Cách tính đường cao trong tam giác cân, đều, đường cao là gì

Bạn đang xem: Cách tính đường cao trong tam giác cân, đều, đường cao là gì Tại Website vuongquocdongu.com

Định nghĩa của high road là gì?

• Trong toán học, đường cao của tam giác theo định nghĩa là đoạn thẳng được vẽ từ một đỉnh và vuông góc với cạnh đối diện. Cạnh đối diện này thường được gọi là đáy tương ứng với mức cao.

• Về mặt lý thuyết, giao điểm của đường cao với đáy được gọi là chân của đường cao.

• Chiều dài của đỉnh cao theo định nghĩa là khoảng cách giữa đỉnh và đáy.

Tìm hiểu tính chất của đường cao trong hình tam giác

Thông thường, trong hình tam giác, đường cao sẽ được sử dụng để tính diện tích của hình tam giác

Cho tam giác (ABC ) với đường cao (AH ) tương ứng với đáy (BC ). Khi đó diện tích tam giác (ABC ) được tính theo công thức:

(S _ { Delta ABC} =[latex] frac {1} {2} BC.AH )

Công thức trên cũng thường được sử dụng để tính độ dài đường cao dựa trên diện tích tam giác: (AH = frac {2.S _ { Delta ABC}} {BC} )

Ví dụ 1:

Cho tam giác (ABC ) đường cao (AH ). Gọi (M ) là trung điểm (AC. ). Vẽ (MK ) vuông góc với (BC ). Biết ( frac {HB} {HC} = frac {1} {3} ), hãy tính tỉ số ( frac {S _ { Delta MKC}} {S _ { Delta ABC}} )

Bởi vì ( left { begin {matrix} MK bot BC \ AH bot BC end {matrix} right. Rightarrow AH || BC )

Vì (M ) là trung điểm (AC ) nên ( Rightarrow MK ) là trung điểm của tam giác (AHC )

( Rightarrow K ) là điểm giữa của (HC )

( Rightarrow frac {KC} {HC} = frac {1} {2} )

Bởi vì ( frac {HB} {HC} = frac {1} {3} Rightarrow frac {HC} {BC} = frac {3} {4} )

( Rightarrow frac {KC} {BC} = frac {3} {8} )

Vì (MK ) là trung tuyến của tam giác (AHC ) nên ( frac {MK} {AH} = frac {1} {2} )

Vì vậy chúng tôi có:

( frac {S _ { Delta MKC}} {S _ { Delta ABC}} = frac {MK.KC} {AH.BC} = frac {MK} {AH}. frac {KC} {BC } = frac {1} {2}. frac {3} {8} = frac {3} {16} )

• Trong một tam giác cân, theo định nghĩa, đường cao tương ứng với đáy là đường trung tuyến tương ứng với cạnh đáy đó. Như vậy, đường cao của tam giác cân đi qua điểm giữa của cạnh dưới.

• Ngoài ra, đường cao của tam giác cân còn là tia phân giác của góc đối đỉnh và đường trung trực của đáy tam giác.

• Ngược lại, nếu một tam giác có đường cao đồng thời là trung tuyến hoặc đường phân giác thì tam giác đó là tam giác cân.

Ví dụ 2:

Cho tam giác (ABC ) đường cao (AH ) và (HC = 2HB ). Trên đường thẳng đi qua (C ) song song với (AH ), lấy điểm (K ) sao cho (CK = AH ) và (K ) nằm ở phía đối diện của (A ) qua (BC ). (AK cap BC = D ). Chứng minh rằng tam giác (ABD ) là cân

Bởi vì ( left { begin {matrix} AH bot BC \ CK bot BC end {matrix} right. Rightarrow AH || CK )

Trong đó (AH = CK Rightarrow AHCK ) là một hình bình hành

( Rightarrow D ) là điểm giữa của (HC )

( Rightarrow frac {HD} {HC} = frac {1} {2} = frac {HB} {HC} Rightarrow HB = HD )

( Rightarrow ) AH là đường trung bình của tam giác (ABD )

Trong đó (AH ) cũng là đường cao của tam giác (ABD )

( Rightarrow ) tam giác (ABD ) cân tại (A )

Tam giác đều là một dạng đặc biệt của tam giác cân. Do đó, tính chất đường cao trong tam giác đều tương tự như tính chất đường cao trong tam giác cân.

Trong một tam giác vuông, đường cao có đáy là một cạnh góc vuông là cạnh kia của góc vuông. Như vậy, đỉnh của góc vuông là chân đường cao kẻ từ hai đỉnh còn lại đến hai góc vuông của tam giác.

Học các công thức về đường cao trong tam giác

Công thức của Heron: Đây là công thức chung để tính độ dài đường cao của bất kỳ tam giác nào

(h_a = 2 frac { sqrt {p (pa) (pb) (pc)}} {a} )

Trong đó:

(a, b, c ) là độ dài ba cạnh của tam giác

(p ) là nửa chu vi: (p = frac {a + b + c} {2} )

(h_a ) là độ dài của độ cao tương ứng với cơ sở (a )

Ngoài ra, trong một số tam giác đặc biệt, chúng ta có thể sử dụng các công thức khác để tính đường cao của tam giác.

(AH = sqrt {AB ^ 2- frac {BC ^ 2} {4}} )

(AH = sqrt {AB ^ 2- frac {BC ^ 2} {4}} = frac {a sqrt {3}} {4} )

Dựa vào hệ thức lượng giác trong tam giác vuông, ta có thể tính độ dài đường cao bằng các công thức sau:

(AH = frac {AB.AC} {BC} )

(AH = sqrt {HB.HC} )

( frac {1} {AH ^ 2} = frac {1} {AB ^ 2} + frac {1} {AC ^ 2} )

Ví dụ 3:

Cho tam giác (ABC là cân tại [latex] A có đường cao [latex] Một bàn tay [latex] BK. Chứng minh rằng :

[latex] frac {1} {BK ^ 2} = frac {1} {BC ^ 2} + frac {1} {4AH ^ 2} )

Dựng đường thẳng vuông góc với (BC ) tại (B ) cắt đường thẳng (AC ) tại (D ). Sau đó chúng tôi có:

( left { begin {matrix} AH bot BC \ BD bot BC end {matrix} right. Rightarrow AH || BD )

Vì tam giác (ABC ) là cân tại (A ), đường cao (AH ) cũng là trung tuyến của (BC )

( Rightarrow H ) là trung điểm (BC )

( Rightarrow AH ) là trung tuyến của tam giác BCD [/latex]

( Rightarrow BD = 2AH )

Áp dụng hệ thức lượng giác với tam giác vuông (BCD ) ta có:

( frac {1} {BK ^ 2} = frac {1} {BC ^ 2} + frac {1} {BD ^ 2} = frac {1} {BC ^ 2} + frac {1 } {4AH ^ 2} )

Tìm hiểu về trực tâm của tam giác

Trực tâm của tam giác đơn giản là giao điểm của ba đường cao xuất phát từ ba đỉnh của tam giác, đồng thời vuông góc với cạnh đối diện. Ba đường cao này sẽ cắt nhau tại một điểm mà ta gọi là trực tâm của tam giác.

• Đối với tam giác nhọn:

  Trực tâm sẽ nằm trong vùng bên trong tam giác đó.

• Đối với tam giác vuông:

  Trực tâm sẽ là đỉnh của góc vuông.

• Đối với tam giác tù: Trực tâm sẽ nằm bên ngoài tam giác.

Trực tâm của một tam giác là gì? Đây là câu hỏi được rất nhiều bạn học sinh quan tâm, hãy cùng tìm hiểu về tính chất trực tâm của tam giác dưới đây:

• Trong một tam giác đều, trực tâm cũng là tâm và cũng là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.

• Theo định lý Carnot: Đường cao kẻ từ đỉnh của tam giác cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác đó tại điểm thứ hai là điểm đối xứng của trực tâm qua đáy tương ứng.

• Khoảng cách từ một điểm đến trực tâm của tam giác sẽ gấp đôi khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đến cạnh nối của hai đỉnh còn lại.

Chứng minh tính chất trực tâm của tam giác

Gọi (H ) là trực tâm của tam giác (ABC ). Dựng đường kính (BD ). Vẽ (OI / bot BC )

Vì (BD ) là đường kính ( Rightarrow widehat {BCD} = 90 ^ { circle} )

( Rightarrow DC bot BC ). Mà (AH bot BC )

( Rightarrow AH || CD )

Tương tự có (AD || CH ) vì cùng vuông góc với (AB )

Vậy ( Rightarrow AHCD ) là một hình bình hành

( Rightarrow AH = CD ; ; ; ; (1) )

Hãy xem xét ( Delta BCD ) có:

(O ) là trung điểm (BD )

(OI || CD ) vì cùng vuông góc với (BC )

( Rightarrow OI ) là đường trung bình của tam giác (BCD )

( Rightarrow OI = frac {CD} {2} ; ; ; ; ; (2) )

Từ ((1) (2) Rightarrow AH = CD = 2OI )

Ví dụ 4:

Cho tam giác (ABC nội tiếp trong đường tròn [latex] (O) ). Xây dựng độ cao (AN, CK ). Đường tròn ngoại tiếp tam giác (BKN ) cắt ((O) ) tại điểm thứ hai (M ). Gọi (I ) là trung điểm (AC ). Chứng minh rằng (IM bot IB )

Gọi (J ) là trung điểm (BH )

Vì ( widehat {BKH} = widehat {BNH} = 90 ^ { circle} Rightarrow ) nên tứ giác (BNHK ) nội tiếp trong một đường tròn đường kính (BH )

( Rightarrow widehat {BMH} = 90 ^ { circle} ) hoặc (BM bot MH ; ; ; ; ; (1) )

Bằng trực tâm, chúng tôi có:

(OI = frac {BH} {2} = JH )

Ngược lại: ( left { begin {matrix} OI bot AC \ JH bot BC end {matrix} right. Rightarrow OI || JH )

( Rightarrow OIHJ ) là một hình bình hành

( Rightarrow HI || OJ ; ; ; ; (2) )

Vì (J ) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác (BMH ) nên ta có:

(JM = JB )

Ngược lại (OM = OB )

( Rightarrow OJ ) là tia phân giác vuông góc của (BM )

( Rightarrow OJ bot BM ; ; ; ; (3) )

Từ ((2) (3) Rightarrow HI bot BM )

Trong đó từ ((1) ) có (MH bot BM )

Từ đó ( Rightarrow overline {I, H, M} ) và (IM bot MB )

Xem nội dung chi tiết bài giảng dưới đây:

(Nguồn: www.youtube.com)

Xem thêm >>> Chuyên đề điểm trung bình lớp 7 và các dạng toán liên quan

Xem thêm bài viết thuộc chuyên mục: Giáo Dục