Giáo Dục

Phương trình bậc nhất một ẩn

Bài viết hướng dẫn phương pháp giải và biện luận phương trình bậc nhất một ẩn, nội dung bài viết gồm 3 phần: phương pháp giải, ví dụ minh họa và các bài tập rèn luyện, các ví dụ và bài tập trong bài viết đều được phân tích và giải chi tiết.

1. Phương pháp giải và biện luận phương trình bậc nhất một ẩn
Giải và biện luận phương trình dạng $ax + b = 0:$
• Nếu $a\ne 0$, ta có: $ax + b = 0$ $\Leftrightarrow x=-\frac{b}{a}$, do đó phương trình có nghiệm duy nhất $x=-\frac{b}{a}.$
• Nếu $a=0$: phương trình $ax + b = 0$ trở thành $0x+b=0$, khi đó:
+ Trường hợp 1: Với $b=0$ phương trình $ax + b = 0$ nghiệm đúng với mọi $x\in R.$
+ Trường hợp 2: Với $b\ne 0$ phương trình $ax + b = 0$ vô nghiệm.
Chú ý:
+ Phương trình $ax+b=0$ có nghiệm $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
a\ne 0 \\
a=b=0 \\
\end{matrix} \right.$
+ Phương trình $ax+b=0$ vô nghiệm $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a=0 \\
b\ne 0 \\
\end{matrix} \right.$
+ Phương trình $ax+b=0$ có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow a\ne 0.$

2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Giải và biện luận phương trình sau với $m$ là tham số:
a) $\left( {m – 1} \right)x + 2 – m = 0.$
b) $m\left( {mx – 1} \right) = 9x + 3.$
c) ${(m + 1)^2}x$ $ = (3m + 7)x + 2 + m.$

a) Phương trình tương đương với $\left( {m – 1} \right)x = m – 2.$
+ Với $m – 1 = 0$ $ \Leftrightarrow m = 1:$ phương trình trở thành $0x = – 1$, suy ra phương trình vô nghiệm.
+ Với $m – 1 \ne 0$ $ \Leftrightarrow m \ne 1:$ phương trình tương đương với $x = \frac{{m – 2}}{{m – 1}}.$
Kết luận:
+ Nếu $m = 1$, phương trình vô nghiệm.
+ Nếu $m \ne 1$, phương trình có nghiệm duy nhất $x = \frac{{m – 2}}{{m – 1}}.$
b) Ta có: $m\left( {mx – 1} \right) = 9x + 3$ $ \Leftrightarrow \left( {{m^2} – 9} \right)x = m + 3.$
Với ${m^2} – 9 = 0$ $ \Leftrightarrow m = \pm 3:$
+ Khi $m=3:$ Phương trình trở thành $0x=6$, suy ra phương trình vô nghiệm.
+ Khi $m=-3$: Phương trình trở thành $0x=0$, suy ra phương trình nghiệm đúng với mọi $x\in R.$
Với ${{m}^{2}}-9\ne 0$ $\Leftrightarrow m\ne \pm 3$: Phương trình tương đương với $x=\frac{m+3}{{{m}^{2}}-9}=\frac{1}{m-3}$.
Kết luận:
+ Với $m=3$: Phương trình vô nghiệm.
+ Với $m=-3$: Phương trình nghiệm đúng với mọi $x\in R.$
+ Với $m\ne \pm 3$: Phương trình có nghiệm $x=\frac{1}{m-3}.$
c) Phương trình tương đương với $\left[ {{(m+1)}^{2}}-3m-7 \right]x=2+m$ $\Leftrightarrow \left( {{m}^{2}}-m-6 \right)x=2+m.$
Với ${{m}^{2}}-m-6=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
m=3 \\
m=-2 \\
\end{matrix} \right.$:
+ Khi $m=3:$ Phương trình trở thành $0x=5$, suy ra phương trình vô nghiệm.
+ Khi $m=-2:$ Phương trình trở thành $0x=0$, suy ra phương trình nghiệm đúng với mọi $x\in R.$
Với ${{m}^{2}}-m-6\ne 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
m\ne 3 \\
m\ne -2 \\
\end{matrix} \right.$: Phương trình tương đương với $x=\frac{m+2}{{{m}^{2}}-m-6}=\frac{1}{m-3}$.
Kết luận:
+ Với $m=3$ : Phương trình vô nghiệm.
+ Với $m=-2$ : Phương trình nghiệm đúng với mọi $x\in R.$
+ Với $m\ne 3$ và $m\ne -2$: Phương trình có nghiệm $x=\frac{1}{m-3}.$

Xem thêm :  Sinh học 9 bài 23: đột biến số lượng nhiễm sắc thể

Ví dụ 2. Giải và biện luận phương trình sau với $a,b$ là tham số:
a) ${a^2}\left( {x – a} \right) = {b^2}\left( {x – b} \right).$
b) $b\left( {ax – b + 2} \right) = 2\left( {ax + 1} \right).$

a) Ta có: ${a^2}\left( {x – a} \right) = {b^2}\left( {x – b} \right)$ $ \Leftrightarrow \left( {{a^2} – {b^2}} \right)x = {a^3} – {b^3}.$
Với ${{a}^{2}}-{{b}^{2}}=0$ $\Leftrightarrow a=\pm b:$
+ Khi $a=b$: Phương trình trở thành $0x=0$, suy ra phương trình nghiệm đúng với mọi $x\in R.$
+ Khi $a=-b$ và $b\ne 0$: Phương trình trở thành $0x=-2{{b}^{3}}$, suy ra phương trình vô nghiệm.
(Trường hợp $a=-b$, $b=0$ $\Rightarrow a=b=0$ thì rơi vào trường hợp $a=b$).
Với ${{a}^{2}}-{{b}^{2}}\ne 0$ $\Leftrightarrow a\ne \pm b$: Phương trình tương đương với $x=\frac{{{a}^{3}}-{{b}^{3}}}{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}=$ $\frac{{{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}}}{a+b}.$
Kết luận:
+ Với $a=b$: Phương trình nghiệm đúng với mọi $x\in R.$
+ Với $a=-b$ và $b\ne 0$: Phương trình vô nghiệm.
+ Với $a\ne \pm b$: Phương trình có nghiệm là $x=\frac{{{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}}}{a+b}.$
b) Ta có $b\left( ax-b+2 \right)=2\left( ax+1 \right)$ $\Leftrightarrow a\left( b-2 \right)x={{b}^{2}}-2b+2.$
Với $a\left( b-2 \right)=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
a=0 \\
b=2 \\
\end{matrix} \right.$
+ Khi $a=0$: Phương trình trở thành $0x={{b}^{2}}-2b+2$, do ${{b}^{2}}-2b+2={{\left( b-1 \right)}^{2}}+1>0$ nên phương trình vô nghiệm.
+ Khi $b=2$: Phương trình trở thành $0x=2$, suy ra phương trình vô nghiệm.
Với $a\left( b-2 \right)\ne 0$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a\ne 0 \\
b\ne 2 \\
\end{matrix} \right.$: Phương trình tương đương với $x=\frac{{{b}^{2}}-2b+2}{a\left( b-2 \right)}$ .
Kết luận:
+ Với $a=0$ hoặc $b=2$ thì phương trình vô nghiệm.
+ Với $a\ne 0$ và $b\ne 2$ thì phương trình có nghiệm là $x=\frac{{{b}^{2}}-2b+2}{a\left( b-2 \right)}.$

Ví dụ 3. Tìm $m$ để phương trình sau có nghiệm duy nhất:
a) $({{m}^{2}}-m)x=2x+{{m}^{2}}-1.$
b) $m\left( 4mx-3m+2 \right)=x(m+1).$

a) Ta có $({{m}^{2}}-m)x=2x+{{m}^{2}}-1$ $\Leftrightarrow ({{m}^{2}}-m-2)x={{m}^{2}}-1.$
Phương trình có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow a\ne 0$ hay ${{m}^{2}}-m-2\ne 0$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m\ne -1 \\
m\ne 2 \\
\end{matrix} \right.$
Vậy với $m\ne -1$ và $m\ne 2$ thì phương trình có nghiệm duy nhất.
b) Ta có $m\left( 4mx-3m+2 \right)=x(m+1)$ $\Leftrightarrow \left( 4{{m}^{2}}-m-1 \right)x=3{{m}^{2}}-2m.$
Phương trình có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow a\ne 0$ hay $4{{m}^{2}}-m-1\ne 0$ $\Leftrightarrow m\ne \frac{1\pm \sqrt{17}}{8}.$
Vậy với $m\ne \frac{1\pm \sqrt{17}}{8}$ thì phương trình có nghiệm duy nhất.

Ví dụ 4. Tìm $m$ để đồ thị hai hàm số sau không cắt nhau $y=\left( m+1 \right){{x}^{2}}+3{{m}^{2}}x+m$ và $y=\left( m+1 \right){{x}^{2}}+12x+2.$

Đồ thị hai hàm số không cắt nhau khi và chỉ khi phương trình $\left( m+1 \right){{x}^{2}}+3{{m}^{2}}x+m$ $=\left( m+1 \right){{x}^{2}}+12x+2$ vô nghiệm $\Leftrightarrow 3\left( {{m}^{2}}-4 \right)x=2-m$ vô nghiệm $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{m^2} – 4 = 0}\\
{2 – m \ne 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{m = \pm 2}\\
{m \ne 2}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow m = – 2.$
Vậy với $m=-2$ là giá trị cần tìm.
[ads]
3. Bài tập rèn luyện
a. Đề bài:
Bài toán 1. Giải và biện luận phương trình sau với $m$ là tham số:
a) $\left( 2m-4 \right)x+2-m=0.$
b) $(m+1)x=(3{{m}^{2}}-1)x+m-1.$

Xem thêm :  ✓ chuyên đề trục căn thức ở mẫu của biểu thức: lý thuyết và bài tập

Bài toán 2. Giải và biện luận các phương trình sau:
a) $\frac{x+a-b}{a}-\frac{x+b-a}{b}=\frac{{{b}^{2}}-{{a}^{2}}}{ab}.$
b) $\frac{ax-1}{x-1}+\frac{2}{x+1}=\frac{a\left( {{x}^{2}}+1 \right)}{{{x}^{2}}-1}.$

Bài toán 3. Tìm $m$ để phương trình sau vô nghiệm:
a) $({{m}^{2}}-m)x=2x+{{m}^{2}}-1.$
b) ${{m}^{2}}\left( x-m \right)=x-3m+2.$

Bài toán 4. Tìm điều kiện của $a,b$ để phương trình sau có nghiệm.
a) $a\left( bx-a+2 \right)=\left( a+b-1 \right)x+1.$
b) $\frac{2x-a}{a}-b=\frac{2x-b}{b}-a(a,b\ne 0).$

b. Hướng dẫn và đáp số:
Bài toán 1
.
a) Phương trình tương đương với $\left( 2m-4 \right)x=m-2.$
+ Với $2m-4=0$ $\Leftrightarrow m=2$: Phương trình trở thành $0x=0$, suy ra phương trình nghiệm đúng với mọi $x$.
+ Với $2m-4\ne 0$ $\Leftrightarrow m\ne 2$: Phương trình tương đương với $x=-1.$
Kết luận:
+ Với $m=2$: Phương trình nghiệm đúng với mọi $x.$
+ Với $m\ne 2$: Phương trình có nghiệm duy nhất $x=-1.$
b) Phương trình tương đương với $\left( 3{{m}^{2}}-m-2 \right)x=1-m.$
Với $3{{m}^{2}}-m-2=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
m=1 \\
m=-\frac{2}{3} \\
\end{matrix} \right.$:
+ Khi $m=1:$ Phương trình trở thành $0x=0$, phương trình nghiệm đúng với mọi $x$.
+ Khi $m=-\frac{2}{3}$: Phương trình trở thành $0x=\frac{5}{3}$, suy ra phương trình vô nghiệm.
Với $3{{m}^{2}}-m-2\ne 0$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m\ne 1 \\
m\ne -\frac{2}{3} \\
\end{matrix} \right.$, phương trình $\Leftrightarrow x=\frac{1-m}{3{{m}^{2}}-m-2}=\frac{-1}{3m+2}.$
Kết luận:
+ Với $m=-\frac{2}{3}$: Phương trình vô nghiệm.
+ Với $m=1$: Phương trình nghiệm đúng với mọi $x.$
+ Với $m≠-\frac{2}{3}$ và $m≠1$: Phương trình có nghiệm $x=\frac{-1}{3m+2}.$

Bài toán 2.
a) Điều kiện xác định: $a ≠ 0$, $b ≠ 0.$
Ta có: Phương trình $ \Leftrightarrow b\left( {x + a – b} \right) – a\left( {x + b – a} \right)$ $ = {b^2} – {a^2}$ $ \Leftrightarrow bx + ab – {b^2} – {\rm{ax}} – ab + {a^2}$ $ = {b^2} – {a^2}$ $ \Leftrightarrow \left( {b – a} \right)x$ $ = 2\left( {b – a} \right)\left( {b + a} \right).$
+ Nếu $b – a ≠ 0$ $\Rightarrow b\ne a$ thì $x=\frac{2\left( b-a \right)\left( b+a \right)}{b-a}=$ $2\left( b+a \right).$
+ Nếu $b – a = 0$ $\Rightarrow b=a$ thì phương trình có vô số nghiệm.
Kết luận:
+ Với $b ≠ a$, phương trình có nghiệm duy nhất $x = 2(b + a).$
+ Với $b = a$, phương trình có vô số nghiệm.
b) Điều kiện xác định: $x\ne \pm 1.$
$ \Leftrightarrow \left( {ax – 1} \right)\left( {x + 1} \right) + 2\left( {x – 1} \right)$ $ = a\left( {{x^2} + 1} \right)$ $ \Leftrightarrow a{x^2} + ax – x – 1 + 2x – 2$ $ = a{x^2} + a$ $ \Leftrightarrow \left( {a + 1} \right)x = a + 3.$
+ Nếu $a+1\ne 0$ $\Rightarrow a\ne -1$ thì $x=\frac{a+3}{a+1}.$
+ Nếu $a+1=0$ $\Rightarrow a=-1$ thì phương trình vô nghiệm.
Kết luận:
+ Với $a\ne -1$ và $a\ne -2$ thì phương trình có nghiệm duy nhất $x=\frac{a+3}{a+1}.$
+ Với $a=-1$ hoặc $a=-2$ thì phương trình vô nghiệm.

Xem thêm :  3 cách làm trứng hấp đầy bổ dưỡng cho gia đình

Bài toán 3.
a) Ta có $({{m}^{2}}-m)x=2x+{{m}^{2}}-1$ $\Leftrightarrow ({{m}^{2}}-m-2)x={{m}^{2}}-1.$
Phương trình vô nghiệm $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a=0 \\
b\ne 0 \\
\end{matrix} \right.$ hay $\left\{ \begin{matrix}
{{m}^{2}}-m-2=0 \\
{{m}^{2}}-1\ne 0 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow m=2.$
Vậy với $m=2$ thì phương trình vô nghiệm.
b) Ta có: Phương trình $\Leftrightarrow \left( {{m}^{2}}-1 \right)x={{m}^{3}}-3m+2.$
Phương trình vô nghiệm $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a=0 \\
b\ne 0 \\
\end{matrix} \right.$ hay $\left\{ \begin{matrix}
{{m}^{2}}-1=0 \\
{{m}^{3}}-3m+2\ne 0 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow m=-1.$
Vậy với $m=-1$ thì phương trình vô nghiệm.

Bài toán 4.
a) Ta có $a\left( bx-a+2 \right)=\left( a+b-1 \right)x+1$ $\Leftrightarrow \left( ab-a-b+1 \right)x={{a}^{2}}-2a+1$ $\Leftrightarrow \left( a-1 \right)\left( b-1 \right)x={{\left( a-1 \right)}^{2}}.$
Phương trình có nghiệm $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
\left( a-1 \right)\left( b-1 \right)\ne 0 \\
\left\{ \begin{matrix}
\left( a-1 \right)\left( b-1 \right)=0 \\
{{\left( a-1 \right)}^{2}}=0 \\
\end{matrix} \right. \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
\left\{ \begin{matrix}
a\ne 1 \\
b\ne 1 \\
\end{matrix} \right. \\
a=1 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow a\ne 1.$
Vậy $a\ne 1$ là điều kiện cần tìm.
b) Phương trình tương đương với: $b\left( 2x-a \right)-a{{b}^{2}}=a\left( 2x-b \right)-{{a}^{2}}b$ $\Leftrightarrow 2\left( a-b \right)x=ab\left( a-b \right).$
Phương trình có nghiệm $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
a-b\ne 0 \\
\left\{ \begin{matrix}
a-b=0 \\
ab\left( a-b \right)=0 \\
\end{matrix} \right. \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
a\ne b \\
a=b \\
\end{matrix} \right.$ đúng với mọi $a,b.$
Vậy với mọi $a,b$ khác $0$ thì phương trình có nghiệm.


Phương trình bậc nhất một ẩn và cách giải – Bài 2 – Toán học 8 – Cô Phạm Thị Huệ Chi (DỄ HIỂU NHẤT)


? Đăng ký khóa học của thầy cô VietJack giá từ 250k tại: https://bit.ly/30CPP9X.
?Tải app VietJack để xem các bài giảng khác của thầy cô. Link tải: https://vietjack.onelink.me/hJSB/30701ef0
☎️ Hotline hỗ trợ: 084 283 4585
Toán học 8 Bài 2 Phương trình bậc nhất một ẩn và cách giải
Phương trình bậc nhất một ẩn và cách giải là một trong những bài học hay trong chương trình Toán học 8. Qua đó, các em có nền tảng kiến thức tốt để giải nhanh các dạng bài tập liên quan. Video này, cô cũng sẽ giải tất cả các bài tập của bài học này trong sách. Chú ý theo dõi bài học cùng cô nhé!
Đăng kí mua khóa học của VietJack tại: https://m.me/hoc.cung.vietjack
Học trực tuyến tại: https://khoahoc.vietjack.com/
Fanpage: https://www.facebook.com/hoc.cung.vietjack/
vietjack, toan8, bai2
▶ Danh sách các bài học môn Toán học 8 Cô Phạm Thị Huệ Chi :
https://www.youtube.com/playlist?list=PL5q2T2FxzK7VpKsoANTSYW5lsHH5j8wEo
▶ Danh sách các bài học môn Ngữ văn 8 Cô Lan Anh:
https://www.youtube.com/playlist?list=PL5q2T2FxzK7VOVyAP1mkNnbprT5u56lcT
▶ Danh sách các bài học môn Tiếng anh 8 Cô Giang Ly:
https://www.youtube.com/playlist?list=PL5q2T2FxzK7V9IfdRJFZieNOSym2Tpg3C
▶ Danh sách các bài học môn Toán học 8 Cô Vương Thị Hạnh:
https://www.youtube.com/playlist?list=PL5q2T2FxzK7VrxEM_uz4qNx4ekYsAsRt9

Xem thêm bài viết thuộc chuyên mục: Giáo Dục

Related Articles

Back to top button