Lý thuyết hàm số mũ, hàm số logarit, hàm số lũy thừa chi tiết – toán lớp 12

Chương 1
hàm số lũy thừa - Mũ - Logarit
1.1 Hàm số Lũy thừa - Mũ
1.1.1 Công thức
1. Với mọi a> 0, b> 0 ta có:
• aα.aβ = aα+β
•
aα
aβ
= aα−β
• (aα)β = aα.β
• (ab)α = aα.bα
•
(a
b
)α = aα
bα
2. So sánh
• Nếu a> 1 thì aα > aβ ⇔ α>β
• Nếu 0 aβ ⇔ α<β
3. Căn thức: Với a,b≥ 0, m,n ∈N∗, p,q ∈Z ta có:
• n
p
ab= npa. npb
• n
√
a
b
=
npa
npb
(b> 0)
• n
p
ap = ( npa)p (a> 0)
• m
√
npa= mnpa
• a
m
n = npam
4. Chú ý:
• Khi xét luỹ thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên
âm thì cơ số a phải khác 0.
• Khi xét luỹ thừa với số mũ không nguyên thì
cơ số a phải dương.
• Khi n lẻ, mỗi số thực a chỉ có một căn bậc n.
Kí hiệu n
p
a.
• Khi n chẵn, mỗi số thực dương a có đúng hai
căn bậc n là hai số đối nhau.
5. Đạo hàm
• (ax)′ = ax lna
• (au)′ = au lna.u′
• (ex)′ = ex
• (eu)′ = eu.u′
1.1.2 Thực hiện các phép tính sau:
1.
(
1
16
)−0,75
+
(
1
8
)− 43
Đs: 24
2. (0,04)−1,5− (0,125)− 23 Đs: 121
3. 8
9
7 : 8
2
7 −3 65 .3 45 Đs: -1
4.
(
5−
2
5
)−5+[(0,2) 34 ]−4 Đs: 150
5. (−1)3
(
−7
8
)3
.
(
−2
7
)2
. (−7).
(
− 7
14
)
6. B= (−3)
2.(−15)6.84
92.(−5)6.(−6)4
7. C = 4 32 +8 23
8.
(
32
3
2
)− 25
9. E = (−18)
7.24.(−50)3
(−25)4.(−4)5.(−27)2
10. F = 125
6.(−16)3.(−2)3
253
[
(−5)2]4
11. G = 2
3.2−1+5−3.54− (0,01)−2.10−2
10−3 : 10−2− (0,25)0+10−2
√
(0,01)−3
12.
(
4
1
3 −10 13 +25 13
)(
2
1
3 +5 13
)
13. 43+
p
2.21−
p
2.2−4−
p
2 Đs: 8
14.
63+
p
5
22+
p
5.31+
p
51
Đs: 18
15.
(
251+
p
2−52
p
2.5−1−2
p
2
)
Đs: 245
16.
5p4. 4p64.
(
3
√p
2
)4
3
√p
32
17.
5p81. 5p3. 5p9.p12(
3
√p
3
)2
.
p
18 5
p
27.
p
6
1
© by Nguyễn Hồng Điệp LATEX201512
1.1.3 Viết các biểu thức sau dưới dạng luỹ
thừa với số mũ hữu tỉ (các biểu thức
đều có nghĩa):
1. a
1
3 .
p
a Đs: a
5
6
2. b
1
2 .b
1
3 .
6pb Đs: b
3. a
4
3 : 3
p
a Đs: a
4. 3
p
b : b
1
6 Đs: b
1
6
5. 4
√
x2 3
p
x
6. 5
√
b
a
3
√
a
b
7.
5
√
2 3
√
2
p
2
8.
3
√√√√2
3
3
√
3
2
√
2
3
9.
4
√
3pa8
10.
5
√
b2
p
b
3
√
b
p
b
1.1.4 Đơn giản các biểu thức sau:
1.
a
4
3
(
a−
1
3 +a 23
)
a
1
4
(
a
3
4 +a− 14
) Đs: a
2.
a
1
4 −a 94
a
1
4 −a 54
− b
− 12−b
3
2
b
1
2 +b− 12
Đs: a+b
3.
a1,5+b1,5
a0,5+b0,5 −a
0,5b0,5
a−b +
2b0,5
a0,5+b0,5
4.
(
a0,5+2
a+2a0,5+1 −
a0,5−2
a−1
)
.
a0,5+1
a0,5
5.
(
x
1
2 − y 12
xy
1
2 + x 12 y
+ x
1
2 + y 12
xy
1
2 − x 12 y
)
.
x
3
2 y
1
2
x+ y −
2y
x− y
6.
 x
1
2 +3y
1
2(
x
1
2 − y 12
)2 + x
1
2 −3y 12
x− y
 . x
1
2 − y 12
2
Đs: a−b
7.
(
a
1
3 −b 23
)
.
(
a
2
3 +a 13 .b 23 +b 43
)
8.
(
a
1
4 −b 14
)
.
(
a
1
4 +b 14
)
.
(
a
1
2 +b 12
)
9.
a−1+ (b+ c)−1
a−1− (b+ c)−1 .
(
1+ b
2+ c2−a2
2bc
)
.(a+b+ c)−2
10.
(
a
1
2 +2
a+2a 12 +1
− a
1
2 −2
a−1
)
.
(a
1
2 +1)
a
1
2
1.1.5 Đơn giản các biểu thức sau:
1.
a
1
3
p
b+b 13
p
a
6
p
a+ 6pb
Đs: 3
p
ab
2.
(
3
p
a+pb
)(
a
2
3 +b 23 − 3pab
)
Đs: a+b
3.
(
a
1
3 +b 13
)
:
(
2+ 3
√
a
b
+ 3
√
a
b
)
Đs:
3pab
3pa+ 3pb
4.
3
p
a− 3pb
6
p
a− 6pb
5.
(p
ab− ab
a+pab
)
:
4pab−pb
a−b
6.
(
a2 4
p
x+ xpa
a 4
p
x+pax −
√
a2+ x+2apx
)4
7.
a+x
3pa2− 3
p
x2
+ 3
p
ax2− 3
p
a2x
3pa2−2 3pax+ 3
p
x2
6
p
a− 6px −
6
p
x
8.
 xpx− x( 4px3−1
4px−1 −
p
x
)( 4px3+1
4px+1 −
p
x
)

3
9.
[
a 3
p
a−2a 3pb+ 3
p
a2b2
3pa2− 3pab
+
3pa2b− 3
p
ab2
3
p
a− 3pb
]
: 3
p
a
1.1.6 So sánh các cặp số sau:
1. 4−
p
3 và 4−
p
2 Đs: <
2. 2
p
3 và 21,7 Đs: >
3.
(
1
2
)1,4
và
(
1
2
)p2
Đs: >
4.
(p
2
)−3 và (p2)−5 Đs: >
5. (0,01)−
p
2 và (10)−
p
2
6.
(pi
4
)2
và
(pi
4
)6
7. 5−2
p
3 và 5−3
p
2
8. 5300 và 8200
9. (0,001)−0,3 và 3
p
100
10. 4
p
2 và (0,125)−
p
2
11.
(
4
5
)−4
và
(
5
4
)5
12. 0,02−10 và 5011
13.
(p
3−1) 14 và (p3−1)p22
2
© by Nguyễn Hồng Điệp LATEX201512
14.
(p
3
5
)−p2
và
(p
2
2
)−p2
15.
(pi
2
)p5
2 và
(pi
2
)p10
3
1.1.7 So sánh hai số m, n nếu:
1. 3,2m < 3,2n
2.
(p
2
)m > (p2)n
3.
(1
9
)m > (19 )n
4.
(p
3
2
)m
>
(p
3
2
)n
5.
(p
5−1)m < (p5−1)n
6.
(p
2−1)m < (p2−1)n
1.1.8 Tìm tập xác định các hàm sau
1. y= 3(x−1)−3 Đs: R\{1}
2. y= 4
p
x1−3x−1 Đs: (−∞,−1]∪ [4,+∞)
3. y= (x2−4x+3)−2 Đs: R\{1,3}
4. y= (x3−8) pi3 Đs: (2,+∞)
5. y= (x3−3x2+2x) 14 Đs: (0,1)∪ (2,+∞)
6. y= 4
p
x3−3x2+2x Đs: [0,1]∪ [2,+∞)
7. y= (x2+ x−6)− 13 Đs: (−∞,−3)∪ (2,+∞)
1.1.9 Tính đạo hàm các hàm số sau
1. y=
p
4x2−3x−1 Đs: 8x−3
2
p
4x2−3x−1
2. y= (x2+ x−4) 14 Đs: 14 · 2 x+14px2+x−43
3. y= (x2−3x+2)p3 Đs: {p3 (2 x−3) (x2−3 x+2)p3−1}
1.1.10 Tính đạo hàm của các hàm số sau:
1. y= 3
p
x2+ x+1
2. y= 4
√
x+1
x−1
3. y= 5
√
x2+x−2
x2+1
4. y= 3psin(2x+1)
5. y= cot 3
p
1+ x2
6. y= 1−
3p2x
1+ 3p2x
7. y= 3
√
sin
x+3
4
8. y= 11
√
9+6 5
p
x9
9. y= 4
√
x2+ x+1
x2− x+1
10. y= (x2−2x+2)ex
11. y= (x2+2x)e−x
12. y= e−2x.sinx
13. y= e2x+x2
14. y= x.e
p
x− 13 x
15. y= e
2x+ ex
e2x− ex
16. y= 2x.ecosx
17. y= 3
x
x2− x+1
18. y= cosx.ecotx
1.2 Hàm số Logarit
1.2.1 Định nghĩa - Tính chất
1. Với a> 0,a 6= 1,b> 0 ta có: logab=α⇔ aα = b
• Logarit thập phân: = logb= log10b
• Logarit tự nhiên (logarit Nepe):
lnb= logeb (với e= lim
(
1+ 1
n
)n
≈ 2,718281)
2. Tính chất
• loga1= 0
• logaa= 1
• logaab = b
• alogab = b (b> 0)
3. So sánh: cho a> 0,a 6= 1,b, c> 0. Khi đó:
• Nếu a> 1 thì logab> logac⇔ b> c
• Nếu 0 logac⇔ b< c
4. Các qui tắc tính logarit
• loga(bc)= logab+ logac
• loga
(
b
c
)
= logab− logac
• logabα =αlogab
• logbc=
logac
logab
hay logab.logbc= logac
• logab=
1
logba
3
© by Nguyễn Hồng Điệp LATEX201512
• logaα c=
1
α
logac (α 6= 0)
5. Đạo hàm
•
(
loga |x|
)′ = 1
x lna
•
(
loga |u|
)′ = u′
u lna
• (ln |x|)′ = 1
x
(x> 0)
• (ln |u|)′ = u′
u
1.2.2 Hãy tìm logarit cơ số 3 của mỗi số sau:
3, 81, 1,
1
9
, 3
p
3,
1
3
p
3
, 3 4
p
3, 3
√
3
p
3, 3−0,75,
(
−1
9
)−4
.
1.2.3 Thực hiện các phép tính sau:
3log32 , 27log92;9logp32 , 4log827 ,
(
1
8
)log25
,
( 1
32
)log0,52+1 ,
100log
p
2 , eln2011 , 1log
p
2+lnpi , (0,1)log7.
1.2.4 Thực hiện các phép tính sau:
1. 35log3 2 Đs: 32
2. log3
(
log28
)
Đs: 1
3. 2log 1
3
6− 1
2
log 1
3
400+3log 1
3
3p45 Đs: −4
4. log24.log 14 2
5. log5 125 .log279
6. loga
3
√p
a
7. 4log23+9logp32
8. log2p28
9. 27log92+ 4log827
10.
loga3a.loga4a1/3
log 1
a
a7
11. log36.log89.log62
12. 92log32 + 4log815
13. 81log35+27log936+34log97
14. 25log56+49log78
15. 53−2log54
16. 9
1
log63 +4
1
log82
17. 31+log94+42−log23+5log12527
18. logp63.log336
19. log(tan10)+ log(tan20)+ ...+ log(tan890)
20. log8
[
log4(log216)
]
.log2
[
log3(log464)
]
21.
1
2
log736− log714−3log7 3
p
21 Đs: −2
22.
log224− 12 log272
log318− 13 log372
Đs: 98
23.
log24+ log2
p
10
log220+3log22
Đs: 12
1.2.5 Rút gọn
1. log812− log815+ log820
2.
1
2
log736− log714+3log7 3
p
21
3.
log536− log512
log59
4. 36log65+101−log2−8log23
5. E = log36.log89.log62
6. 2ln
p
e− ln e1+a+a
1.2.6 So sánh các cặp số sau:
1. log3 65 và log3
5
6 Đs: >
2. log 1
3
9 và log 1
3
17 Đs: >
3. log 1
2
e và log 1
2
pi Đs: >
4. log34 và log4 13
5. log0,1
3p2 và log0,20,34
6. log 3
4
2
5 và log 52
3
4
7. log 1
3
1
80 và log 12
1
15+p2
8. log13150 và log17290
9. 2log63 và 3log6
1
2
10. log710 và log1113
11. log23 và log34
12. log910 và log1011
4
© by Nguyễn Hồng Điệp LATEX201512
1.2.7 Tính giá trị của biểu thức logarit theo
các biểu thức đã cho theo a:
1. Cho log315= a. Tính log2515, log4515
2. Cho log275= a, log87= b, log23= c. Tính
a) log35, log925
b) log849, log72, log167
c) log52, log73, log37
d) log635
3. Cho log4911 = a, log27 = b. Tính log 3p7
121
8
, log7121,
log211.
4. Cho log214= a. Tính log4932 .
5. Cho log153= a. Tính log2515 .
6. Cho log3 = 0,477. Tính log9000; log0,000027 ;
1
log81100
.
7. Cho log72= a. Tính log 12 28 .
1.2.8 Tính giá trị của biểu thức logarit theo
các biểu thức đã cho:
1. Cho log25= a. Tính log41250. Đs: 12 (1+4a)
2. Cho loga x= p, logb x= q, logabc x= r. Tính logc x theo
p,q, r Đs: pqrpq−rq−rp
3. Cho log315 = a, log310 = b. Tính logp350 theo a,b.
Đs: 2a+2b−2
4. Cho log23 = a, log35 = b, log72 = c. Tính log14063
theo a,b, c. Đs: 2ac+1abc+2c+1
5. Cho log257= a ; log25= b. Tính log 3p5 498 theo a, b.
6. Cho log303= a; log305= b. Tính log301350 theo a, b.
7. Cho log147= a; log145= b. Tính log3528 theo a, b.
8. Cho log23= a; log35= b; log72= c. Tính log14063 theo
a, b, c.
1.2.9 Chứng minh các đẳng thức sau (với
giả thiết các biểu thức đã cho có
nghĩa):
1. blogac = clogab
2. logax(bx)=
logab+ logax
1+ logax
3.
logac
logabc
= 1+ logab
4. logc
a+b
3
= 1
2
(logca+ logcb), với a2+b2 = 7ab.
5. loga(x+2y)−2loga2 = 12 (logax+ loga y), với x2 +4y2 =
12xy.
6. logb+ca+ logc−ba= 2logc+ba.logc−ba, với a2+b2 = c2.
7.
1
logax
+ 1
loga2x
+ 1
loga3x
+ 1
loga4x
+ ...+ 1
logak x
= k(k+1)
2logax
.
8. logaN.logbN + logbN.logcN + logcN.logaN =
logaN.logbN.logcN
logabcN
.
9. x= 10 11−log z , nếu y= 10 11−logx và z= 10 11−log y .
10.
1
log2N
+ 1
log3N
+ ...+ 1
log2009N
= 1
log2009!N
.
11.
logaN− logbN
logbN− logcN
= logaN
logcN
, với các số a,b, c lập thành
một cấp số nhân.
12. Cho log1218= a, log2454= b. Chứng minh rằng: ab+
5(a−b)= 1
1.2.10 Tìm tập xác định các hàm số sau
1. y= log3
(
x2+2x) Đs: (−∞,−2)∪ (0,+∞)
2. y= log0,2
(
4− x2) Đs: (−2,2)
3. y= logp2
1
3−2 Đs: (−∞,3)
4. y= 2
log4 x−3
Đs: (0,64)∪ (64,+∞)
1.2.11 Tính đạo hàm của các hàm số sau
1. y= ln(2x2+ x+3)
2. y= log2(cosx)
3. y= ex. ln(cosx)
4. y= (2x−1)ln(3x2+ x)
5. y= log1
2
(x3−cosx)
6. y= log3(cosx)
7. y= ln(2x+1)p
2x+1
8. y= ln(2x+1)
x+1
9. y= ln
(
x+
p
1+ x2
)
5
© by Nguyễn Hồng Điệp LATEX201512
1.2.12 Chứng minh hàm số đã cho thoả mãn
hệ thức được chỉ ra:
1. y= x.e−
x2
2 ;xy′ = (1− x2)y
2. y= (x+1)ex; y′− y= ex
3. y= e4x+2e−x; y′′′−13y′−12y= 0
4. y= a.e−x+b.e−2x; y′′+3y′+2y= 0
5. y= e−x.sinx; y′′+2y′+2y= 0
6. y= e−x.cosx; y(4)+4y= 0
7. y= esinx; y′cosx− ysinx− y′′ = 0
8. y= e2x.sin5x; y′′−4y′+29y= 0
9. y= 1
2
x2.ex; y′′−2y′+ y= ex
10. y= e4x+2e−x; y′′′−13y′−12y= 0
11. y= (x2+1)(ex+2010); y′ = 2xy
x2+1 + e
x(x2+1)
1.2.13 Chứng minh hàm số đã cho thoả mãn
hệ thức được chỉ ra:
1. y= ln
(
1
1+ x
)
;xy′+1= ey
2. y= sin(lnx)+cos(lnx); y+ xy′+ x2y′′ = 0
3. y= 1+ lnx
x(1− lnx) ; 2x
2y′ = (x2y2+1)
4. y= x
2
2
+ 1
2
x
p
x2+1+ ln
√
x+
p
x2+1;2y= xy′+ ln y′
1.3 Phương trình mũ
1.3.1 Giải các phương trình sau:
1. 4x = 5p1024
2.
√
5
2
(
2
5
)x+1
= 8
125
3. 81−3x = 1
32
4.
(
3
p
3
)2x = (1
9
)x−2
5.
(
2
9
)x
.
(
8
27
)−x
= 27
64
6.
(
3
2
)x2−5x+6
= 1
7.
1
0,125
.322x−8 =
(
0,25p
8
)−x
8. 0,2x =p0,008
9.
(
9
49
)3x−7
=
(
7
3
)7x−3
10. 5x.2x = 0,001
11.
(p
12
)x
.
(p
3
)x = 1
6
12. 71−x.41−x = 1
28
1.3.2 Giải các phương trình sau:
1. 2x+2x+2 = 20 Đs: 2
2. 3x+3x+1 = 12 Đs: 1
3. 5x+5x−1 = 30 Đs: 2
4. 4x−1+4x+4x+1 = 84
5. 42x−24.4x+128= 0
6. 4x+1+22x+1 = 48
7. 3x2−5x+6 = 1
1.3.3 Giải các phương trình sau
1.
(
1
7
)x2−2x−3
= 7x+1 Đs: x=−1,x= 2
2. 5x2−5x−6 = 1 Đs: x=−1,x= 6
3. (0,75)2x−3 =
(
1
1
3
)5−x
Đs: x=−2
4.
(
1
2
)x2−2
= 24−3x
5.
(
1
2
)x+7
.
(
1
2
)1−2x
= 2
6. 9|3x−1| = 38x−2
7. 52x−7x−52x.35+7x.35= 0
8. 2x2−1+2x2+2 = 3x2 +3x2−1
9. 5x−
p
x2+4 = 25
10. 3x.2x+1 = 72
11. 5x+1+ 6. 5x3. 5x−1 = 52
12. 16
x+10
x−10 = 0,125.8 x+5x−15
6
© by Nguyễn Hồng Điệp LATEX201512
1.3.4 Giải các phương trình sau
1. 2x = 3x+1
2.
(
2
5
)4x+1
=
(
1
7
)3x+2
3. 5x.2
2x−1
x+1 = 50
4. 3x.2
3x
x+2 = 6
5. 3x.8
x
x+2 = 6
6. 4.9x−1 = 3
p
22x+1
7. 2x2−2x.3x = 1,5
8. 23x = 32x
9. 5x.3x2=1
10. 3x.2x2 = 1
1.3.5 Giải các phương trình sau
1. 4x+2x+1−8= 0
2. 4x+1−6.2x+1+8= 0
3. 34x+8−4.32x+5+27= 0
4. 4x+2x+1−24= 0
5. 16x−17.4x+16= 0
6. 49x+7x+1−8= 0
7. 2x2−x−22+x−x2 = 3.
8. 4x2−3x+2+4x2−6x−5 = 42x2+3x+7+1
9.
(
7+4p3)x+ (2+p3)x = 6
10. 4cos2x+4cos2x = 3
11. 32x+5−36.3x+1+9= 0
12. 3.9x−2.9−x+5= 0
13. 32x2+2x+1−28.3x2+x+9= 0
14. 4x2+2−9.2x2+2+8= 0
15. 3.52x−1−2.5x−1 = 0,2
1.3.6 Giải các phương trình sau
1. 9x+2(x−2).3x+2x−5= 0 Đs: x= 1
2. 25x−2(3− x).5x+2x−7 = 0
3. 3.25x−2+ (3x−10).5x−2+3− x = 0
4. 3.4x+ (3x−10).2x+3− x= 0
5. 4x2+ x.3
p
x+31+
p
x = 2.3
p
x.x2+2x+6
6. 3.25x−2+ (3x−10).5x−2+3− x= 0
7. 4x+(x8)2x+122x= 0
8. (x+4).9x− (x+5).3x+1= 0
9. 4x2 + (x2−7).2x2 +12−4x2 = 0
10. 9−x− (x+2).3−x−2(x+4)= 0
1.3.7 Giải các phương trình sau
1. 64.9x−84.12x+27.16x = 0
2. 3.16x+2.81x = 5.36x
3. 6.32x−13.6x+6.22x = 0
4. 25x+10x = 22x+1
5. 27x+12x = 2.8x
6. 3.16x+2.81x = 5.36x
7. 6.9
1
x −13.6 1x +6.4 1x = 0
8. 4−
1
x +6− 1x = 9− 1x
9. 2.4
1
x +6 1x = 9 1x
10.
(
7+5p2)x+(p2−5)(3+2p2)x+3(1+p2)x+1−p2 = 0.
1.3.8 Giải các phương trình sau
1.
(
3−2p2)2x = 3+2p2
2.
(
2−p3)x+ (2+p3)x = 14
3.
(√
2+p3
)x+ (√2−p3)x = 4
4. (2+p3)x+ (7+4p3)(2−p3)x = 4(2+p3)
5.
(p
5+2)x−1 = (p5−2) x−1x+1
6.
(
5−p21)x+7(5+p21)x = 2x+3
7.
(
5+p24)x+ (5−p24)x = 10
8.
(
7+3p5
2
)x
+7
(
7−3p5
2
)x
= 8
9.
(√
6−p35
)x+ (√6+p35)x = 12
7
© by Nguyễn Hồng Điệp LATEX201512
10.
(
2+p3)(x−1)2 + (2−p3)x2−2x−1 = 4
2−p3
11.
(
3+p5)x+16(3−p5)x = 2x+3
12.
(
3+p5)x+ (3−p5)x−7.2x = 0
13.
(
7+4p3)x−3(2−p3)x+2= 0
14.
(
3
√
3+p8
)x+ ( 3√3−p8)x = 6.
1.3.9 Giải các phương trình sau
(sử dụng tính đơn điệu)
1. 4x+5x = 9 Đs: x= 1
2.
(
2−p3)x+ (2+p3)x = 4x
3.
(p
3−p2)x+ (p3+p2)x = (p5)x
4.
(
3+2p2)x+ (3−2p2)x = 6x
5. )
(
3+p5)x+16.(3−p5)x = 2x+3
6.
(
3
5
)x
+ 7
5
= 2x
7.
(√
2+p3
)x+ (√2−p3)x = 2x
8. 2x+3x+5x = 10x
9. 2x+3x = 5x
10. 2x−1−2x2−x = (x−1)2
11. 3x = 5−2x
12. 2x = 3− x
13. 2x+1−4x = x−1
14. 2x = 3 x2 +1
15. 4x+7x = 9x+2
16. 52x+1−53x− x+1= 0
17. 3x+8x = 4x+7x
18. 6x+2x = 5x+3x
19. 9x+15x = 10x+14x
20. x.2x = x(3−2)+2(2x−1) Đs: x= 0,x= 2
1.3.10 Giải phương trình sau
(đưa về phương trình tích)
1. 8.3x+3.2x = 24+6x
2. 12.3x+3.15x−5x+1 = 20
3. 8− x.2x+ 23−x− x= 0
4. 2x+3x = 1+6x
5. 4x2−3x+2+4x2+6x+5 = 42.x2+3x+7+1
6. 4x2+x+21−x2 = 2(x+1)2 +1
7. x2.3x+3x(12−7x)=−x3+8x2−19x+12
8. x2.3x−1+ x(3x−2x)= 2(2x−3x−1)
9. 4sinx−21+sinx cos(xy)+2|y| = 0
10. 22(x2+x)+21−x2 −22(x2+x).21−x2 −1= 0
1.3.11 Giải các phương trình sau
sử dụng phương pháp đối lập
1. 2x = cosx4, với x≥ 0
2. 3x2−6x+10 = −x2+6x−6
3. 3|sin
p
x| = |cosx|
4. 2.cos2
(
x3− x
2
)
= 3x+3−x
5. pi|sin
p
x| = |cosx|
6. 22x−x2 = x
2+1
x
7. 3x2 = cos2x
8. 5x2 = cos3x
1.4 Phương trình logarit
1.4.1 Giải các phương trình sau
1. log2 [x(x−1)]= 1
2. log2x+ log2(x−1)= 1
3. log2(x−2)−6.log1/8
p
3x−5= 2
4. log2(x−3)+ log2(x−1)= 3
5. ln(x+1)+ ln(x+3)= ln(x+7) Đs: x= 1
6. log4(x+3)− log4(x−1)= 2− log48
7. lg(x−2)+ log(x−3)= 1− log5
8. 2log8(x−2)− log8(x−3)= 23
8
© by Nguyễn Hồng Điệp LATEX201512
9. log
p
5x−4+ logpx+1= 2+ log0,18
10. log3(x2−6)= log3(x−2)+1
11. log2(x+3)+ log2(x−1)= 1/log52
12. log4x+ log4(10− x)= 2
13. log5(x−1)− log1/5(x+2)= 0
14. log2(x−1)+ log2(x+3)= log210−1
15. log9(x+8)− log3(x+26)+2= 0
16. log4 log2 x+ log2 log4 x= 2 Đs: x= 16
17. log2 x+ log3 x+ log4 x= log20 x Đs: x= 1
1.4.2 Giải các phương trình sau
1. log3x+ logp3x+ log1/3x= 6
2. 1+ log(x2−2x+1)− log(x2+1)= 2log(1− x)
3. log4x+ log1/16x+ log8x= 5
4. 2+ log(4x2−4x+1)− log(x2+19)= 2log(1−2x)
5. log2x+ log4x+ log8x= 11
6. log1/2(x−1)+ log1/2(x+1)= 1+ log1/p2(7− x)
7. log2log2x= log3log3x
8. log2log3x= log3log2x
9. log2log3x+ log3log2x= log3log3x
10. log2log3log4x= log4log3log2x
1.4.3 Giải các phương trình sau
1. log2(9−2x)= 3− x
2. log3(3x−8)= 2− x
3. log7(6+7−x)= 1+ x
4. log3(4.3x−1−1)= 2x−1
5. log2(9−2x)= 5log5(3−x)
6. log2(3.2x−1)−2x−1= 0
7. log2(12−2x)= 5− x
8. log5(26−3x)= 2
9. log2(5x+ 1−25x)= 2
10. log4(3.2x+ 1−5)= x
11. log 1p
6
(5x+ 1−25x)=−2
12. log 1p
5
(6x+ 1−36x)=−2
1.4.4 Giải các phương trình sau
1. log5 −x(x2−2x+65)= 2
2. logx − 1(x2−4x+5)= 1
3. logx(5x2−8x+3)= 2
4. logx+1(2x3+2x2−3x+1)= 3
5. logx − 3(x−1)= 2
6. logx(x+2)= 2
7. log2x(x2−5x+6)= 2
8. logx+3(x2− x)= 1
9. logx(2x2−7x+12)= 2
10. logx(2x2−3x−4)= 2
11. log2x(x2−5x+6)= 2
12. logx(x2−2)= 1
13. log3x + 5(9x2+8x+2)= 2
14. log2x + 4(x2+1)= 1
15. logx
15
1−2x =−2
16. logx2(3−2x)= 1
17. logx2+ 3x(x+3)= 1
18. logx(2x2−5x+4)= 2
1.4.5 Giải các phương trình sau
1. log23 x+
√
log23 x+1−5= 0
2. − log3 x+2log2 x= 2− logx Đs: x= 10,x= 110 ,x= 100
3.
1
4+ log2 x
+ 2
2− log2 x
= 1 Đs: x= 12 , 14
4. log2p
2
x+3log2x+ log1/2x= 2
5. logx2− log4x+ 76 = 0
6. log21
2
4x+ log2 x
2
8 = 8
7. log2p
2
x+3log2x+ log1/2x= 0
8. logx216+ log2x64= 3
9. log5x− logx 15 = 2
10. log7x− logx 17 = 2
11. 2log5
p
x−2= logx 15
12. 3
√
log2x− log24x= 0
9
© by Nguyễn Hồng Điệp LATEX201512
13. 3
√
log3x− log33x−1= 0
14. log2 3
p
x+ 3√log2x= 4/3
15. log2 3
p
x− 3√log2x=−2/3
16. log22 x+2log4 1x = 0
17. log22(2− x)−8log1/4(2− x)= 5
18. log25 x+4log255x−5= 0
19. logx
p
5+ logx5x= 94 + log2x
p
5
20. logx23+ log9x= 1
21.
1
4− logx +
2
2+ logx = 1
22.
1
5− logx +
3
3+ logx = 1
23. log2xx2−14log16xx3+40log4x
p
x= 0
1.4.6 Giải các phương trình sau
1. log23 x+ (x−12)log3x+11− x= 0
2. 6.9log2x+6.x2 = 13.xlog26
3. x. log22 x−2(x+1).log2x+4= 0
4. log22 x+ (x−1)log2x= 6−2x
5. (x+2)log23(x+1)+4(x+1)log3(x+1)−16= 0
6. logx2(2+ x)+ logp2−xx= 2
7. log23(x+1)+ (x−5)log3(x+1)−2x+6= 0
8. 4
√
log3x−1− log3
p
x= 4
9. log2(x2+3x+2)+ log2(x2+7x+12)= 3+ log23
1.4.7 Giải các bất phương trình sau
1. log7x= log3(
p
x+2)
2. log2(x−3)+ log3(x−2)= 2
3. log3(x+1)+ log5(2x+1)= 2
4. log2
(
x+3log6x)= log6x
5. 4log7(x+3) = x
6. log2
(
1+px)= log3x
7. xlog29 = x2.3log2x− xlog23
8. log3x+7(9+12x+4x2)+ log2x+3(6x2+23x+21)= 4
9. log2
(
x−
p
x2−1
)
.log3
(
x+
p
x2−1
)
= log6
(
x−
p
x2−1
)
1.4.8 Giải các phương trình sau
sử dụng tính đơn điệu
1. x+ xlog23 = xlog25 (x> 0)
2. x2+3log2x = 5log2x
3. log5(x+3)= 3− x
4. log2(3− x)= x
5. log2(x2− x−6)+ x= log2(x+2)+4
6. x+2.3log2x = 3
7. 4(x−2)[log2(x−3)+ log3(x−2)]= 15(x+1)
1.4.9 Giải các hệ phương trình sau
1.
{
x+2y = 5
x−2y = 1
2.
{
2x = 4y
4x = 32y
3.
{
x−3y = 1
x2+3y = 19
4.
{
xy−1 = 8
x2y−6 = 4
5.
{
2x+2y = 3
x+ y= 1
6.
{
2x.9y = 36
3x.4y = 36
7.
{
2x.5y = 20
5x.2y = 50
8.
{
2x.3y = 12
3x.2y = 18
9.
{
xy
2−7y+10 = 1
x+ y= 8 (x> 0)
10.
{
xx
2−y2−16 = 1
x− y= 2 (x> 0)
1.4.10 Giải các hệ phương trình sau:
1.
{
4x−3y = 7
4x.3y = 144
2.
{
2x+3y = 17
3.2x−2.3y = 6
3.
{
2x+2.3x + y = 56
3.2x+3x + y+ 1 = 87
10
© by Nguyễn Hồng Điệp LATEX201512
4.
{
32x+2+22y+2 = 17
2.3x+1+3.2y = 8
5.
{
3
p
x+1−2y =−4
3
p
x+1−2y+1 =−1
6.
{
42(x
2−1)−4.4x2−1.2y+22y = 1
22y−3.4x2−1..2y = 4
7.
{
cot2x= 3y
cosx= 2y
8.
{
(x2+ y)2y−x2 = 1
9(x2+ y)= 6x2−y
9.
{
32x−2y = 77
3x−2y = 7
10.
{
2x−2y = (y− x)(xy+2)
x2+ y2 = 2
1.4.11 Giải các hệ phương trình sau:
1.
{
3x = 2y+1
3y = 2x+1
2.
{
3x+2x= y+11
3y+2y= x+11
3.
{
2x−2y = y− x
x2+ xy+ y2 = 3
4.
{
7x−1 = 6y−5
7y−1 = 6x−5
1.4.12 Giải các hệ phương trình sau:
1.
{
x+ y= 6
log2x+ log2y= 3
2.
{
logx y+ logyx= 2
x+ y= 6
3.
{
x+ log2y= 4
2x− log2y= 2
4.
{
x2− y2 = 3
log3 (x+ y)− log5 (x− y)= 1
5.
{
xy= 32
logyx= 4
6.
{
log3x+2log2 y = 3
xy = 9
7.
{
2(logyx+ logx y)= 5
xy= 8
8.
{ p
x−1+√2− y= 1
3log9(9x2)− log3y3 = 3
9.
{ 1
2 log3x
2− log3y= 0
|x|3+ y2−2y= 0
10.
{
y− log3x= 1
xy = 312
1.4.13 Giải các hệ phương trình sau:
1.
{
logx (3x+2y)= 2
logy (2x+3y)= 2
2.
{
logx(6x+4y)= 2
logy(6y+4x)= 2
3.
 log2
(
1− xy
)
= 2− log2y
log√ 3
2
x+ log√ 3
2
y= 4
4.
{