Lý Thuyết
1. Định lí. Với các số a và b không âm ta có:
\( \sqrt{a.b}\) = √a.√b.
Lưu ý. a) Với hai biểu thức không âm A và B, ta cũng có
\( \sqrt{A.B}\) = √A.√B.
b) Nếu không có điều kiện A và B không âm thì không thể viết đằng thức trên. Chẳng hạn \( \sqrt{(-9).(-4)}\) được xác định nhưng đẳng thức √(-9).√(-4) không xác định.
2. Quy tắc khai phương một tích
Muốn khai phương một tích của những số không âm, ta có thể khai phương từng thừa số rồi nhân các kết quả với nhau.
Nói cách khác, với các số a, b,…c không âm ta có:
\( \sqrt{a.b….c}\) = √a.√b….√c
Quy tắc nhân các căn bậc hai
Muốn nhân các căn bậc hai của những số không âm, ta có thể nhân các số dưới dấu căn với nhau rồi khai phương kết quả đó.
Nói cách khác, với các số a, b,…,c không âm ta có:
√a.√b….√c = \( \sqrt{a.b….c}\).
Bài Tập
Bài 17,18 trang 14 sgk toán 9 – tập 1
Bài 17. Áp dụng quy tắc khai phương một tích, hãy tính:
a) \( \sqrt{0,09.64}\); b) \( \sqrt{2^{4}.(-7)^{2}}\);
c) \( \sqrt{12,1.360}\); d) \( \sqrt{2^{3}.3^{4}}\).
Hướng dẫn giải:
a) ĐS: 2.4.
b) ĐS: 28.
c) HD: Đổi 12,1.360 thành 121.36. ĐS: 66
d) ĐS: 18.
Bài 18. Áp dụng quy tắc nhân các căn bậc hai, hãy tính:
a) √7.V63; b) √2,5.√30.√48;
c) √0,4.√6,4; d) √2,7.√5.√1,5.
Hướng dẫn giải:
a) 21; b) 60; c) 1,6; d) 4,5.
Bài 19 – 24 trang 15 sgk toán 9 – tập 1
Bài 19. Rút gọn các biểu thức sau:
a) \( \sqrt{0,36a^{2}}\) với a <0; b) \( \sqrt{0,36a^{2}}\) với a ≥ 3;
c) \( \sqrt{27.48(1 – a)^{2}}\) với a > 1; d) \( \frac{1}{a – b}\).\( \sqrt{a^{4}.(a – b)^{2}}\) với a > b.
Hướng dẫn lời giải:
a) \( \sqrt{0,36a^{2}}\) = \( \sqrt{0,36a^{2}}\) = 0,6.│a│
Vì a < 0 nên │a│= -a. Do đó \( \sqrt{0,36a^{2}}\) = -0,6a.
b) \( \sqrt{a^{4}.(3 – a)^{2}}\) = \( \sqrt{a^{4}}\).\( \sqrt{(3 – a)^{2}}\) = │\( a^{2}\)│.│3 – a│.
Vì \( a^{2}\) ≥ 0 nên │b│= \( a^{2}\). Vì a ≥ 3 nên 3 – a ≤ 0, do đó │3 – a│= a – 3.
Vậy \( \sqrt{a^{4}.(3 – a)^{2}}\) = \( a^{2}\)(a – 3).
c) \( \sqrt{27.48(1 – a)^{2}}\) = \( \sqrt{27.3.16(1 – a)^{2}}\) = \( \sqrt{81.16(1 – a)^{2}}\) = √81.√16.\( \sqrt{(1 – a)^{2}}\)
= 9.4.│1 – a│
Vì a > 1 nên 1 – a < 0. Do đó │1 - a│= a -1.
Vậy \( \sqrt{27.48(1 – a)^{2}}\) = 36(a – 1).
d) \( \frac{1}{a – b}\) : \( \sqrt{a^{4}.(a – b)^{2}}\) = \( \frac{1}{a – b}\) : (\( \sqrt{a^{4}}.\sqrt{(a – b)^{2}}\) = \( \frac{1}{a – b}\) : (\( a^{2}\).│a – b│)
Vì a > b nên a -b > 0, do đó│a – b│= a – b.
Vậy \( \frac{1}{a – b}\) : \( \sqrt{a^{4}.(a – b)^{2}}\) = \( \frac{1}{a – b}\) : (\( a^{2}\)(a – b)) = \( \frac{1}{a^{2}.(a – b)^{2}}\).
Bài 20. Rút gọn các biểu thức sau:
a) \( \sqrt{\frac{2a}{3}}\).\( \sqrt{\frac{3a}{8}}\) với a ≥ 0; b) \( \sqrt{13a}.\sqrt{\frac{52}{a}}\) với a > 0;
c) \( \sqrt{5a}.\sqrt{45a}\) – 3a với a ≥ 0; d) \( (3 – a)^{2}- \sqrt{0,2}.\sqrt{180a^{2}}\).
Hướng dẫn giải:
a) ĐS: \( \frac{a}{2}\); b) ĐS: 26; c) ĐS: 12a
d) \( (3 – a)^{2}\) – \( \sqrt{0,2}.\sqrt{180a^{2}}\) = \( a^{2}\) – 6a + 9 – \( \sqrt{0,2.180a^{2}}\)
= \( a^{2}\) – 6a + 9 – \( \sqrt{36a^{2}}\) = \( a^{2}\) – 6a + 9 – 6│a│.
Khi a ≥ 0 thì │a│= a.
Do đó \( (3 – a)^{2}\) – \( \sqrt{0,2}.\sqrt{180a^{2}}\) = \( a^{2}\) – 6a + 9 -6a = \( a^{2}\) – 12a + 9.
Khi a < 0 thì │a│= a.
Do đó \( (3 – a)^{2}\) – \( \sqrt{0,2}.\sqrt{180a^{2}}\) = \( a^{2}\) – 6a + 9 + 6a = \( a^{2}\) + 9
Bài 21. Khai phương tích 12.30.40 được:
(A). 1200; (B). 120; (C). 12; (D). 240
Hãy chọn kết quả đúng.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: B
Bài 22. Biến đổi các biểu thức dưới dấu căn thành dạng tích rồi tính:
a) \( \sqrt{13^{2}- 12^{2}}\); b) \( \sqrt{17^{2}- 8^{2}}\);
c) \( \sqrt{117^{2} – 108^{2}}\); d) \( \sqrt{313^{2} – 312^{2}}\).
Hướng dẫn giải:
a) ĐS: 5.
b) \( \sqrt{17^{2}- 8^{2}}\) = \( \sqrt{(17 – 8)(17 + 8)}\) = \( \sqrt{9.25}\) = √9.√25 = 3.5 = 15.
c) ĐS: 45
d) ĐS: 25
Bài 23. Chứng minh.
a) (2 – √3)(2 + √3) = 1;
b) (√2006 – √2005) và (√2006 + √2005) là hai số nghịch đảo của nhau.
Hướng dẫn giải:
a) Dùng hằng đẳng thức khai triển vế trái rồi lưu ý rằng √(3)2 = 3.
b) Hai số là nghịch đảo của nhau nếu tích của chúng bằng 1.
Bài 24. Rút gọn và tìm giá trị (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 3) của các căn thức sau:
a) \( \sqrt{4(1 + 6x + 9x^{2})^{2}}\) tại x = -√2;
b) \( \sqrt{9a^{2}(b^{2} + 4 – 4b)}\) tại a = -2, b = -√3.
Hướng dẫn giải:
a) \( \sqrt{4(1 + 6x + 9x^{2})^{2}}\) = √4.\( \sqrt{(1 + 6x + 9x^{2})^{2}}\) = 2(1 + 6x+ \( 9x^{2}\)).
Tại x = -√2, giá trị của \( \sqrt{4(1 + 6x + 9x^{2})^{2}}\) là 2(1 + 6(-√2) + 9(\( (-\sqrt{2})^{2}\)
= 2(1 – 6√2 +9.2)
= 2(19 – 6√2) ≈ 21,03.
b) \( \sqrt{9a^{2}(b^{2} + 4 – 4b)}\) = \( \sqrt{9a^{2}(b – 2)^{2}}\)
= √9.\( \sqrt{a^{2}}\).\( \sqrt{(b – 2)^{2}}\) = 3.│a│.│b – 2│.
Tại a = -2 và b = -√3, giá trị của biểu thức \( \sqrt{9a^{2}(b^{2} + 4 – 4b)}\) là 3.│-2│.│-√3 – 2│= 3.2.(√3 + 2) = 6(√3 + 2) ≈ 22,392.
Bài 25,26,27 trang 16 sgk toán 9 – tập 1
Bài 25. Tìm x biết:
a) \( \sqrt{16x}\) = 8; b) \( \sqrt{4x} = \sqrt{5}\);
c) \( \sqrt{9(x – 1)}\) = 21; d) \( \sqrt{4(1 – x)^{2}}\) – 6 = 0.
Hướng dẫn giải:
a) Điều kiện x ≥ 0.
\( \sqrt{16x}\) = 8 \( \Leftrightarrow\) 16x = 64 \( \Leftrightarrow\) x = 4.
b) ĐS: x = \( \frac{5}{4}\).
c) ĐS: x = 50.
d) Điều kiện: Vì \( (1 – x)^{2}\) ≥ 0 với mọi giá trị của x nên \( \sqrt{4(1 – x)^{2}}\) có nghĩa với mọi giá trị của x.
\( \sqrt{4(1 – x)^{2}}\) – 6 = 0 \( \Leftrightarrow\) √4.\( \sqrt{(1 – x)^{2}}\) – 6 = 0
\( \Leftrightarrow\) 2.│1 – x│= 6 \( \Leftrightarrow\) │1 – x│= 3.
Ta có 1 – x ≥ 0 khi x ≤ 1. Do đó:
khi x ≤ 1 thì │1 – x│ = 1 – x.
khi x > 1 thì │1 – x│ = x -1.
Để giải phương trình │1 – x│= 3, ta phải xét hai trường hợp:
– Khi x ≤ 1, ta có: 1 – x = 3 \( \Leftrightarrow\) x = -2.
Vì -2 < 1 nên x = -2 là một nghiệm của phương trình.
– Khi x > 1, ta có: x – 1 = 3 \( \Leftrightarrow\) x = 4.
Vì 4 > 1 nên x = 4 là một nghiệm của phương trình.
Vậy phương trình có hai nghiệm là x = -2 và x = 4.
Bài 26. a) So sánh \( \sqrt{25 + 9}\) và \( \sqrt{25} + \sqrt{9}\);
b) Với a > 0 và b > 0, chứng minh \( \sqrt{a + b}\) < √a + √b.
Hướng dẫn giải:
a) Tính √25 + √9 rồi so sánh kết quả với \( \sqrt{25 + 9}\).
Trả lời: \( \sqrt{25 + 9}\) < √25 + √9.
b) Ta có: \( (\sqrt{a + b})^{2}\) = a + b và
\( (\sqrt{a + b})^{2}\) = \( \sqrt{a^{2}}\) + 2√a.√b + \( \sqrt{b^{2}}\)
= a + b + 2√a.√b.
Vì a > 0, b > 0 nên √a.√b > 0.
Do đó \( \sqrt{a + b}\) < √a + √b
Bài 27. So sánh
a) 4 và 2√3; b) -√5 và -2
Hướng dẫn giải:
a) HD: 4 = √16, 2√3 = √4.√3 =√(4.3) = √12.
Trả lời: 4 > 2√3.
b) ĐS: -√5 < -2
Toán học lớp 9 – Bài 3 – liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương
