Wbv
▶ Danh sách các bài học môn Sinh học 10 Cô Nguyễn Thị Hoài Thu:
https://www.youtube.com/playlist?list=PLOVaCZ_HQkvf1TCEDtT33qpRC1_rke5pb
▶ Danh sách các bài học môn Vật lý 10 Cô Nguyễn Quyên:
https://www.youtube.com/playlist?list=PLOVaCZ_HQkvejV26PPtl0Hn_xt_3zfs9C
▶ Danh sách các bài học môn Ngữ văn 10 Cô Trương Khánh Linh:
https://www.youtube.com/playlist?list=PLOVaCZ_HQkvfVitVNby1tzl4Yed_kItOf
▶ Danh sách các bài học môn Lịch sử 10 Cô Triệu Thị Trang:
https://www.youtube.com/playlist?list=PLOVaCZ_HQkvdzGBbluX0ggFOi8BheSIER

Xem thêm bài viết thuộc chuyên mục: Giáo Dục

Related Articles

Back to top button