Tài liệu ôn tập chương 1 đại số 11

Ngày đăng: 11/09/2013, 03:10

Tài liệu luyện thi Đại học môn Giải tích CHƯƠNG I KHẢO SÁT HÀM SỐ Phần 1. Bổ sung một số công thức tính đạo hàm ( ) 1 − = ′ nn nxx ( ) ( ) unuu n n ′ = ′ − 1 ( ) x x 2 1 = ′ ( ) u u u 2 ′ = ′ 2 11 xx −= ′       2 1 u u u ′ −= ′       ( ) xx cossin = ′ ( ) uuu cossin ′ = ′ ( ) xx sincos −= ′ ( ) uuu sincos ′ −= ′ ( ) x x 2 cos 1 tan = ′ ( ) u u u 2 cos tan ′ = ′ ( ) x x 2 sin 1 cot −= ′ ( ) u u u 2 sin cot ′ −= ′ Một số đạo hàm hữu tỉ • ( ) 2 dcx cbad y dcx bax y + − = ′ ⇒ + + = • ( ) 2 22 2 edx cdbeaexadx y edx cbxax y + −++ = ′ ⇒ + ++ = • ( ) ( ) ( ) số dạng toán ứng dụng đạo hàm Chủ đề 1. Tính đơn điệu của hàm số ( ) xfy = Một vài kiến thức cần nhớ: Với mọi ( ) baxx ;, 21 ∈ • Nếu ( ) ( ) 2121 xfxfxx số đồng biến • Nếu ( ) ( ) 2121 xfxfxx >⇒< thì ( ) xfy = là hàm số nghịch biến • Nếu ( ) 0 > ′ xf , ( ) bax ; ∈∀ hàm số đồng biến • Nếu ( ) 0 < ′ xf , ( ) bax ; ∈∀ hàm số đồng biến • Nếu ( ) 0 = ′ xf hàm số không đổi dấu trên TXĐ Một số dạng toán cơ bản: Trang 1 Tài liệu luyện thi Đại học môn Giải tích  Dạng 1: Xét tính đơn điệu của hàm số  Bài tập áp dụng Khảo sát tính đơn điệu của các hàm số sau: a. 23 23 +−= xxy b. 32 24 ++−= xxy c. 2 2 + − = x x y d. 1 32 2 + +−− = x xx y e. 34 2 +−= xxy f. 693 2 −+−= xxy g. 1 3 2 + + = x x y h. xxy −= 4  Dạng 2: Định m để hàm số đơn điệu trên tập xác định.  Bài tập áp dụng 1. Định m để hàm số ( ) 11233 23 +−+−= xmmxxy đồng biến trên R 2. Định m để hàm số mx mmxx y 2 32 22 − +− = đồng biến trên mỗi khoảng xác định 3. Định m để hàm số ( ) ( ) 1161232 23 ++++−= xmmxmxy đồng biến với 1 > x 4. Định m để hàm số mx mx y + + = 2 2 đồng biến khi 1 < x và 1 > x  Dạng 3: Hàm số đơn điệu trên khoảng ( ) βα ;  Bài tập áp dụng 1. Định m để hàm số ( ) xmxy −= 2 đồng biến trên khoảng ( ) 2;1 2. Định m để hàm số ( ) ( ) 12313 23 +−+−−= xmmxmxy . a. Đồng biến khi 2>x b. Đồng biến khi 1 −< x c. Nghịch biến trên ( ) 1;0 d. Đồng biến trên ( ) 1;0 Chủ đề 2. Cực trị của hàm số ( ) xfy = Một vài kiến thức cần nhớ • 0 x đgl điểm cực đại ( ) ( ) Dbaxba ⊂⊃∃⇔ ;:; 0 và ( ) ( ) ( ) { } 00 \;, xbaxxfxf ∈∀< • 0 x đgl điểm cực tiểu ( ) ( ) Dbaxba ⊂⊃∃⇔ ;:; 0 và ( ) ( ) ( ) { } 00 \;, xbaxxfxf ∈∀> Trang 2 Tài liệu luyện thi Đại học môn Giải tích Một số dạng toán cơ bản  Dạng 1: Tìm cực trị của hàm số ( ) xfy =  Bài tập áp dụng Tìm cực trị của các hàm số sau: a. 23 23 ++= xxy b. 2 35 35 +−= xx y c. 2 3 12 − ++= x xy d. 2 1 x x y − = e. 2 4 xxy −= f. 34 2 +−= xxy  Dạng 2: Bài toán có tham số m  Bài tập áp dụng 1. Định m để hàm số 253 23 +++= xxmxy đạt cực đại tại 2 = x 2. Định m để hàm số mx mxx y + ++ = 1 2 3. Tìm các hệ số a, b, c, d của hàm số ( ) dcxbxaxxf +++= 23 sao cho hàm số f đạt cực tiểu tại điểm 0 = x , ( ) 00 = f và đạt cực đại tại điểm ( ) 11,1 == fx . 4. Xác định các hệ số a, b, c sao cho hàm số ( ) cbxaxxxf +++= 23 đạt cực trị bằng 0 tại điểm 2 −= x và đồ thị của hàm số đi qua điểm ( ) 0;1A 5. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, hàm số ( ) mx mxmmx y − +++− = 11 32 Chủ đề 3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm ( ) xfy = Một vài kiến thức cần nhớ: Cho hàm số ( ) xfy = xác định trên RD ⊂ • Nếu tồn tại Dx ∈ 0 sao cho ( ) ( ) Dxxfxf ∈∀≤ 0 thì số ( ) 0 xfM = đgl giá trị lớn nhất của hàm số f trên D , kí hiệu ( ) xfM Dx ∈ = max • Nếu tồn tại Dx ∈ 0 sao cho ( ) ( ) Dxxfxf ∈∀≥ 0 thì số ( ) 0 xfm = đgl giá trị lớn nhất của hàm số f trên D , kí hiệu ( ) xfm Dx ∈ = min Một số dạng toán cơ bản:  Dạng: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của ( ) xfy = trên đoạn [ ] ba;  Bài tập áp dụng: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số: Trang 3 Tài liệu luyện thi Đại học môn Giải tích a. 3593 23 +−−= xxxy trên đoạn [ ] 4;4 − b. 2 452 2 − ++ = x xx y trên đoạn [ ] 1;0 c. x xy 1 += trên khoảng ( ) +∞ ;0 d. xxy 44 cossin += e. xxy −= 2sin trên đoạn       − 2 ; 2 ππ f. 4cossin2cos 2 +−= xxxy Phần 3. Khảo sát hàm số A – Hàm đa thức 1. Hàm số bậc 3 ( ) 0 23 ≠+++= adcxbxaxy  Bài tập áp dụng Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau: a. 43 23 −+= xxy b. 13 23 −+−= xxy c. 3 5 3 3 1 23 −−−−= xxxy d. 1 23 −−+−= xxxy 2. Hàm số trùng phương ( ) 0 24 ≠++= acbxaxy  Bài tập áp dụng Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau: a. 2 3 3 2 1 24 +−= xxy b. 22 24 −+−= xxy c. 23 24 +−= xxy d. 42 2 xxy −= B – Hàm phân thức 1. Hàm số ( ) 0,0 ≠−≠ + + = bcadc dcx bax y  Bài tập áp dụng Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau: a. 12 2 + − = x x y b. x x y 31 12 − + = 2. Hàm số ( ) 0,0 2 ≠ ′ ≠ ′ + ′ ++= ′ + ′ ++ = aa bxa r qpx bxa cbxax y  Bài tập áp dụng Trang 4 Tài liệu luyện thi Đại học môn Giải tích Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau: a. 1 63 2 − +− = x xx y b. x xx y − +− = 1 12 2 c. 2 332 2 + −+ = x xx y d. 1 1 2 − ++−= x xy Phần 4. Một số bài toán liên quan đến khảo sát hàm số.  Chủ đề 1: Sự tương giao của hai đồ thị  Bài tập 1. Cho hàm số 1 2 − ++ = x mxmx y ( m là tham số ) (1) ( ĐH Khối A – 2003 ) a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi 1 −= m . b. Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và có hoành độ dương. 2. Cho hàm số ( ) C x x y 1 1 − + = và đường thẳng 1: += mxyd a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C). b. Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt. c. Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị. d. Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt cùng thuộc một nhánh của đồ thị. 3. Cho hàm số ( ) Cmxxmxy 82 23 +−−= a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) khi 3 1 = m . b. Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt. c. Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn -1. 4. Cho hàm số ( ) m H x mxx y 1 1 2 − −+ = . Tìm m sao cho: a. Đường thẳng 2 += mxy cắt đường cong tại 2 điểm phân biệt. b. Tiệm cận xiên của hàm số cắt hai trục tọa độ tạo thành 1 tam giác có diện tích bằng 8. 5. Cho hàm số ( ) ( ) Cmxmxy 224 43 ++−= . Tìm m để: a. Đồ thị hàm số có ba điểm chung với trục hoành b. Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt Trang 5 Tài liệu luyện thi Đại học môn Giải tích 6. Cho hàm số ( ) C x xx y 1 13 2 + −+ = . Định k để đường thẳng ky = cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt E, F sao cho đoạn EF ngắn nhất. 7. Cho hàm số ( ) Cxxy 3 3 1 3 +−= và mmxyd 3: −= a. Tìm m để d tiếp xúc với (C). b. Tìm m để d cắt (C) tại 3 điểm A, B, C với ( ) 0;3A và OCOB ⊥ 8. Cho hàm số 1 1 − −= x xy ( ĐHKT 2000 ) Tìm m để đường thẳng my = cắt đồ thị tại hai điểm A, B sao cho OBOA ⊥ . 9. Cho hàm số 1 12 2 + +− = x xx y a. Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị sao cho chúng đối xứng nhau qua đường thẳng 3 += xy b. Tìm k sao cho trên đồ thị có hai điểm khác nhau thỏa    =+ =+ kyx kyx PP QQ 10. Cho hàm số 1 2 + = x x y . Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị sao cho chúng đối xứng nhau qua đường thẳng 1 += xy 11. Cho hàm số ( ) mmxmmmxxy −+−+−= 223 9423 . Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm có hoành độ tạo thành 1 cấp số cộng.  Chủ đề 2. Tiếp tuyến  Bài tập: 1. Cho hàm số 1 2 + − = x x y (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) và trục tung. 2. Cho hàm số 13 3 −+= xxy (C). a. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn. b. Chứng minh tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất. 3. Cho hàm số 5 510 2 + +− = x xx y (C) . a. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) với trục Ox. Trang 6 Tài liệu luyện thi Đại học môn Giải tích b. Chứng minh hai tiếp tuyến này vuông góc nhau. 4. Cho hàm số 23 3 +−= xxy (C). a. Viết phương trình các tiếp tuyến của đồ thị (C) vuông góc với đường thẳng xy 9 1 −= . b. Tìm các điểm trên đường thẳng 4 = y sao cho từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến đên đồ thị (C), trong đó có 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau. 5. Cho hàm số 1 12 + +− = x x y a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. b. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của hàm số song song với đường thẳng xy −= 6. Cho hàm số 3 43 xxy −= . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến đi qua điểm ( ) 3;1M . 7. Cho hàm số 1 2 − +− = x mmxx y . Tìm tất cả các giá trị của m sao cho hai tiếp tuyến với đồ thị kẻ từ gốc tạo độ O là vuông góc với nhau. 8. Cho hàm số 1232 23 +−+= mmxxy a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với 1 = m . b. Tìm trên đồ thị (C) ( với 1 = m ) điểm mà tại đó hệ số góc của tiếp tuyến đạt giá trị nhỏ nhất. 9. Cho hàm số xxy 3 3 −= (C). Tìm trên đường thẳng 2 = x những điểm mà từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến của đồ thị hàm số. 10. Cho hàm số x xx y 23 2 +− = (C). Tìm trên đường thẳng 1 = x những điểm sao cho từ đó kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc nhau. 11. Cho hàm số 1 1 1 − ++= x xy (C). Tìm những điểm trên đồ thị (C) có hoành độ lớn hơn 1 sao cho tiếp tuyến tại đó tạo với hai đường tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất. 12. Cho hàm số 2 2 2 − +− = x xx y . Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị xuất phát từ điểm ( ) 2;2A . Trang 7 Tài liệu luyện thi Đại học môn Giải tích 13. Cho hàm số ( ) 132 3 1 23 xxxy +−= có đồ thị (C). a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1). b. Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (C) tại điểm uốn và chứng minh rằng ∆ là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất.  Chủ đề 3. Vấn đề cố định của hàm số  Bài tập: 1. Cho hàm số ( ) ( ) ( ) 1414213 223 +−++++−= mmxmmxmxy . Chứng minh rằng khi m thay đổi họ đường cong luôn đi qua một điểm cố định với mọi m. 2. Cho hàm số ( ) mmxmmxy ++++−= 223 1 . Tìm điểm cố định của đồ thị hàm số. 3. Cho hàm số xmxmxy −−= 23 a. Chứng minh rằng đồ thị hàm số luôn đi qua hai điểm cố định. b. Tìm tất cả các điểm trong mặt phẳng tọa độ sao cho không có đồ thị hàm số nào đi qua. 4. Cho hàm số ( ) 818332 23 −++−= mxxmxy . Tìm trên đường 2 xy = những điểm mà đồ thị hàm số không đi qua dù m lấy bất kì giá trị nào. 5. Cho hàm số ( ) mmxxmxy +−−+= 22 23 a. Chứng minh rằng với mọi m hàm số luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định, tại một điểm cố định. b. Tìm trên đường 2 xy = những điểm mà đồ thị hàm số không đi qua dù m lấy bất kì giá trị nào. 6. Cho hàm số ( ) ( ) 1 112 2 −≠ +− ++−+ = m mx mxmx y . Chứng minh rằng đồ thị luôn tiếp xúc với 1 đường thẳng cố định tại 1 điểm cố định. 7. Cho hàm số ( ) ( ) mx mxmxm y − −−++ = 2432 2 . Chứng minh rằng tiệm cận xiên của đồ thị luôn tiếp xúc với một parabol cố định. 8. Cho hàm số ( ) 2 262 2 + +−+ = mx axmx y . Tìm a để đồ thị hàm số luôn đi qua 3 điểm cố định với mọi m. Trang 8 Tài liệu luyện thi Đại học môn Giải tích 9. Cho hàm số ( ) ( ) 1 122 222 + +−+ = mx mxmxm y . Chứng minh rằng với mọi 0 ≠ m , tiệm cận xiên của đồ thị hàm số luôn tiếp xúc với 1 parabol cố định. Tìm phương trình của parabol đó.  Chủ đề 4. Biến đổi đồ thị  Bài tập 1. Cho hàm số 1 3 3 − ++−= x xy a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. b. Tìm trên đồ thị những điểm có tọa độ nguyên. c. Dựa vào đồ thị đã vẽ hãy vẽ đồ thị các hàm số sau: 1 4 2 − +− = x xx y ; 1 4 2 − +− = x xx y ; 2. Cho hàm số 23 23 +−= xxy a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. b. Dựa vào đồ thị đã vẽ hãy vẽ đồ thị các hàm số sau: 23;23 2323 +−=+−= xxyxxy 3. Cho hàm số 1 2 2 − +− = x xx y a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. b. Dựa vào đồ thị đã vẽ hãy vẽ đồ thị hàm số 1 2 2 − +− = x xx y  Chủ đề 5. Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình ( ) 0, = mxf  Bài tập 1. Cho hàm số 23 23 +−= xxy a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. b. Dựa vào đồ thị hãy biện luận số nghiệm của phương trình 03 23 =−− axx . c. Tìm tất cả các giá trị của a để phương trình có 3 nghiệm phân biệt trong đó có đùng 2 nghiệm nhỏ hơn 1. 2. Cho hàm số 1 452 2 − +− = x xx y a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. Trang 9 Tài liệu luyện thi Đại học môn Giải tích b. Dựa vào đồ thị hãy biện luận số nghiệm của phương trình ( ) 0452 2 =+++− mxmx 3. Cho hàm số 1 1 2 − +− = x xx y a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. b. Biện luận theo m số nghiệm [ ] π ;0 ∈ t của phương trình ( ) 032cos122cos =+++− mtmt 4. Cho hàm số 1 222 2 − +− = x xx y a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. b. Tìm trên đồ thị những điểm có tọa độ nguyên. c. Biện luận theo m số nghiệm       −∈ 2 ; 2 ππ t của phương trình ( ) 02sin2sin2 2 =+++− mtmt 5. Cho hàm số 12 24 ++−= xxy a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. b. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình ( ) 0121 2 2 =−+− mx 6. Cho hàm số 133 23 −++= xxxy a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. b. Chứng minh rằng phương trình 0sin233 223 =+++ α xxx luôn có 1 nghiệm [ ] 0;2 −∈ x 7. Cho hàm số 12 24 −−= xxy a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. b. Với giá trị nào của m thì phương trình 5312 224 −−=−− mmxx 8. Cho hàm số 13 3 +−= xxy a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. b. Biện luận theo k số nghiệm của phương trình 03 3 =+− kxx 9. Cho hàm số ( ) ( ) 113 23223 mmxmmxxy −+−++−= ( m là tham số ) a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi 1 = m b. Tìm k để phương trình 03 2323 =−++− kkxx có 3 nghiệm phân biệt. 10. Cho hàm số ( ) 12 342 2 − −− = x xx y Trang 10 […]… nhau 10 Cho hàm số y = − x 3 + 3mx 2 + (1 − m 2 ) x + m 3 − m 2 Viết phương trình đường thẳng di qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số y = mx 3 − 3mx 2 + ( 2m + 1) x + 3 − m Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu Chứng minh rằng đường thẳng nối 2 điểm cực đại và cực tiểu luôn đi qua một điểm cố định Trang Đại học môn Giải tích 12 Cho hàm số y = x 4 + 8ax 3 + 3 (1 +… tại x = 1 3 Cho hàm số y = ax 2 + bx + c Tìm a, b, c để đồ thị hàm số đạt cực trị (1; 1) và tiệm x−2 cận xiên vuông góc với đường thẳng y = 1 x 2 4 Cho hàm số y = x 3 − ( m + 2) x 2 + (1 − m ) x + 3m + 1 Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x1 , x2 thỏa x1 − x2 = 2 1 3 1 3 3 2 5 Cho hàm số y = x + ( m − 1) x + 3( m − 2 ) x + Tìm m để hàm số có 2 cực trị có hoành độ thỏa x1 + 2 x2 = 1 6 Cho hàm số y =… luyện thi Đại học môn Giải tích 12 Cho hàm số y = x 4 + 8ax 3 + 3 (1 + 2a ) x 2 − 4 Tìm a để hàm số có cực tiểu mà không có cực đại 13 Cho hàm số y = 1 4 3 x − mx 2 + Tìm m để hàm số có cực tiểu mà không có cực đại 4 2 14 Cho hàm số y = mx 4 + ( m 2 − 9) x 2 + 10 Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị Trang 12 .. .Tài liệu luyện thi Đại học môn Giải tích a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 2 b Tìm m để phương trình 2 x − 4 x −3 + 2m x 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt  Chủ đề 6 Cực trị  số y = ax 2 + bx + ab Tìm a, b để hàm số đạt cực trị tại x = 0 và x = 4 bx + a 2 Cho hàm số y = x 3 − ax 2 + bx + c Xác định a, b, c để đồ thị có tam đối xứng là I (0 ;1) và đồ thị hàm số đạt… 2m + 1) x 2 + ( m 2 − 3m + 2) x + 4 Tìm m để hàm số đã cho có cực đại và cực tiểu nằm về 2 phía khác nhau của trục tung 7 Cho hàm số y = x 3 − 3 x 2 + 3mx + 2 Xác định m để hàm số có 2 điểm cực trị có hoành 2 2 độ x1 , x2 thỏa x1 + x2 = 6 8 Cho hàm số y = 2 x 2 − 3x + m Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu thỏa x −m yCĐ − yCT > 8 9 Cho hàm số y = x 2 + ( 2 m + 3) x + m 2 + 4 m Tìm m để hàm số có . 11 Tài liệu luyện thi Đại học môn Giải tích 12 . Cho hàm số ( ) 4 213 8 234 −+++= xaaxxy . Tìm a để hàm số có cực tiểu mà không có cực đại. 13 . Cho hàm số. hàm số. 10 . Cho hàm số x xx y 23 2 +− = (C). Tìm trên đường thẳng 1 = x những điểm sao cho từ đó kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc nhau. 11 . Cho hàm số 1 1 1

luyện thihọc môn Giải tíchI KHẢO SÁT HÀMPhầnBổ sung mộtcông thức tính đạo hàm ( )− = ′ nn nxx ( ) ( ) unuu n n ′ = ′ −( ) x x 2= ′ ( ) u u u 2 ′ = ′ 2xx −= ′       2u u u ′ −= ′       ( ) xx cossin = ′ ( ) uuu cossin ′ = ′ ( ) xx sincos −= ′ ( ) uuu sincos ′ −= ′ ( ) x x 2 costan = ′ ( ) u u u 2 cos tan ′ = ′ ( ) x x 2 sincot −= ′ ( ) u u u 2 sin cot ′ −= ′ Mộtđạo hàm hữu tỉ • ( ) 2 dcx cbad y dcx bax y + − = ′ ⇒ + + = • ( ) 2 22 2 edx cdbeaexadx y edx cbxax y + −++ = ′ ⇒ + ++ = • ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 rqxpx cqbrxcparxbpaq y rqxpx cbxax y ++ −+−+− = ′ ⇒ ++ ++ = Phần 2. Mộtdạng toán ứng dụng đạo hàm Chủ đềTính đơn điệu của hàm( ) xfy = Một vài kiến thức cần nhớ: Với mọi ( ) baxx ;, 21 ∈ • Nếu ( ) ( ) 2121 xfxfxx ⇒< thì ( ) xfy = là hàmnghịch biến • Nếu ( ) 0 > ′ xf , ( ) bax ; ∈∀ hàmđồng biến • Nếu ( ) 0 < ′ xf , ( ) bax ; ∈∀ hàmđồng biến • Nếu ( ) 0 = ′ xf hàmkhông đổi dấu trên TXĐ Mộtdạng toán cơ bản: Trangluyện thihọc môn Giải tích  Dạng 1: Xét tính đơn điệu của hàm Bàiáp dụng Khảo sát tính đơn điệu của các hàmsau: a. 23 23 +−= xxy b. 32 24 ++−= xxy c. 2 2 + − = x x y d.32 2 + +−− = x xx y e. 34 2 +−= xxy f. 693 2 −+−= xxy g.3 2 + + = x x y h. xxy −= 4  Dạng 2: Định m để hàmđơn điệu trênxác định.  Bàiáp dụngĐịnh m để hàm( ) 11233 23 +−+−= xmmxxy đồng biến trên R 2. Định m để hàmmx mmxx y 2 32 22 − +− = đồng biến trên mỗi khoảng xác định 3. Định m để hàm( ) ( ) 1161232 23 ++++−= xmmxmxy đồng biến với> x 4. Định m để hàmmx mx y + + = 2 2 đồng biến khi< x và> x  Dạng 3: Hàmđơn điệu trên khoảng ( ) βα ;  Bàiáp dụngĐịnh m để hàm( ) xmxy −= 2 đồng biến trên khoảng ( ) 2;1 2. Định m để hàm( ) ( ) 12313 23 +−+−−= xmmxmxy . a. Đồng biến khi 2>x b. Đồng biến khi−< x c. Nghịch biến trên ( ) 1;0 d. Đồng biến trên ( ) 1;0 Chủ đề 2. Cực trị của hàm( ) xfy = Một vài kiến thức cần nhớ • 0 x đgl điểm cực( ) ( ) Dbaxba ⊂⊃∃⇔ ;:; 0 và ( ) ( ) ( ) { } 00 \;, xbaxxfxf ∈∀< • 0 x đgl điểm cực tiểu ( ) ( ) Dbaxba ⊂⊃∃⇔ ;:; 0 và ( ) ( ) ( ) { } 00 \;, xbaxxfxf ∈∀> Trang 2luyện thihọc môn Giải tích Mộtdạng toán cơ bản  Dạng 1: Tìm cực trị của hàm( ) xfy =  Bàiáp dụng Tìm cực trị của các hàmsau: a. 23 23 ++= xxy b. 2 35 35 +−= xx y c. 2 3 12 − ++= x xy d. 2x x y − = e. 2 4 xxy −= f. 34 2 +−= xxy  Dạng 2: Bài toán có thamm  Bàiáp dụngĐịnh m để hàm253 23 +++= xxmxy đạt cực2 = x 2. Định m để hàmmx mxx y + ++ =2 3. Tìm các hệa, b, c, d của hàm( ) dcxbxaxxf +++= 23 sao cho hàmf đạt cực tiểuđiểm 0 = x , ( ) 00 = f và đạt cựcđiểm ( ) 11,1 == fx . 4. Xác định các hệa, b, c sao cho hàm( ) cbxaxxxf +++= 23 đạt cực trị bằng 0điểm 2 −= x và đồ thị của hàmđi qua điểm ( ) 0;1A 5. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, hàm( ) mx mxmmx y − +++− =32 Chủ đề 3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm ( ) xfy = Một vài kiến thức cần nhớ: Cho hàm( ) xfy = xác định trên RD ⊂ • Nếu tồnDx ∈ 0 sao cho ( ) ( ) Dxxfxf ∈∀≤ 0 thì( ) 0 xfM = đgl giá trị lớn nhất của hàmf trên D , kí hiệu ( ) xfM Dx ∈ = max • Nếu tồnDx ∈ 0 sao cho ( ) ( ) Dxxfxf ∈∀≥ 0 thì( ) 0 xfm = đgl giá trị lớn nhất của hàmf trên D , kí hiệu ( ) xfm Dx ∈ = min Mộtdạng toán cơ bản:  Dạng: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của ( ) xfy = trên đoạn [ ] ba;  Bàiáp dụng: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số: Trang 3luyện thihọc môn Giải tích a. 3593 23 +−−= xxxy trên đoạn [ ] 4;4 − b. 2 452 2 − ++ = x xx y trên đoạn [ ] 1;0 c. x xy+= trên khoảng ( ) +∞ ;0 d. xxy 44 cossin += e. xxy −= 2sin trên đoạn       − 2 ; 2 ππ f. 4cossin2cos 2 +−= xxxy Phần 3. Khảo sát hàmA – Hàm đa thứcHàmbậc 3 ( ) 0 23 ≠+++= adcxbxaxy  Bàiáp dụng Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàmsau: a. 43 23 −+= xxy b. 13 23 −+−= xxy c. 3 5 3 323 −−−−= xxxy d.23 −−+−= xxxy 2. Hàmtrùng phương ( ) 0 24 ≠++= acbxaxy  Bàiáp dụng Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàmsau: a. 2 3 3 224 +−= xxy b. 22 24 −+−= xxy c. 23 24 +−= xxy d. 42 2 xxy −= B – Hàm phân thứcHàm( ) 0,0 ≠−≠ + + = bcadc dcx bax y  Bàiáp dụng Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàmsau: a. 12 2 + − = x x y b. x x y 31 12 − + = 2. Hàm( ) 0,0 2 ≠ ′ ≠ ′ + ′ ++= ′ + ′ ++ = aa bxa r qpx bxa cbxax y  Bàiáp dụng Trang 4luyện thihọc môn Giải tích Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàmsau: a.63 2 − +− = x xx y b. x xx y − +− =12 2 c. 2 332 2 + −+ = x xx y d.2 − ++−= x xy Phần 4. Mộtbài toán liên quan đến khảo sát hàm số.  Chủ đề 1: Sự tương giao của hai đồ thị  BàiCho hàm2 − ++ = x mxmx y ( m là tham) (1) ( ĐH Khối A – 2003 ) a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàmkhi−= m . b. Tìm m để đồ thị hàmcắt trục hoànhhai điểm phân biệt và có hoành độ dương. 2. Cho hàm( ) C x x y− + = và đường thẳng 1: += mxyd a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm(C). b. Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C)hai điểm phân biệt. c. Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C)hai điểm phân biệt thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị. d. Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C)hai điểm phân biệt cùng thuộc một nhánh của đồ thị. 3. Cho hàm( ) Cmxxmxy 82 23 +−−= a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm(C) khi 3= m . b. Tìm m để đồ thị hàmcắt trục hoành3 điểm phân biệt. c. Tìm m để đồ thị hàmcắt trục hoành3 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn -1. 4. Cho hàm( ) m H x mxx y2 − −+ = . Tìm m sao cho: a. Đường thẳng 2 += mxy cắt đường cong2 điểm phân biệt. b. Tiệm cận xiên của hàmcắt hai trục tọa độ tạo thànhtam giác có diện tích bằng 8. 5. Cho hàm( ) ( ) Cmxmxy 224 43 ++−= . Tìm m để: a. Đồ thị hàmcó ba điểm chung với trục hoành b. Đồ thị hàmcắt trục hoànhbốn điểm phân biệt Trang 5luyện thihọc môn Giải tích 6. Cho hàm( ) C x xx y13 2 + −+ = . Định k để đường thẳng ky = cắt đồ thịhai điểm phân biệt E, F sao cho đoạn EF ngắn nhất. 7. Cho hàm( ) Cxxy 3 33 +−= và mmxyd 3: −= a. Tìm m để d tiếp xúc với (C). b. Tìm m để d cắt (C)3 điểm A, B, C với ( ) 0;3A và OCOB ⊥ 8. Cho hàm− −= x xy ( ĐHKT 2000 ) Tìm m để đường thẳng my = cắt đồ thịhai điểm A, B sao cho OBOA ⊥ . 9. Cho hàm12 2 + +− = x xx y a. Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị sao cho chúng đối xứng nhau qua đường thẳng 3 += xy b. Tìm k sao cho trên đồ thị có hai điểm khác nhau thỏa    =+ =+ kyx kyx PP QQ 10. Cho hàm2 + = x x y . Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị sao cho chúng đối xứng nhau qua đường thẳng+= xyCho hàm( ) mmxmmmxxy −+−+−= 223 9423 . Tìm m để đồ thị hàmcắt trục hoành3 điểm có hoành độ tạo thànhcấpcộng.  Chủ đề 2. Tiếp tuyến  Bài tập:Cho hàm2 + − = x x y (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C)giao điểm của (C) và trục tung. 2. Cho hàm13 3 −+= xxy (C). a. Viết phương trình tiếp tuyếnđiểm uốn. b. Chứng minh tiếp tuyếnđiểm uốn có hệgóc nhỏ nhất. 3. Cho hàm5 510 2 + +− = x xx y (C) . a. Viết phương trình tiếp tuyến với (C)giao điểm của (C) với trục Ox. Trang 6luyện thihọc môn Giải tích b. Chứng minh hai tiếp tuyến này vuông góc nhau. 4. Cho hàm23 3 +−= xxy (C). a. Viết phương trình các tiếp tuyến của đồ thị (C) vuông góc với đường thẳng xy 9−= . b. Tìm các điểm trên đường thẳng 4 = y sao cho từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến đên đồ thị (C), trong đó có 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau. 5. Cho hàm12 + +− = x x y a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. b. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của hàmsong song với đường thẳng xy −= 6. Cho hàm3 43 xxy −= . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến đi qua điểm ( ) 3;1M . 7. Cho hàm2 − +− = x mmxx y . Tìm tất cả các giá trị của m sao cho hai tiếp tuyến với đồ thị kẻ từ gốc tạo độ O là vuông góc với nhau. 8. Cho hàm1232 23 +−+= mmxxy a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàmứng với= m . b. Tìm trên đồ thị (C) ( với= m ) điểm màđó hệgóc của tiếp tuyến đạt giá trị nhỏ nhất. 9. Cho hàmxxy 3 3 −= (C). Tìm trên đường thẳng 2 = x những điểm mà từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến của đồ thị hàm số. 10. Cho hàmx xx y 23 2 +− = (C). Tìm trên đường thẳng= x những điểm sao cho từ đó kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc nhau.Cho hàm− ++= x xy (C). Tìm những điểm trên đồ thị (C) có hoành độ lớn hơnsao cho tiếp tuyếnđó tạo với hai đường tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất. 12. Cho hàm2 2 2 − +− = x xx y . Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị xuất phát từ điểm ( ) 2;2A . Trang 7luyện thihọc môn Giải tích 13. Cho hàm( ) 132 323 xxxy +−= có đồ thị (C). a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm(1). b. Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (C)điểm uốn và chứng minh rằng ∆ là tiếp tuyến có hệgóc nhỏ nhất.  Chủ đề 3. Vấn đề cố định của hàm Bài tập:Cho hàm( ) ( ) ( ) 1414213 223 +−++++−= mmxmmxmxy . Chứng minh rằng khi m thay đổi họ đường cong luôn đi qua một điểm cố định với mọi m. 2. Cho hàm( ) mmxmmxy ++++−= 223. Tìm điểm cố định của đồ thị hàm số. 3. Cho hàmxmxmxy −−= 23 a. Chứng minh rằng đồ thị hàmluôn đi qua hai điểm cố định. b. Tìm tất cả các điểm trong mặt phẳng tọa độ sao cho không có đồ thị hàmnào đi qua. 4. Cho hàm( ) 818332 23 −++−= mxxmxy . Tìm trên đường 2 xy = những điểm mà đồ thị hàmkhông đi qua dù m lấy bất kì giá trị nào. 5. Cho hàm( ) mmxxmxy +−−+= 22 23 a. Chứng minh rằng với mọi m hàmluôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định,một điểm cố định. b. Tìm trên đường 2 xy = những điểm mà đồ thị hàmkhông đi qua dù m lấy bất kì giá trị nào. 6. Cho hàm( ) ( )112 2 −≠ +− ++−+ = m mx mxmx y . Chứng minh rằng đồ thị luôn tiếp xúc vớiđường thẳng cố địnhđiểm cố định. 7. Cho hàm( ) ( ) mx mxmxm y − −−++ = 2432 2 . Chứng minh rằng tiệm cận xiên của đồ thị luôn tiếp xúc với một parabol cố định. 8. Cho hàm( ) 2 262 2 + +−+ = mx axmx y . Tìm a để đồ thị hàmluôn đi qua 3 điểm cố định với mọi m. Trang 8luyện thihọc môn Giải tích 9. Cho hàm( ) ( )122 222 + +−+ = mx mxmxm y . Chứng minh rằng với mọi 0 ≠ m , tiệm cận xiên của đồ thị hàmluôn tiếp xúc vớiparabol cố định. Tìm phương trình của parabol đó.  Chủ đề 4. Biến đổi đồ thị  BàiCho hàm3 3 − ++−= x xy a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. b. Tìm trên đồ thị những điểm có tọa độ nguyên. c. Dựa vào đồ thị đã vẽ hãy vẽ đồ thị các hàmsau:4 2 − +− = x xx y ;4 2 − +− = x xx y ; 2. Cho hàm23 23 +−= xxy a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. b. Dựa vào đồ thị đã vẽ hãy vẽ đồ thị các hàmsau: 23;23 2323 +−=+−= xxyxxy 3. Cho hàm2 2 − +− = x xx y a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. b. Dựa vào đồ thị đã vẽ hãy vẽ đồ thị hàm2 2 − +− = x xx y  Chủ đề 5. Dựa vào đồ thị biện luậnnghiệm của phương trình ( ) 0, = mxf  BàiCho hàm23 23 +−= xxy a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. b. Dựa vào đồ thị hãy biện luậnnghiệm của phương trình 03 23 =−− axx . c. Tìm tất cả các giá trị của a để phương trình có 3 nghiệm phân biệt trong đó có đùng 2 nghiệm nhỏ hơn2. Cho hàm452 2 − +− = x xx y a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. Trang 9luyện thihọc môn Giải tích b. Dựa vào đồ thị hãy biện luậnnghiệm của phương trình ( ) 0452 2 =+++− mxmx 3. Cho hàm2 − +− = x xx y a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. b. Biện luận theo mnghiệm [ ] π ;0 ∈ t của phương trình ( ) 032cos122cos =+++− mtmt 4. Cho hàm222 2 − +− = x xx y a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. b. Tìm trên đồ thị những điểm có tọa độ nguyên. c. Biện luận theo mnghiệm       −∈ 2 ; 2 ππ t của phương trình ( ) 02sin2sin2 2 =+++− mtmt 5. Cho hàm12 24 ++−= xxy a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. b. Biện luận theo mnghiệm của phương trình ( ) 0121 2 2 =−+− mx 6. Cho hàm133 23 −++= xxxy a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. b. Chứng minh rằng phương trình 0sin233 223 =+++ α xxx luôn cónghiệm [ ] 0;2 −∈ x 7. Cho hàm12 24 −−= xxy a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. b. Với giá trị nào của m thì phương trình 5312 224 −−=−− mmxx 8. Cho hàm13 3 +−= xxy a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. b. Biện luận theo knghiệm của phương trình 03 3 =+− kxx 9. Cho hàm( ) ( ) 113 23223 mmxmmxxy −+−++−= ( m là tham) a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm(1) khi= m b. Tìm k để phương trình 03 2323 =−++− kkxx có 3 nghiệm phân biệt. 10. Cho hàm( ) 12 342 2 − −− = x xx y Trang 10 […]… nhau 10 Cho hàmy = − x 3 + 3mx 2 + (1 − m 2 ) x + m 3 − m 2 Viết phương trình đường thẳng di qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số 11 Cho hàmy = mx 3 − 3mx 2 + ( 2m + 1) x + 3 − m Tìm m để hàmcó cựcvà cực tiểu Chứng minh rằng đường thẳng nối 2 điểm cựcvà cực tiểu luôn đi qua một điểm cố định Trang 11 Tài liệu luyện thihọc môn Giải tích 12 Cho hàmy = x 4 + 8ax 3 + 3 (1 +…x =3 Cho hàmy = ax 2 + bx + c Tìm a, b, c để đồ thị hàmđạt cực trị (1; 1) và tiệm x−2 cận xiên vuông góc với đường thẳng y =x 2 4 Cho hàmy = x 3 − ( m + 2) x 2 + (1 − m ) x + 3m +Tìm m để hàmđạt cực trịx1 , x2 thỏa x1 − x2 = 23 3 2 5 Cho hàmy = x + ( m − 1) x + 3( m − 2 ) x + Tìm m để hàmcó 2 cực trị có hoành độ thỏa x1 + 2 x2 =6 Cho hàmy =… luyện thihọc môn Giải tích 12 Cho hàmy = x 4 + 8ax 3 + 3 (1 + 2a ) x 2 − 4 Tìm a để hàmcó cực tiểu mà không có cực13 Cho hàmy =4 3 x − mx 2 + Tìm m để hàmcó cực tiểu mà không có cực4 2 14 Cho hàmy = mx 4 + ( m 2 − 9) x 2 + 10 Tìm m để hàmcó 3 điểm cực trị Trang 12 .. .Tàiluyện thihọc môn Giải tích a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm2 b Tìm m để phương trình 2 x − 4 x −3 + 2m x= 0 có hai nghiệm phân biệt  Chủ đề 6 Cực trị  Bài tập 1 Cho hàmy = ax 2 + bx + ab Tìm a, b để hàmđạt cực trịx = 0 và x = 4 bx + a 2 Cho hàmy = x 3 − ax 2 + bx + c Xác định a, b, c để đồ thị có tam đối xứng là I (0 ;1) và đồ thị hàmđạt… 2m + 1) x 2 + ( m 2 − 3m + 2) x + 4 Tìm m để hàmđã cho có cựcvà cực tiểu nằm về 2 phía khác nhau của trục tung 7 Cho hàmy = x 3 − 3 x 2 + 3mx + 2 Xác định m để hàmcó 2 điểm cực trị có hoành 2 2 độ x1 , x2 thỏa x1 + x2 = 6 8 Cho hàmy = 2 x 2 − 3x + m Tìm m để hàmcó cực đại, cực tiểu thỏa x −m yCĐ − yCT > 8 9 Cho hàmy = x 2 + ( 2 m + 3) x + m 2 + 4 m Tìm m để hàmcó . 11 Tài liệu luyện thi Đại học môn Giải tích 12 . Cho hàm số ( ) 4 213 8 234 −+++= xaaxxy . Tìm a để hàm số có cực tiểu mà không có cực đại. 13 . Cho hàm số. hàm số. 10 . Cho hàm số x xx y 23 2 +− = (C). Tìm trên đường thẳng 1 = x những điểm sao cho từ đó kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc nhau. 11 . Cho hàm số 1 1 1