Ngày đăng: 10/09/2015, 19:17
VẤN ĐỀ giải bất phương trình BẰNG ĐỒ THỊ 185 Vấn đề Giải Bất PhươngTrình Bằng Đồ Thò A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Đường cong hàm số Cho f hàm số xác đònh G Gtrên D. Ta gọi đường cong hàm số f hệ trục tọa độ (O, i, j ) mặt phẳng tập hợp tất điểm M có tọa độ (x ; f(x)), x ∈ D. Ghi : Cho M (x, y). Đẳng thức y = f(x) với x ∈ D cho ta đặc điểm tập hợp điểm M nằm đường cong (C) hàm số f. Đẳng thức gọi phương trình đường cong (C). 2. Minh họa đồ thò phương trình bất phương trình Cho (C) (C’) đường cong theo thứ tự hai hàm số f & g. • Nghiệm phương trình f(x) = g(x) hoành độ giao điểm hai đường cong (C) (C’). • Nghiệm bất phương trình f(x) > g(x) hoành độ điểm đường cong (C) nằm hoàn toàn phía so với đường cong (C’) . 3. Phương pháp giải bất phương trình đồ thò Ta tiến hành bước sau : • Xác đònh tập xác đònh D bất phương trình f(x) > g(x) • Vẽ hai đồ thò (C) hàm y = f(x) đồ thò (C’) hàm số y = g(x) tập D • Nghiệm bất phương trình hoành độ tất điểm đường cong Cf nằm phía đồ thò (C’) y = g(x). 4. 186 4. Giải biện luận bất phương trình phương pháp đồ thò 4.1) Giải biện luận bất phương trình : f (x) < m(*) Gọi (C) đồ thò hàm số y = f (x) Nghiệm bất phương trình (*) tập hợp giá trò x ứng với phần (C) nằm phía đường thẳng (d): y = m. .Tìm giao điểm (d) (C) suy tập nghiệm (*) 4.2) Điều kiện để bất phương trình f(x) < m (f(x) > m) có nghiệm a) Giả sử hàm số f(x) đạt giá trò nhỏ D. f(x) < m có nghiệm ⇔ : có phần đồ thò (C) : y = f(x) nằm phía đường thẳng (d): y = m ⇔ Minf < m • f(x) ≤ m có nghiệm ⇔ Mi nf ≤ m b) Giả sử hàm số f(x)đạt giá trò lớn nhất. • f(x) > m có nghiệm ⇔ có phần (C) nằm phía (d) ⇔ Maxf > m • f(x) ≥ m có nghiệm ⇔ Maxf ≥ m 4.3) Điều kiện để bất phương trình f(x) < m (f(x) > m) thỏa ∀x ∈ D a) • f(x) < m thỏa ∀x ∈ D ⇔ Toàn đồ thò (C) nằm (d) ⇔ Maxf < m (giả sử f đạt GTLN) • f(x) ≤ m thỏa ∀x ∈ D ⇔ Maxf ≤ m b) • f(x) > m thỏa ∀x ∈ D ⇔ Toàn đồ thò (C) nằm phía (d) ⇔ Minf > m (giả sử f đạt GTNN) • f(x) ≥ m thỏa ∀x ∈ D ⇔ M inf ≥ m 187 B. CÁC BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN GIẢI Bài x ⎛1⎞ Giải bất phương trình ⎜ ⎟ + 3x + > ⎝2⎠ Giải Nhận xét : Do vế trái bất phương trình chứa hai hàm số có tính chất hoàn toàn khác nhau, dùng phép biến đổi đại số để giải nó. Từ ta chọn cách giải bất phương trình đồ thò. Viết bất phương trình dạng : x ⎛1⎞ ⎜ ⎟ > −3x − ⎝2⎠ x ⎛1⎞ Gọi f (x) = ⎜ ⎟ , g (x) = -3x – ⎝2⎠ Vẽ đồ thò hai hàm số f g hệ trục tọa độ. Do f > g nên nghiệm bất phương trình x mà : Đồ thò hàm số f nằm đồ thò hàm số g . Dựa vào đồ thò ta kết : Nghiệm bất phương trình : x < - hay x > -1 Bài Giải bất phương trình sau 5x – < 3x + 1với x∈ [0 ; 5] . Sau kiểm tra đồ thò tập nghiệm bất phương trình . Giải 5x – < 3x +1 ⇔ 2x < . Trên đoạn [0;5] bất phương trình có tập nghiệm x < . Vậy f(x) < g(x) với x ∈ [0;4] 188 (f(x) = 5x – g(x) = 3x +1) bạn kiểm tra đồ thò qua việc vẽ hai đồ thò hai phần đường thẳng mà đồ thò f(x) luôn nằm phiá đồ thò g(x) , giao điểm hai đồ thò có tọa độ (4 ; 13) . Bài Dùng đồ thò, giải bất phương trình a) b) 2x − 10 ≥ x − 6x + (1) x−2 x + x − 5x + ≥ (2) Giải a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thò : (C) : y = 2x − 10 , (P) : y = x − 6x + x−2 Phương trình hoành độ giao điểm (C) (P) : 2x − 10 = x − 6x + x−2 ⎧⎪ x ≠ ⇔⎨ ⎪⎩ x(x − 8x + 15) = ⇔ x = 0∨ x = 5∨ x = (C)nằm phía đồ thò (P). Vậy: nghiệm bất phương trình : Dựa vào đồ thò, nghiệm bất phương trình (1) tập họp giá trò cuả x thoả đồ thò ≤ x < 22 ∨ ≤ x ≤ 189 b) (2) ⇔ x − 5x + ≥ − x (x − ) 2 ≥ y ⎧ ⎪ − y = 1∨ y ≥ ⇔ (C) : y = x − 5x + ⇔ ⎨ 2 9 ⎪⎩ y = x − 5x + 4 ⇔ ( C ) nửa nhánh hypebol vuông góc nằm phía trục x'x, có ⎛5 ⎝ ⎞ ⎠ tâm I ⎜ , ⎟ , đỉnh A1(1, 0), A2(4, 0) (D) : y = − x đường thẳng qua điểm B(0, 2), A2(4, 0) Dựa vào đồ thò , nghiệm bất phương trình : x ≤ ∨ x ≥ Bài Đònh m để bất phương trình có nghiệm : x − x − m + x > (1) Giải (1) ⇔ x − m < x2 + x – ⇔ − x + 2x + < 3m < x + x − Đặt y = f(x) = − x + x + ( P1 ) ⎧x = bề lõm * (P1) có đỉnh ⎨ ⎩y = quay xuống * Đặt (P2) y = g(x) = x2 + 4x + ⎧x = −2 (P2) có đỉnh ⎨ bề lõm ⎩ y = −6 quay lên . * Tập nghiệm bất phương trình tập hợp giá trò x ứng với phần đường thẳng (d) : y = 3m nằm dười (P2) nằm (P1). * Theo đồ thò bất phương trình có nghiệm ∀m ∈ R . 190 Bài Đònh m để bất phương trình có nghiệm : x2 − x + m < x − x2 (1) Giải ⎧m > (1) ⇔ x2 – x < x2 – x + m < x – x2 ⇔ ⎨ ⎩− x + x > m Gọi ( C ) đồ thò (P) : y = − x + 2x ⎧x = (P) có toạ dộ đỉnh ⎨ bề lõm ⎩y = quay xuống . Tập nghiệm bất phương trình tập hợp giá trò x ứng với phần đương thẳng(d) :y = m nằm (P) nằm trục Ox . Kết luận: < m < Bài Đònh m để bất phương trình có nghiệm : x − 3x + m < − x (1) Giải (1) ⇔ x – < x – 3x + m < – x ⎧⎪ x − x + m + > ⇔ ⎨ ⎪⎩ x − x + m − < ⎧− ⎪ x + 4x − < m ⇔ ⎨ ⎪⎩− x + x + > m Đặt (P1) : y = − x + 4x − (P2) y = − x + 2x + ⎧x = bề lõm (P1) có đỉnh ⎨ ⎩y = quay xuống. 191 ⎧x = (P2) có đỉnh ⎨ bề lõm quay xuống. ⎩y = Tập nghiệm bất phương trình tập hợp giá trò x ứng với phần đường thẳng(d) y = m nằm (P2) nằm (P1). * Kết luận : m < Bài Đònh m để bất phương trình có nghiệm : x − 2mx + x − m + > (1) Giải Đặt t = x − m ( t ≥ 0) (1) ⇔ t − m + 2t + > ⇔ t2 + 2t + – m2 > (2) Đặt f(t) = VT , (1) có nghiệm x ⇔ (2) có nghiệm t ≥ ( α ) ∆’ = m − ⎧∆ ‘ < • −1< m ∀t ∈ R (thoả( α ) ) ⎩a = > • m = ±1 , f(t) = t2 + 2t + > ⇔ t ≠ (thoả( α ) ) • m < − ∨ m > ⇒ ∆ ‘ > ⇒ f(t) có nghiệm phân biệt t1 , t2 −∞ t1 t2 +∞ t f(t) + _ + ( α ) ⇔ ≤ t1 < t2 ∨ t1 < < t2 ∨ t1 < t2 ≤ . ⎡⎧m < −1 ∨ m > ⎢⎪ ⎢⎨af (0) = − m ≥ ⎢⎪S = −2 > 0(s) ⎡m < − ∨ m > ⎢⎩ ⎢ ⎢ ⇔ af (0) = − m < ⇔ ⎢⎪⎧m < −1 ∨ m > ⇔ m < − ∨ m > 1. ⎢ ⎨ ⎢ ⎢⎧m < −1 ∨ m > ⎣⎢⎪⎩− ≤ m ≤ ⎢⎪ ⎢⎨af (0) = − m ≥ ⎢⎪S = −2 < 0(d ) ⎣⎢⎩ 192 Bài Giải biện luận bất phương trình theo m : x − 2x − < m Giải x ≤ − ∨ x ≥ 3(α) ⎧− < x < 3(β) ⎧ x − 2x − < m ⇔ ⎨ ∨⎨ ⎩x − 2x − < m ⎩− x + x + < m • Gọi ( C ) đồ thò parapol (P1) y = x2 – 2x – thoả ( α ) (P2) y = − x + 2x + thoả ( β ). • • • • ⎧x = (P1) có đỉnh ⎨ bề lõm quay lên . ⎩ y = −4 ⎧x = (P2) có đỉnh ⎨ bề lõm quay xuống. ⎩y = Tập nghiệm bất phương trình tập hợp giá trò x ứng với phần đường thẳng(d) y = m nằm (P1) v (P2). Khi (d) cắt (P1) điểm có hoành độ nghiệm phương trình: x2 – 2x – = m ⇔ x2 – 2x – – m = ∆ ' = + m + = m + 4, ∆ ' ≥ ⇔ m ≥ − x1 = − m + v x4 = + m+4 Khi (d) cắt (P2) điểm có hòanh độ phương trình: − x + 2x + = m ⇔ x2 – 2x + m – 3=0 ∆ ' = − m + = − m, ∆ ' ≥ ⇔ m ≤ • x2 = − − m * m ≤ : VN * < m < : x1 < x < x2 v x3 < x < x4. * m ≥ : x1 < x < x4 . v x3 = 1+ 4−m 193 Bài Giải biện luận bất phương trình theo m : x2 − x + x ≤ m Giải ⎡ ⎧ x ≤ 0( α ) ⎢⎨ ⎢⎩x − x ≤ m ⎢ ⎧0 < x < 1(β) x − x + x ≤ m ⇔ ⎢⎨ ⎢ 2x − x ≤ m ⎢⎩ ⎢⎧x ≥ 1( γ ) ⎢⎨ ⎢⎣⎩x ≤ m Đặt (P1) y = x – 2x ; (P2) y = − x + 2x ; (P3) y = x2 • ( C ) đồ thò (P1) thoả ( α) , (P2) thoả ( β ) , (P3) thoả ( γ ) . • • • • • • ⎧x (P1) có đỉnh ⎨ ⎩y ⎧x (P2) có đỉnh ⎨ ⎩y =1 = −1 =1 =1 bề lõm quay lên. bề lõm quay xuống (P3) có đỉnh (0;0) bề lõm quay lên Tập nghiệm bất phương trình tập hợp giá trò x ứng với phần đường thẳng(d) y = m nằm (P1) v (P2) v (P3) (d) cắt (P1) điểm có hoành độ nghiệm phương trình : x2 – 2x = m ⇔ x2 – 2x – m = ∆ ' = − m, ∆ ' ≥ ⇔ m ≥ − x1 =1 – m + ( điều kiện ( α )) (d) cắt (P2) điểm có hoành độ nghiệm pt − x + 2x = m ⇔ x2 – 2x +m = ∆ ' = − m, ∆ ' ≥ ⇔ m ≤ x2 = – − m ( đk ( β )) • 194 Cắt (P3) điểm có hoành độ nghiệm pt Bài 12 Đònh m để bất phương trình thỏa x thuộc R. x − 3x + + mx > (1) Giải ⎡ x − 3x + < −1 + mx ⎡ x − (m + 3) x + < ⇔ ⎢ (1) ⇔ ⎢ ⎢⎣ x + (m − 3) x + > ⎣⎢ x − 3x + > − mx (1) thoả ∀x ∈ R ⇔ (2) v (3) thoả ∀x ∈ R ⎧∆ = m + m − < ⇔ m ∈ φ (2) thoả ∀x ∈ R ⇔ ⎨ ⎩a = < 0(s) ⎧∆ = m − m + < ⇔ < m < (3) thoả ∀x ∈ R ⇔ ⎨ ⎩a = > 0(d ) Kết luận : < m < Bài 13 Đònh m để bất phương trình thỏa x thuộc R. x2 + 2x + x − m ≥ m (1) (2) (3) (1) Giải ⎡ x − m ≤ x + 2x − m ⎡x + x ≥ ⇔ ⎢ ⇔ ⎢ 2 ⎣⎢ x − m ≥ m − x − x ⎣⎢ x + 3x − 2m ≥ ⎡ x ≤ −1vx ≥ ⇔ ⎢ ⎣ x + 3x − 2m ≥ 0(2) Đặt f(x) = x2 + 3x – 2m ⎡f ( x ) ≥ 0∀x ∈ R (α) (1) thoả ∀x ∈ R ⇔ ⎢ ⎣f ( x ) ≥ 0∀x ∈ (−1;0)(β) ⎧∆ = + 8m ≤ ⇔ m≤ − * (α ) ⇔ ⎨ ⎩a = > 0(d) * D ∆ ≤ ( β) ⇔ m ≤ − D ∆ > , f(x) có nghiệm phân biệt x1 , x2 ( x1 < x2) x1 x2 +∞ x -∞ 197 f(x) + - + ⎡⎧ ⎢ ⎪m > − (VN) ⎢⎪ ⎢⎨af (0) = −2m ≥ ⎢⎪ S ⎢⎪ = − > 0(s) ⎡0 ≤ x < x ⎢⎩ ⇔ − < m ≤ −1 ⇔ ⎢ (β) ⇔ ⎢ ⎣ x < x < −1 ⎢ ⎧m > − ⎪ ⎢ ⎢⎪⎨af (−1) = −2 − 2m ≥ ⎢⎪ ⎢⎪ S ⎢⎩ = − < −1(d) ⎣ KL: m ≤ − Bài 14 Đònh m để bất phương trình thỏa x thuộc R. x2 + 2mx – x + m + > (1) Giải Đặt t = x + m (t ≥ 0) (1) ⇔ t2 – m – 2t +2 > ⇔ t2 – 2t +2 – m2 > (2) (1) thoả ∀x ∈ R ⇔ (2) thoả ∀t ≥ ( α ) Đặt (P) y = t2 –2t + Tập nghiệm S (2) tập hợp giá trò t ứng với phần đường thẳng (d) y = m2 nằm (P) ( α ) ⇔ [0;+∞ ) ( α ) ⇔ m2 < ⇔ − < m < 198 Bài 15 Cho bất phương trình x2 + x − m < (1) đònh m để a) Bất phương trình (1) có nghiệm b) Bất phương trình (1) có nghiệm âm c) Bất phương trình thỏa ∀x ∈ (-1 ; 0) Giải x + x − m < (1) ⇔ x − m < − x ⇔ x2 – < x – m < – x2 ⇔ x2 – < − x + m < – x2 ⇔ x2 + x – < m < − x +x + Gọi (P1) y = − x +x + (P2) y = x2 + x – 13 13 a) (1) có nghiệm ⇔ (d) nằm Parabol ⇔ − −2x + ⎪⎩ x + 3x + m > x + x + (1) (2) Giải (1) 201 Đặt y = −2x − 4x − 2, đồ thò Parabol (P). (P) có đỉnh (x o = −1; yo = 0), bề lõm quay xuống. Nghiệm (1) tập hợp S1 giá trò x ứng với phần đường thẳng (d) y = m nằm (P) Hoành độ giao điểm (d) (P)khi cắt nghiệm phương trình m = −2x − 4x − ⇔ x1 = −2 − −2m −2 + −2m ∨ x2 = 2 Theo đồ thò, m < S1 = (x1, x2) Giải (2) : Tập nghiệm S2 (2) tập hợp giá trò x ứng với phần đường thẳng (d) : y = m nằm phía đường thẳng (D) : y = - 2x + Hoành độ giao điểm (d) (D) nghiệm phương trình 2−m S2 = (x ; +∞) Tập nghiệm bất phương trình (*) S = S1 ∪ S2 m = −2x + ⇔ x = Theo đồ thò ta có : • m < : S = (x1 , x ) ∨ (x , +∞) • m ≥ : S = (x , +∞) Bài 19 Dùng đồ thò, giải bất phương trình : ( x − + 1) ( x + ) > −3x + 10 Ta có : • (1) Giải ⎧⎪ x ( x + ) x ≥ ⎪⎩( − x )( x + ) x Bài 20 ⎧⎪ x + (2a + 1)x + a + a − = Cho hệ : ⎨ ⎪⎩ x − 5x + < a) Tìm a để hệ có nghiệm b) Tìm a để hệ có nghiệm Giải ⎧⎪( x + a − 1)( x + a + ) = (1) (2) ⎪⎩1 < x < Hệ cho có thểviết dạng : ⎨ Các điểm M(x, a) thỏa mãn phương trình (1) nằm đường thẳng (D1 ) : x + a − = ;(D2 ) : x + a + = 0. 203 Các điểm M(x,a) thỏa bpt (2) nằm dải song song −2 < x < −1 hay < x < (miền gạch chéo hình) Do điểm M(x,a) thỏa hệ (1) (2) gồm đoạn thẳng AB, CD, EF, GH với A(- 2, 3), B(- 1, 2) C(1, 0), D(2, -1), E(- 2, 0), F(-1, -1), G(1, -3), H(2, -4). Suy : a) Hệ có nghiệm < a < 3, -1< a < 0, -4 < a < -3 b) Hệ có nghiệm < a < hay - < a < -3 Bài 21 Giải biện luận theo a hệ bất phương trình : ( ) ⎧ x2 −1 ( x − 2) ≥ (1) ⎪ ⎨ ⎪ x − ( 3a + 1) x + a ( 2a + 1) (2) ⎩ Giải Hệ viết cách khác : ⎧⎪( x + 1)( x − 1)( x − ) ≥ (1) ⎨ ⎪⎩( x − a )( x − 2a − 1) ≤ (2) Dùng miền xác đònh đường thẳng ta có : Dấu VT (1') +, -. Dấu VT (2') +, - 204 Do điểm M(x,a)thỏa hệ (1) (2) thuộc miền chừa trắng hình vẽ (gồm tam giác ABC tứ giác mở tDEt'). Vậy : * a < −1 vô nghiệm * −1 ≤ a < : a ≤ x ≤ 2a + 1 * ≤ a < : a ≤ x ≤1 ≤ a < 1: a ≤ x ≤ hay ≤ x ≤ 2a + * ≤ a < : ≤ x ≤ 2a + : a ≤ x ≤ 2a + * a≥2 * Bài 22 Đònh m để bất phương trình x + 2x + x − m ≥ m (*) Thỏa ∀x ∈ R Giải (*) ⇔ x-m ≥ − x − 2x + m ⎡x2 + x ≥ (1) ⎡ x − m ≤ x + 2x − m ⇔⎢ ⇔ ⎢⎢ ⎢⎣ x − m ≥ x − 2x + m ⎢⎣ m ≤ x + x (2) Tập nghiệm (1) S1 = ( −∞, −1] ∪ [ 0, +∞ ) Gọi S2 tập nghiệm (2) Bất phương trình (*) thỏa ∀x ∈ R ⇔ S1 ∪ S2 = R ⇔ ( −1;0 ) ⊂ S2 ⇔ bất phương trình (2) thỏa ∀x ∈ ( −1;0 ) 205 ⇔m≤ x + x thỏa ∀x ∈ ( −1; ) 2 ⇔ đường thẳng (d): y = m nằm phía cung Parabol (P) : y = x + x (với −1 < x < 0) ⇔ m ≤ −1 2 Bài 23 Vẽ đồ thò hàm số y = x − x − x . Áp dụng để giải bất phương trình : cos x + tgx − ≤ + tgx (1) Giải ⎧⎪ x x < * y = x2 − x − x = ⎨ ⎪⎩ x − 2x x ≥ Dựa vào đồ thò (1) ⇔ + tg x + tgx − ≤ + tgx ⇔ (1 + tgx)2 − (1 + tgx) ≤ + tgx Đặt X = + tgx, ta : X − X − X ≤ (2) Nghiệm bất phương trình (2) tập họp giá trò X mà đồ thò hàm số Y = X − X − X phía trục hoành. Dựa vào đồ thò ta : ≤ X ≤ ⇔ ≤ + tgx ≤ ⇔ −1 ≤ tgx ≤ ⇔ r r r r + kr ≤ x ≤ + kr 4 Vậy nghiệm (1) : − + kr ≤ x ≤ + kr (k ∈ Z) 206 (k ∈ Z) Bài 24 Tìm m để hệ sau có nghiệm : 2 ⎪⎧ x + y + 4y + − m ≤ ⎨ 2 ⎪⎩ x + y + 4x + − m ≤ Giải ⎧⎪ x + (y + 2) ≤ m (1) Hệ ⇔ ⎨ 2 ⎪⎩(x + 2) + y ≤ m (2) Dễ thấy m < hệ vô nghiệm. Nên ta xét với m ≥ 0. Tập hợp điểm (x, y) thỏa bpt (1) hình tròn (C1) tâm I1(0, -2), bán kính R1 = m. Tập hợp điểm (x, y) thỏa bpt (2) hình tròn (C2) tâm I1(-2, 0), bán kính R = m Nên nghiệm hệ phần chung (C1) (C2). Do điều kiện để hệ có nghiệm (C1) (C2) tiếp xúc nhau. ⇔ I1I2 = R1 + R ⇔ 2 = m ⇔ m = Vậy hệ có nghiệm m = Bài 25 Giải biện luận bất phương trình : a + x + a − x ≤ x (1) Giải Dễ thấy a < a − x nghóa. Nên ta xét a ≥ Đặt u = a + x ≥ 0, v = a − x ≥ (1) tương đương với hệ : ≤2 ⎧u + v ⎪ (I) ⎨u + v = 2a ⎪u, v ≥0 ⎩ (2) (3) (4) Các điểm M(u, v) thỏa (2), (4) nằm tam giác vuông cân OCC' với OC = OC' = (kể cạnh tam giác đó). 207 Các điểm M(u, v) thỏa (3) nằm đường tròn (C) tâm O, bán kính R = 2a Do nghiệm hệ (2), (3), (4) tọa độ điểm M(u, v) phần đường tròn (C) ∆OCC '. Vậy : 1) a < hay 2a > 2(⇔ a > 2) : Hệ (1) vô nghiệm 2) 2a ≤ ⇔ ≤ a ≤ : Hệ (1) có nghiệm : ≤ u ≤ 2a ⇔ ≤ a + x ≤ 2a ⇔ ≤ x ≤ a Nghiệm (1) ≤ x ≤ a 3) < 2a ≤ ⇔ < a ≤ : CC ' cắt (C) điểm có hoành độ nghiệm phương trình : u + (2 − u)2 = 2a ⇔ u2 − 2u + − a = ⇔ u1 = − a − < u = + a − Hệ (I) có nghiệm : ≤ u ≤ u1 hay u ≤ u ≤ 2a Nghiệm (1) cho : ⎡0 ≤ a + x ≤ − a − ⎡a + x ≤ a − a − ⎢ ⇔⎢ ⎢ ⎢⎣ a + a − ≤ a + x ≤ 2a ⎣1 + a − ≤ a + x ≤ 2a ⎡ x ≤ −2 a − : VN ⇔ 4(a − 1) ≤ x ≤ a ⇔⎢ ⎢⎣ a − ≤ x ≤ a Kết luận : a < hay a > : (1) vô nghiệm ≤ a ≤1 1< a ≤ 208 : (1) có nghiệm ≤ x ≤ a2 : (1) có nghiệm 4(a-1) ≤ x ≤ a2 Bài 26 Tìm a để hệ sau có nghiệm : ⎧⎪ x + (y − 3)2 ≤ ⎨ ⎪⎩ y = ax (1) (2) Giải (1) phương trình hình tròn (C) tâm I(0, 3), bán kính R = 2, nằm phía x'x. (2) phương trình parabol (P) đỉnh O. Điều kiện để hệ (1), (2) có nghiệm (P) (C) có điểm chung. Gọi a0 giá trò a (P) (C) tiếp xúc nhau, điều kiện để hệ có nghiệm a ≥ a Ta tìm a0 : Gọi M0(x0, y0) tiếp điểm (P) đường tròn (C), : Phương trình tiếp chuyển (D1) (P) M0 : 1 (y0 + y) = a x x ⇔ (D1 ) : a x x − y − y0 = 2 Phương trình tiếp tuyến (D2) (C) M0 : x x + (y0 − 3)(y − 3) − = ⇔ (D2 ) : x x + (y0 − 3)y + − 3y0 = Vì (P) (C) tiếp xúc M0, nên có chung tiếp tuyến M0, tức (D1) ≡ (D2 ) 1 ⎧ ⎧x ≠ − − y0 (3) a0 x0 ⎪a = ⎪ 2 2(3 − y0 ) ⇔ = = với ⎨ ⇔⎨ x0 y0 − − 3y0 ⎪5 − 3y = y (y − 3) (4) ⎪⎩ y0 ≠ ,3 0 ⎩ (4) ⇔ y02 = ⇒ y0 = (vì tiếp điểm M0 phía x'x nên y0 > ) Thay vào (3) : a0 = 2(3 − = 3+ Vậy hệ có nghiệm a≥ 3+ 209 Bài 27 Đònh m để bất phương trình sau có nghiệm : mx − x − ≤ − m (1) Giải (1) ⇔ m(x + 1) − ≤ x − Xét đường thẳng (D) : y = m(x + 1) − có hệ số góc m qua điểm cố đònh A(−1, −1) nửa parabol (P) : y = x − nằm phía trục hoành. Bất phương trình (1) có nghiệm (D) nằm phía (P). Muốn , (D) phải nằm phía tiếp tuyến (D1) (P) vẽ từ A. (D1) tiếp xúc với (P) hệ sau có nghiệm kép : (a) ⎪⎧ y = x − ⎨ ⎪⎩ y = m(x + 1) − (b) ⎧⎪ y ≥ (a) ⇔ ⎨ ⎪⎩ x = y + Thay vào (b) : y = m(y + 3) − ⇔ my − y + 3m − = (2) ⎡ ⎢m = ⎧⎪m ≠ (2) có nghiệm kép ⇔ ⎨ ⇔⎢ ⎪⎩∆ = 12m − 4m − = ⎢m = − ⎢⎣ 1 = > : nhận m = : (2) có nghiệm kép y = 2m 1 = −3 < loại m = − : (2) có nghiệm kép : y = 2m Như tiếp tuyến (D1) có hệ số góc m = . Do (1) có nghiệm m ≤ 210 Bài 28 ⎧⎪ x + (5a + 2)x + 4a + 2a ≤ Cho hệ : ⎨ 2 ⎪⎩ x + a ≤ a) Tìm a để hệ có nghiệm b) Tìm a để hệ có nghiệm Giải Ta thấy : điểm M(x, a) thỏa hệ nằm miền gạch chéo hình vẽ (kể đường biên). Do : a) Hệ có nghiệm : a A ≤ a ≤ a B ⇔ − ≤ a ≤ b) Tọa độ giao điểm I (D1) (D2) nghiệm hệ : ⎧x + a = ⎨ ⎩ x + 4a + = ⎛2 2⎞ Giải ta : I ⎜ , − ⎟ ⎝3 3⎠ Hệ có nghiệm đường thẳng a = α cắt miến gạch chéo điểm nhất, tức qua điểm A, I, B. Vậy : a = − 2, a = − , a = 211 Bài 29 Tìm m để hệ sau có nghiệm không âm : ⎧2x + y − ≥ (1) ⎪ (2) ⎨ x + 3y − ≤ ⎪ 2 ⎩ x + y − 6x − 10y + 34 − m = (3) Giải Các điểm M(x, y) với tọa độ không âm thỏa hệ (1), (2) nằm miền gạch chéo hình vẽ : tứ giác ABCD với A(1, 0), B(0, 2), C(0, 3), D(9, 0). Phương trình (3) viết thành : (x − 3) + (y − 5)2 = m(3') Với m ≥ (3') phương trình đường tròn (C) tâm I(3, 5), bán kính R = m . Do : Hệ cho có nghiệm (C) cắt tứ giác ABCD, tức : IH ≤ m ≤ max(IA, IB, IC, ID) = ID = 61 IH = 212 + 3.5 − 10 = 10 .Suy ra: 81 ≤ m ≤ 61 10 [...]... Bài 23 Vẽ đồ thò hàm số y = x 2 − x − x Áp dụng để giải bất phương trình : 1 cos 2 x + tgx − 1 ≤ 1 + tgx (1) Giải ⎧x 2 khi x < 0 ⎪ * y = x2 − x − x = ⎨ 2 ⎪ x − 2x khi x ≥ 0 ⎩ Dựa vào đồ thò (1) ⇔ 1 + tg 2 x + tgx − 1 ≤ 1 + tgx ⇔ (1 + tgx)2 − (1 + tgx) ≤ 1 + tgx Đặt X = 1 + tgx, ta được : X 2 − X − X ≤ 0 (2) Nghiệm của bất phương trình (2) là tập họp các giá trò của X mà trong đó đồ thò hàm số Y = X… = Theo đồ thò ta có : • m < 0 : S = (x1 , x 2 ) ∨ (x 3 , +∞) • m ≥ 0 : S = (x 3 , +∞) Bài 19 Dùng đồ thò, giải bất phương trình : ( x − 1 + 1) ( x + 6 ) > −3x + 10 Ta có : • (1) Giải ⎧ x ( x + 6 ) khi x ≥ 1 ⎪ ⎪( 2 − x )( x + 6 ) khi x 0 (1) Giải Đặt t = x + m (t ≥ 0) (1) ⇔ t2 – m 2 – 2t +2 > 0 ⇔ t2 – 2t +2 – m2 > 0 (2) (1) thoả ∀x ∈ R ⇔ (2) thoả ∀t ≥ 0 ( α ) Đặt (P) y = t2 –2t + 2 Tập nghiệm S của (2) là tập hợp các giá trò t ứng với phần của đường thẳng (d) y = m2 nằm dưới (P) ( α ) ⇔ [0;+∞ ) ( α ) ⇔ m2 < 1 ⇔ − 1 < m < 1 198 Bài 15 Cho bất phương trình x2 + x… = ax ⎩ (1) (2) Giải (1) là phương trình của hình tròn (C) tâm I(0, 3), bán kính R = 2, nằm phía trên x’x (2) là phương trình parabol (P) đỉnh O Điều kiện để hệ (1), (2) có nghiệm là (P) và (C) có điểm chung Gọi a0 là giá trò của a khi (P) và (C) tiếp xúc nhau, thì điều kiện để hệ trên có nghiệm là a ≥ a 0 Ta tìm a0 : Gọi M0(x0, y0) là tiếp điểm của (P) và đường tròn (C), thì : Phương trình tiếp chuyển
