Giáo Dục

Giáo án toán 11 – phương trình lượng giác cơ bản

Ngày đăng: 24/10/2013, 00:15

TRÌNH LƯNG GIÁC BẢN =+ π ⎡ =⇔ ⎢ =π− + π ⎣ uvk2 sin u sin v uvk2 cos u cos v u v k2 =⇔=±+π π ⎧ ≠+π ⎪ =⇔ ⎨ ⎪ =+ π ⎩ uk tgu tgv 2 uvk’ ( ) k, k ‘ Z∈ uk cot gu cot gv uvk’ ≠π ⎧ =⇔ ⎨ =+ π ⎩ Đặc biệt : si n u 0 u k =⇔=π π = ⇔=+πco s u 0 u k 2 ( sin u 1 u k2 k Z 2 π =⇔= + π ∈ ) cos u 1 u k2 = ⇔= π () kZ∈ sin u 1 u k2 2 π =− ⇔ =− + π cos u 1 u k2 = −⇔ =π+ π Chú ý : sin u 0 cos u 1 ≠⇔ ≠± cos u 0 sin u 1 ≠⇔ ≠± Bài 28 : (Đề thi tuyển sinh Đại học khối D, năm 2002) [ ] x0,14∈ nghiệm đúng phương trình Tìm ( ) cos 3x 4 cos 2x 3 cos x 4 0 *−+−= Ta (*) : ⇔ ()( ) 32 4 cos x 3cos x 4 2 cos x 1 3cos x 4 0 − −−+−= ⇔ 32 4cos x 8cos x 0 − = ⇔ ( ) 2 4cos x cosx 2 0− = ⇔ ( ) ==cosx 0hay cosx 2 loại vìcosx 1≤ ⇔ () xkk 2 π =+π∈Z Ta : [] x0,14 0 k 1 2 4 π ∈⇔≤+π≤ ⇔ k14 22 ππ −≤π≤ − ⇔ 1141 0, 5 k 3, 9 22 −=−≤≤−≈ π Mà k nên Z∈ { } k . Do đó : 0,1,2,3∈ 357 x ,,, 2222 π πππ ⎧ ⎫ ∈ ⎨ ⎬ ⎩⎭ Bài 29 : (Đề thi tuyển sinh Đại học khối D, năm 2004) Giải phương trình : ()( ) ( ) 2cos x 1 2sin x cos x sin 2x sin x *−+=− Ta (*) ⇔ ()( ) ( ) −+=2cos x 1 2sin x cos x sin x 2 cos x 1− ⇔ ()( ) 2cos x 1 2sin x cos x sin x 0 − +− ⎡⎤ ⎣⎦ = ) ⇔ ()( 2cosx 1 sinx cosx 0− += ⇔ 1 cos x sin x cos x 2 =∨ =− ⇔ cos x cos tgx 1 tg 34 ππ ⎛⎞ =∨=−=− ⎜⎟ ⎝⎠ ⇔ () ππ =± + π∨ =− + π ∈xk2xk,k 34 Z Bài 30 : Giải phương trình + ++= cos x cos 2x cos 3x cos 4x 0(*) Ta (*) ⇔ ()( ) cos x cos 4x cos 2x cos 3x 0+++= ⇔ 5x 3x 5x x 2cos .cos 2cos .cos 0 22 22 += ⇔ 5x 3x x 2cos cos cos 0 22 2 ⎛⎞ += ⎜⎟ ⎝⎠ ⇔ 5x x 4 cos cos x cos 0 22 = ⇔ 5x x cos 0 cos x 0 cos 0 22 = ∨=∨ = ⇔ ππ π =+π∨=+π∨=+π 5x x kx k k 22 2 22 ⇔ () ππ π =+ ∨=+π∨=π+π ∈ 2k xxkx2, 55 2 kZ Bài 31: Giải phương trình ( ) 22 2 2 sin x sin 3x cos 2x cos 4x *+=+ Ta (*) ⇔ ()()()() 1111 1 cos 2x 1 cos 6x 1 cos4x 1 cos 8x 2222 −+−=+++ ⇔ () cos2x cos6x cos4x cos8x−+ =+ ⇔ 2cos 4x cos 2x 2 cos6x cos 2x −= ⇔ ( ) 2cos2x cos 6x cos4x 0+= ⇔ 4 cos 2x cos5x cos x 0 = ⇔ cos 2x 0 cos 5x 0 cos x 0 = ∨=∨= ⇔ ππ π =+π∨ +π∨=+π∈ 2x k 5x k x k , k 22 2 ⇔ ππ π π π =+ ∨= + ∨=+πk kk xx x 42 105 2 ∈ ,k Bài 32 : Cho phương trình () π ⎛⎞ −= −− ⎜⎟ ⎝⎠ 22 x7 sin x.cos 4x sin 2x 4 sin * 42 2 Tìm các : (*) ⇔ () 17 sin x.cos4x 1 cos4x 2 1 cos x 22 ⎡π⎤ ⎛⎞ 2 − −=−− ⎜⎟ ⎢⎥ ⎝⎠ ⎣⎦ − ⇔ −+ =−− 11 3 sin x cos 4x cos 4x 2 sin x 22 2 ⇔ 1 sin x cos 4x cos 4x 1 2sin x 0 2 +++= ⇔ ⎛⎞⎛⎞ ++ += ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠ 11 cos 4x sin x 2 sin x 0 22 ⇔ () 1 cos 4x 2 sin x 0 2 ⎛⎞ + += ⎜⎟ ⎝⎠ ⇔ () cos 4x 2 loại 1 sin x sin 26 =−⎡ ⎢ π ⎛ ⎢ =− = − ⎜⎟ ⎢ ⎝⎠ ⎣ ⎞ ⇔ π ⎡ = −+ π ⎢ ⎢ π ⎢ = +π ⎢ ⎣ xk 6 7 x2 6 2 h Ta : − 1 sin x x ( 1) k , k 26 Vậy : −π − − −<− +π< ⇔ <− + < π π kk 21 2(1) k 4 (1) k 66 4 ⇔ k=0 và k = 1. Tương ứng với −ππ == 7 xhayx 66 Bài 33 : Giải phương trình ( ) 33 3 sin x cos 3x cos x sin 3x sin 4x *+= Ta : (*) ⇔ ()( ) 33 3 3 3 sin x 4 cos x 3 cos x cos x 3sin x 4 sin x sin 4x−+ − = ⇔ 33 3 3 33 3 4 sin x cos x 3sin x cos x 3sin x cos x 4 sin x cos x sin 4x −+− = ⇔ () 22 3 3sin x cos x cos x sin x sin 4x−= ⇔ 3 3 sin 2x cos 2x sin 4x 2 = ⇔ 3 3 sin 4x sin 4x 4 = ⇔ 3 3sin 4x 4 sin 4x 0 − = ⇔ sin12x = 0 ⇔ ⇔ 12x k =π () k xk 12 Z π =∈ Bài 34 : (Đề thi tuyển sinh Đại học khối B, năm 2002) Giải phương trình : ( ) 22 22 sin 3x cos 4x sin 5x cos 6a *−=− Ta : (*) ⇔ ()()()() 11 1 1 1 cos 6x 1 cos 8x 1 cos10x 1 cos12x 22 2 2 −−+=− −+ ⇔ cos 6x cos 8x cos10x cos12x += + ⇔ 2cos7xcosx 2cos11xcosx = ⇔ ( ) 2cos x cos7x cos11x 0−= ⇔ cos x 0 cos7x cos11x =∨ = ⇔ π =+π∨ =± + πxk7x11xk 2 2 ⇔ πππ =+π∨=− ∨= ∈  kk xkx x,k 229 Bài 35 : Giải phương trình ()() sin x sin 3x sin 2x cos x cos 3x cos 2x++=++ ⇔ 2sin 2x cos x sin 2x 2cos2x cos x cos 2x += + ⇔ ()( ) += +sin 2x 2 cos x 1 cos 2x 2 cos x 1 ⇔ ()( ) 2cos x 1 sin 2x cos 2x 0+ −= ⇔ 12 cos x cos sin 2x cos 2x 23 π =− = ∨ = ⇔ 2 xk2tg2x1 34 tg π π =± + π∨ = = ⇔ () π ππ =± + π∨ = + ∈ 2 xk2xk,k 382 Z Bài 36: Giải phương trình ( ) ++ =+ 23 cos10x 2 cos 4x 6 cos 3x. cos x cos x 8 cos x.cos 3x * Ta : (*) ⇔ ( ) ( ) 3 cos10x 1 cos 8x cos x 2cos x 4 cos 3x 3cos 3x++ = + − ⇔ () cos10x cos 8x 1 cos x 2 cos x.cos 9x++=+ ⇔ 2cos9x cos x 1 cos x 2 cos x.cos 9x += + ⇔ cos x 1 = ⇔ ( ) xk2kZ=π∈ Bài 37 : Giải phương trình ( ) 33 2 4 sin x 3cos x 3sin x sin x cos x 0 *+−− = Ta : (*) ⇔ ()( ) 22 sin x 4 sin x 3 cos x sin x 3cos x 0 2 − −−= ⇔ () ( ) ⎡⎤ −− − − = ⎣⎦ 22 sin x 4 sin x 3 cos x sin x 3 1 sin x 0 2 = = ⇔ () () 2 4sin x 3 sinx cosx 0−− ⇔ ()( ) 2 1 cos 2x 3 sin x cos x 0 −− − ⎡⎤ ⎣⎦ ⇔ 12 cos 2x cos 23 sin x cos x π ⎡ =− = ⎢ ⎢ = ⎣ ⇔ 2 2x k2 3 tgx 1 π ⎡ =± + π ⎢ ⎢ = ⎣ ⇔ xk 3 xk 4 π ⎡ = ±+π ⎢ ⎢ π ⎢ = +π ⎢ ⎣ ( ) kZ∈ Bài 38 : (Đề thi tuyển sinh Đại học khối B năm 2005) Giải phương trình : ( ) sin x cos x 1 sin 2x cos 2x 0 *+++ + = Ta : (*) ⇔ 2 sin x cos x 2sin x cos x 2 cos x 0 ++ + = ⇔ ( ) sin x cos x 2 cos x sin x cos x 0++ + = ⇔ ()( sin x cos x 1 2cos x 0++ ) = ⇔ sin x cos x 12 cos 2x cos 23 =− ⎡ ⎢ π ⎢ =− = ⎣ ⇔ tgx 1 2 xk 3 =− ⎡ ⎢ π ⎢ =± + π ⎣ 2 ⇔ xk 4 2 xk2 3 π ⎡ =− + π ⎢ ⎢ π ⎢ =± + π ⎢ ⎣ () kZ∈ Bài 39 : Giải phương trình ()( ) ( ) 2 2sinx 1 3cos4x 2sinx 4 4cos x 3 *++−+= Ta : (*) ⇔ ()( ) ( ) 2 2sinx 1 3cos4x 2sinx 4 4 1 sin x 3 0 ++−+−−= ⇔ ()( )( )( ) 2sinx 1 3cos4x 2sinx 4 1 2sinx 1 2sinx 0+ +−++ − = ⇔ () ( ) 2sinx 1 3cos4x 2sinx 4 1 2sinx 0+ +−+− ⎡⎤ ⎣⎦ = = ⇔ ()() 3cos4x 1 2sinx 1 0−+ ⇔ 1 cos 4x 1 sin x sin 26 π ⎛⎞ =∨ =− = − ⎜⎟ ⎝⎠ ⇔ ππ =π∨=−+π∨= + 7 4x k2 x k2 x k2 66 π ⇔ () ππ π = ∨=−+π∨= +π ∈ k7 xxk2xk2,k 26 6 Z Bài 40: Giải phương trình () ( ) += + 66 88 sin x cos x 2 sin x cos x * Ta : (*) ⇔ 6868 sin x 2sin x cos x 2 cos x 0 −+−= ⇔ ()( ) 6262 sin x 1 2 sin x cos x 2 cos x 1 0 −− −= ⇔ −= 66 sin x cos 2x cos x.cos 2x 0 ⇔ () 66 cos 2x sin x cos x 0 −= ⇔ 66 cos 2x 0 sin x cos x =∨ = ⇔ 6 cos 2x 0 tg x 1 = ∨= ⇔ () 2x 2k 1 tgx 1 2 π =+∨=± ⇔ () x2k1 x k 44 ππ =+∨=±+π ⇔ k x 42 ππ =+ ,k ∈  Bài 41 : Giải phương trình () 1 cosx.cos2x.cos4x.cos8x * 16 = Ta thấy xk = π không là nghiệm của (*) vì lúc đó cos x 1, cos 2x cos 4x cos 8x 1 =± = = = (*) thành : 1 1 16 ±= vô nghiệm Nhân 2 vế của (*) cho 16sin x 0 ≠ ta được (*) ⇔ và () 16sinxcosx cos2x.cos4x.cos8x sinx= sin x 0 ≠ ⇔ và () 8sin 2x cos2x cos 4x.cos 8x sin x= sin x 0 ≠ ⇔ và si () 4sin4xcos4x cos8x sinx= n x 0 ≠ ⇔ và 2sin8xcos8x sinx = sin x 0 ≠ ⇔ sin16x sin x = và sin x 0 ≠ ⇔ () πππ =∨=+ ∈ k2 k xx ,k 15 17 17 Z Do : không là nghiệm nên =π xh ≠ k 15m và () +≠ ∈2k 1 17n n, m Z Bài 42: Giải phương trình () 3 8cos x cos 3x * 3 π += ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ Đặt tx xt 33 ππ =+⇔=− Thì ()( ) cos 3x cos 3t cos 3t cos 3t=−π=π−=− Vậy (*) thành =− 3 8cos t cos3t ⇔ 33 8cos t 4cos t 3cost =− + ⇔ 3 12 cos t 3 cos t 0 − = ⇔ () 2 3cost 4cos t 1 0−= ⇔ () 3 cos t 2 1 cos 2t 1 0 +− ⎡⎤ ⎣⎦ = ⇔ () cos t 2 cos 2t 1 0+= ⇔ 12 cos t 0 cos 2t cos 23 π =∨ =−= ⇔ () ππ =+∨=±+ 2 t2k1 2t k2 23 π ⇔ ππ =+π∨=±+πtkt 23 k Mà xt 3 π =− Vậy (*) ⇔ () ππ =+ π∨=π∨= +π ∈ 2 xk2xkx k,vớik 63 Z Ghi chú : Khi ẩn ở mẫu, hay chứa căn bậc chẵn . ta phải đặt điều kiện để phương trình xác đònh. Ta sẽ dùng các cách sau đây để kiểm tra điều kiện xem nhận nghiệm hay không. + Thay các giá trò x tìm được vào điều kiện thử lại xem thỏa Hoặc + Biểu diễn các ngọn cung điều kiện và các ngọn cung tìm được trên cùng một đường tròn lượng giác. Ta sẽ loại bỏ ngọn cung của nghiệm khi trùng với ngọn cung của điều kiện. Hoặc + So vơi các điều kiện trong quá trình giải phương trình. Bài 43 : Giải phương trình ( ) 2 tg x tgx.tg3x 2 *−= Điều kiện 3 cos x 0 cos 3x 4 cos x 3 cos x 0 ≠ ⎧ ⎨ =−≠ ⎩ ππ ⇔≠⇔≠+ h cos3x 0 x 63 Lúc đó ta (*) ⇔ () tgx tgx tg3x 2− = ⇔ sin x sin x sin 3x 2 cos x cos x cos 3x ⎛⎞ −= ⎜⎟ ⎝⎠ ⇔ () 2 sin x sin x cos 3x cos x sin 3x 2 cos x cos 3x−= ⇔ ( ) 2 sin x sin 2x 2 cos x. cos 3x−= ⇔ 22 2sin xcosx 2cos xcos3x −= ⇔ (do cos 2 sin x cos x cos 3x −= x 0 ≠ ) ⇔ ()() 11 1cos2x cos4xcos2x 22 −− = + ⇔ cos 4x 1 4x k2 = −⇔ =π+ π ⇔ () k xk 42 ππ =+ ∈Z so với điều kiện Cách 1 : Khi k x 42 π =+ π thì () 33k 2 cos 3x cos 0 nhận 42 2 ππ ⎛⎞ =+=±≠ ⎜⎟ ⎝⎠ Cách 2 : Biểu diễn các ngọn cung điều kiện và ngọn cung nghiệm ta thấy không ngọn cung nào trùng nhau. Do đó : (*) ⇔ k x 42 π π =+ Lưu ý cách 2 rất mất thời gian Cách 3 : Nếu π ππ =+ =+ 33k 3x h 422 π h6k Thì +=+ 36k 24h ⇔ 14 =− ⇔ =− 1 2h 3k 2 (vô lý vì ∈ k, h Z ) Bài 44: Giải phương trình () 222 11 tg x cot g x cot g 2x * 3 ++ = Điều kiện cos x 0 sin x 0 sin 2x 0 sin 2x 0 ≠ ⎧ ⎪ ≠⇔ ≠ ⎨ ⎪ ≠ ⎩ Do đó : (*) ⇔ 222 11 1 11 1 cos x sin x sin 2x 3 ⎛⎞⎛⎞⎛ ⎞ −+ −+ −= ⎜⎟⎜⎟⎜ ⎟ ⎝⎠⎝⎠⎝ ⎠ 11 ⇔ 22 22 11 1 cos x sin x 4 sin x cos x 3 ++ = 20 ⇔ 22 22 4sin x 4cos x 1 20 4sin xcos x 3 ++ = ⇔ 2 52 sin 2x 3 = 0 ⇔ 2 3 sin 2x 4 = (nhận do sin2x 0 ≠ ) ⇔ () 13 1cos4x 24 −= ⇔ 12 cos 4x cos 23 π =− = ⇔ 2 4x k2 3 π =± + π ⇔ () k xk 62 ππ =± + ∈Z Chú ý : thể dễ dàng chứng minh : 2 tgx cot gx sin 2x += Vậy (*) ⇔ () 2 2 11 tgx cot gx 2 1 sin x 3 ⎛⎞ +−+−= ⎜⎟ ⎝⎠ 1 ⇔ 2 52 sin 2x 3 = 0 Bài 45 : (Đề thi tuyển sinh Đại học khối D, năm 2003) Giải phương trình () 222 xx sin tg x cos 0 * 24 2 π ⎛⎞ −−= ⎜⎟ ⎝⎠ Điều kiện : cos x 0 sin x 1 ≠⇔ ≠± lúc đó : (*) ⇔ [] 2 2 1sinx1 1cosx 1cosx 0 22cosx2 ⎡π⎤ ⎛⎞ − −−+ ⎜⎟ ⎢⎥ ⎝⎠ ⎣⎦ = ⇔ () () () 2 2 1sinx1cosx 1cosx 0 1sinx −− − += − ⇔ () 2 1cosx 1cosx 0 1sinx − −+ = + ⇔ () 1cosx 1cosx 1 0 1sinx − ⎡⎤ +− ⎢⎥ + ⎣⎦ = = ⇔ ()( ) 1 cos x cos x sin x 0+−− ⇔ () cosx 1 nhậndocosx 0 tgx 1 =− ≠ ⎡ ⎢ =− ⎣ ⇔ =π+ π ⎡ ⎢ π ⎢ =− + π ⎣ xk2 xk 4 Bài 46 : Giải phương trình ()( ) 2 sin 2x cot gx tg2x 4 cos x *+= Điều kiện : ⇔ sin x 0 cos 2x 0 ≠ ⎧ ⎨ ≠ ⎩ 2 sin x 0 2cos x 1 0 ≠ ⎧ ⎨ − ≠ ⎩ ⇔ cos x 1 2 cos x 2 ≠± ⎧ ⎪ ⎨ ≠± ⎪ ⎩ Ta : cos x sin 2x cot gx tg2x sin x cos 2x += + cos 2x cos x sin 2x sin x sin x cos 2x + = cos x sin x cos 2x = Lúc đó : (*) ⎛⎞ ⇔= ⎜⎟ ⎝⎠ 2 cos x 2sinxcosx 4cos x sin x cos 2x ⇔ 2 2 2cos x 4cos x cos 2x = ( ) Do sin x 0≠ ⇔ cos x 0 1 2 cos 2x = ⎡ ⎢ ⎢ = ⎣ ⇔ () ⎡ ⎛⎞ = ≠≠± ⎢ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎢ ⎝⎠ ⎢ π ⎢ == ≠ ⎣ 2 cosx 0 Nhậndocosx và 1 2 1 cos 2x cos , nhận do sin x 0 23 ⇔ π ⎡ =+π ⎢ ⎢ π ⎢ =± + π ⎢ ⎣ xk 2 xk 6 () ∈kZ Bài 47 : Giải phương trình: () 22 cot g x tg x 16 1 cos 4x cos 2x − =+ Ta : 22 22 22 cos x sin x cot g x tg x sin x cos x −= − 44 22 2 cos x sin x 4 cos 2x sin x cos x sin 2x − == Điều kiện : ⇔ si sin 2x 0 cos 2x 0 ≠ ⎧ ⎨ ≠ ⎩ n 4x 0 ≠ Lúc đó (*) () 2 4 16 1 cos 4x sin 2x ⇔=+ () ()() () () () ⇔= + ⇔= + − ⇔= − = ⇔ =≠ ⇔− = ππ ⇔=⇔=+∈  2 22 2 141cos4xsin2x 1 2 1 cos 4x 1 cos 4x 121cos4x 2sin4x 1 sin 4x nhận do sin 4x 0 2 11 1cos8x 22 k cos 8x 0 x , k 16 8 Bài 48 : Giải phương trình: () 44 7 sin x cos x cot g x cot g x * 836 ππ ⎛⎞⎛⎞ += + − ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠ Điều kiện sin x 0 sin x 0 33 2 sin 2x 0 3 sin x 0 cos x 0 63 ⎧⎧ ππ ⎛⎞ ⎛⎞ +≠ +≠ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎪⎪ π ⎪⎝ ⎠ ⎪⎝ ⎠ ⎛⎞ ⇔⇔+ ⎨⎨ ⎜⎟ ππ ⎝⎠ ⎛⎞ ⎛⎞ ⎪⎪ −≠ + ≠ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎪⎪ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎩⎩ ≠ […]… 2x ≠ 0 ∧ sin 3x ≠ 0 Lúc đó (*) ⇔ cotg3x ( tg 2 x cot g 2 2x − 1) = tg 2 x − cot g 2 2x ⎡⎛ 1 − cos 2x ⎞ ⎛ 1 + cos 4x ⎞ ⎤ 1 − cos 2x 1 + cos 4x ⇔ cot g3x ⎢⎜ − ⎟⎜ ⎟ − 1 = ⎣⎝ 1 + cos 2x ⎠ ⎝ 1 − cos 4x ⎠ ⎦ 1 + cos 2x 1 − cos 4x ⇔ cot g3x ⎡ (1 − cos 2x ) (1 + cos 4x ) − (1 + cos 2x ) (1 − cos 4x ) ⎤ ⎣ ⎦ = (1 − cos 2x ) (1 − cos 4x ) − (1 + cos 4x ) (1 + cos 2x ) ⇔ cot g3x [ 2 cos 4x − 2 cos 2x ] = −2 ( cos 4x… (*)⇔ 4 (1 − sin x ) 1 − sin 2 x 2 1 − sin 2 x ⇔ (1 + cos2 x ) (1 + sin x ) − 2 sin 3 x = (1 + sin x ) (1 − sin 2 x ) + 2 sin 2 x ⇔ (1 + sinx ) (1 + cos2 x ) = (1 + sin x ) cos2 x + 2 sin 2 x (1 + sin x ) 1 + sin x = 0 ⇔ ⎢ 2 2 2 1 + cos x = cos x + 2 sin x ⎡sin x = 1 ( loại do cos x ≠ 0 ) ⇔ ⎢ ⇔ cos2x = 0 1 = 1 − cos 2x π ⇔ 2x = + kπ 2 π π ⇔ x = + k (nhậ n do cosx ≠ 0) 4 2 Bà i 53 : Giả i phương trình. .. x + 1) − 2 (1 + cos x ) = 0 (1 − cos x ) 3 − 2 = 0 ( do sin x ≠ 0 nên cos x + 1 ≠ 0) 1 − cos x ⇔ 1 + 2 cos x = 0 1 ⇔ cos x = − (nhậ n so vớ i điề u kiệ n ) 2 2π + k2π, k ∈ ⇔ x=± 3 Bà i 52 : Giả i 1 1 + sin x + tg 2 x * ( ) ( ) 4 (1 − sin x ) 2 ⇔ ⎧cos x ≠ 0 Điề u kiệ n : ⎨ ⇔ cos x ≠ 0 ⎩sin x ≠ 1 2 (1 + cos2 x ) sin 3 x 1 sin 2 x − = (1 +… 1 = 2 4 4 cos4 x x ⎛ ⎞ y/ tgx + cos x − cos2 x = sin x ⎜ 1 + tg tgx ⎟ 2 ⎝ ⎠ Cho phương trình: ( 2 sin x − 1) ( 2 cos 2x + 2 sin x + m ) = 3 − 4 cos2 x (1) a/ Giả i phương trình khi m = 1 b/ Tìm m để (1) đú n g 2 nghiệ m trê n [ 0, π ] 5 ( ĐS: m = 0 ∨ m < 1 ∨ m > 3 ) Cho phương trình: 4 cos5 x sin x − 4 sin5 x.cos x = sin2 4x + m (1) Biế t rằ n g x = π là mộ t nghiệ m củ a (1) Hã y giả i phương trình. .. + cos2 x ) − 2 sin 2 x cos2 x 2 =1 1 sin2 2x 2 sin x cos 2x + cos x sin 2x sin 2x sin x + cos x cos 2x = cos x sin 2x cos ( 2x − x ) 1 = = cos x sin 2x sin 2x 1 1 − sin 2 2x 1 2 Do đó : (*) ⇔ = sin 2x 2 sin 2x 1 11 − sin 2 2x = 2 2 2 ⇔ sin 2x = 1 ( nhận do sin 2x ≠ 0 ) tgx + cot g2x = ⇔ cos2 2x = 0 π + kπ, k ∈ 2 π kπ , k ∈ ⇔x = + 4 2 ⇔ 2x = Bà i 55 : Giả i phương trình tg 2 x.cot g 2 2x.cot g3x.. .1 3 ⇔ − sin 2x + cos 2x ≠ 0 2 2 ⇔ tg2x ≠ 3 ( Ta : sin4 x + cos4 x = sin2 x + cos2 x ) 2 − 2sin2 x.cos2 x = 11 sin2 2x 2 π⎞ π⎞ ⎛π ⎛ ⎛π ⎞ ⎛ ⎞ Và : cot g ⎜ x + ⎟ cot g ⎜ − x ⎟ = cot g ⎜ x + ⎟ tg ⎜ + x ⎟ = 1 3⎠ 3⎠ ⎝3 ⎝ ⎝6 ⎠ ⎝ ⎠ 1 7 Lú c đó : (*) ⇔ 1 − sin2 2x = 2 8 1 1 ⇔ − (1 − cos 4x ) = − 4 8 1 ⇔ cos 4x = 2 π π kπ ⇔ 4x = ± + k2π ⇔ x = ± + 3 12 2 3 (nhậ n do tg2x = ± ≠… 7x.cos 5x 1 1 ⇔ [sin 8x + sin 2x ] = [sin12x + sin 2x ] 2 2 ⇔ sin 8x = sin12x ⇔ 12 x = 8x + k2π ∨ 12 x = π − 8x + k2π kπ π kπ ∨ x= + ⇔x = 2 20 10 So lạ i vớ i điề u kiệ n kπ 5kπ kπ x= thì cos 5x = cos = cos (loạ i nế u k lẻ ) 2 2 2 kπ π ⎛ π kπ ⎞ x= thì cos 5x = cos ⎜ + + ⎟ ≠ 0 nhận 2 ⎠ 20 10 ⎝4 π kπ + Do đó : (*)⇔ x = hπ ∨ x = , vớ i k, h ∈ 20 10 Bà i 54 : Giả i phương trình sin4 x + cos4 x 1 = ( tgx… tg2x = ± ≠ 3) 3 Bà i 49: Giả i phương trình 2tgx + cot g2x = 2 sin 2x + 1 ( *) sin 2x ⎧cos 2x ≠ 0 Điề u kiệ n : ⎨ ⇔ sin 2x ≠ 0 ⇔ cos 2x ≠ 1 ⎩sin 2x ≠ 0 2 sin x cos 2x 1 + = 2 sin 2x + Lú c đó : (*) ⇔ cos x sin 2x sin 2x 2 2 ⇔ 4 sin x + cos 2x = 2 sin 2x + 1 ( ) ⇔ 4 sin2 x + 1 − 2 sin 2 x = 8 sin2 x cos2 x + 1 ( ) ⇔ 2 sin2 x 1 − 4 cos2 x = 0 ⇔ 2 sin2 x 1 − 2 (1 + cos 2x ) ⎤ = 0 ⎣ ⎦ ⎡sin x = 0 ( loại… tg 2 x cot g 2 2x − 1) = tg 2 x − cot g 2 2x tg 2 x − cot g 2 2x tg 2 2x.tg 2 x − 1 = tg 2 x cot g 2 2x − 1 tg 2 x − tg 2 2x (1 + tg2x.tgx ) (1 − tg2x.tgx ) ⇔ cot g3x = (tg2x − tgx) ( tg2x + tgx) ⇔ cot g3x = cot gx cotg3x ⇔ cos 3x = 0 ∨ sin x = cos x ⇔ cot g3x = BÀI TẬP 1 2 3 ⎛π ⎞ Tìm cá c nghiệ m trê n ⎜ , 3π ⎟ củ a phương trình: ⎝3 ⎠ 5π ⎞ 7π ⎞ ⎛ ⎛ sin ⎜ 2x + ⎟ − 3 cos ⎜ x − ⎟ = 1 + 2 sin x 2 ⎠ 2 ⎠… x 2 ⎠ 2 ⎠ ⎝ ⎝ ⎛ π⎞ Tìm cá c nghiệ m x trê n ⎜ 0, ⎟ củ a phương trình ⎝ 2⎠ 2 2 sin 4x − cos 6x = sin (10 , 5π + 10 x ) Giả i cá c phương trình sau: a/ sin 3 x + cos3 x = 2 sin5 x + cos5 x ( ) sin x + sin 2x + sin 3x = 3 cos x + cos 2x + cos 3x 1 + cos x c/ tg 2 x = 1 − sin x d/ tg2x − tg3x − tg5x = tg2x.tg3x.tg5x 4 e/ cos x = cos2 x 3 π⎞ 1 1 ⎛ + f/ 2 2 sin ⎜ x + ⎟ = 4 ⎠ sin x cos x ⎝ 2 i/ 2tgx + cot g2x . ()()()() 11 1 1 1 cos 6x 1 cos 8x 1 cos10x 1 cos12x 22 2 2 −−+=− −+ ⇔ cos 6x cos 8x cos10x cos12x += + ⇔ 2cos7xcosx 2cos11xcosx = ⇔ ( ) 2cos x cos7x cos11x 0−=. ⇔ 222 11 1 11 1 cos x sin x sin 2x 3 ⎛⎞⎛⎞⎛ ⎞ −+ −+ −= ⎜⎟⎜⎟⎜ ⎟ ⎝⎠⎝⎠⎝ ⎠ 11 ⇔ 22 22 11 1 cos x sin x 4 sin x cos x 3 ++ = 20 ⇔ 22 22 4sin x 4cos x 1 20 4sin

Xem thêm :  Các phương pháp thuyết minh lớp 8, phương pháp thuyết minh

Chương 2: PHƯƠNGLƯNG=+ π ⎡ =⇔ ⎢ =π− + π ⎣ uvk2 sin u sin v uvk2 cos u cos v u v k2 =⇔=±+π π ⎧ ≠+π ⎪ =⇔ ⎨ ⎪ =+ π ⎩ uk tgu tgv 2 uvk’ ( ) k, k ‘ Z∈ uk cot gu cot gv uvk’ ≠π ⎧ =⇔ ⎨ =+ π ⎩ Đặc biệt : si n u 0 u k =⇔=π π = ⇔=+πco s u 0 u k 2 ( sin uu k2 k Z 2 π =⇔= + π ∈ ) cos uu k2 = ⇔= π () kZ∈ sin uu k2 2 π =− ⇔ =− + π cos uu k2 = −⇔ =π+ π Chú ý : sin u 0 cos u≠⇔ ≠± cos u 0 sin u≠⇔ ≠± Bài 28 : (Đề thi tuyển sinh Đại học khối D, năm 2002) [ ] x0,14∈ nghiệm đúng phươngTìm ( ) cos 3x 4 cos 2x 3 cos x 4 0 *−+−= Ta(*) : ⇔ ()( ) 32 4 cos x 3cos x 4 2 cos x3cos x 4 0 − −−+−= ⇔ 32 4cos x 8cos x 0 − = ⇔ ( ) 2 4cos x cosx 2 0− = ⇔ ( ) ==cosx 0hay cosx 2 loại vìcosx 1≤ ⇔ () xkk 2 π =+π∈Z Ta: [] x0,14 0 k2 4 π ∈⇔≤+π≤ ⇔ k14 22 ππ −≤π≤ − ⇔ 1141 0, 5 k 3, 9 22 −=−≤≤−≈ π Mà k nên Z∈ { } k . Do đó : 0,1,2,3∈ 357 x ,,, 2222 π πππ ⎧ ⎫ ∈ ⎨ ⎬ ⎩⎭ Bài 29 : (Đề thi tuyển sinh Đại học khối D, năm 2004) Giải phương: ()( ) ( ) 2cos x2sin x cos x sin 2x sin x *−+=− Ta(*) ⇔ ()( ) ( ) −+=2cos x2sin x cos x sin x 2 cos x 1− ⇔ ()( ) 2cos x2sin x cos x sin x 0 − +− ⎡⎤ ⎣⎦ = ) ⇔ ()( 2cosxsinx cosx 0− += ⇔cos x sin x cos x 2 =∨ =− ⇔ cos x cos tgxtg 34 ππ ⎛⎞ =∨=−=− ⎜⎟ ⎝⎠ ⇔ () ππ =± + π∨ =− + π ∈xk2xk,k 34 Z Bài 30 : Giải phương+ ++= cos x cos 2x cos 3x cos 4x 0(*) Ta(*) ⇔ ()( ) cos x cos 4x cos 2x cos 3x 0+++= ⇔ 5x 3x 5x x 2cos .cos 2cos .cos 0 22 22 += ⇔ 5x 3x x 2cos cos cos 0 22 2 ⎛⎞ += ⎜⎟ ⎝⎠ ⇔ 5x x 4 cos cos x cos 0 22 = ⇔ 5x x cos 0 cos x 0 cos 0 22 = ∨=∨ = ⇔ ππ π =+π∨=+π∨=+π 5x x kx k k 22 2 22 ⇔ () ππ π =+ ∨=+π∨=π+π ∈ 2k xxkx2, 55 2 kZ Bài 31: Giải phương( ) 22 2 2 sin x sin 3x cos 2x cos 4x *+=+ Ta(*) ⇔ ()()()() 1111cos 2xcos 6xcos4xcos 8x 2222 −+−=+++ ⇔ () cos2x cos6x cos4x cos8x−+ =+ ⇔ 2cos 4x cos 2x 2 cos6x cos 2x −= ⇔ ( ) 2cos2x cos 6x cos4x 0+= ⇔ 4 cos 2x cos5x cos x 0 = ⇔ cos 2x 0 cos 5x 0 cos x 0 = ∨=∨= ⇔ ππ π =+π∨ +π∨=+π∈ 2x k 5x k x k , k 22 2 ⇔ ππ π π π =+ ∨= + ∨=+πk kk xx x 42 105 2 ∈ ,k Bài 32 : Cho phương() π ⎛⎞ −= −− ⎜⎟ ⎝⎠ 22 x7 sin x.cos 4x sin 2x 4 sin * 42 2 Tìm các nghiệm của phương trình thỏa: − giải các phương trình lượng giác có chứa tgu, cotgu,ẩn ở mẫu, hay chứa căn bậc chẵn . ta phải đặt điều kiện để phươngxác đònh. Ta sẽ dùng các cách sau đây để kiểm tra điều kiện xemnhận nghiệm hay không. + Thay các giá trò x tìm được vào điều kiện thử lại xemthỏa Hoặc + Biểu diễn các ngọn cung điều kiện và các ngọn cung tìm được trên cùng một đường tròngiác. Ta sẽ loại bỏ ngọn cung của nghiệm khitrùng với ngọn cung của điều kiện. Hoặc + So vơi các điều kiện trong quágiải phương trình. Bài 43 : Giải phương( ) 2 tg x tgx.tg3x 2 *−= Điều kiện 3 cos x 0 cos 3x 4 cos x 3 cos x 0 ≠ ⎧ ⎨ =−≠ ⎩ ππ ⇔≠⇔≠+ h cos3x 0 x 63 Lúc đó ta(*) ⇔ () tgx tgx tg3x 2− = ⇔ sin x sin x sin 3x 2 cos x cos x cos 3x ⎛⎞ −= ⎜⎟ ⎝⎠ ⇔ () 2 sin x sin x cos 3x cos x sin 3x 2 cos x cos 3x−= ⇔ ( ) 2 sin x sin 2x 2 cos x. cos 3x−= ⇔ 22 2sin xcosx 2cos xcos3x −= ⇔ (do cos 2 sin x cos x cos 3x −= x 0 ≠ ) ⇔ ()() 11 1cos2x cos4xcos2x 22 −− = + ⇔ cos 4x4x k2 = −⇔ =π+ π ⇔ () k xk 42 ππ =+ ∈Z so với điều kiện Cách: Khi k x 42 π =+ π thì () 33k 2 cos 3x cos 0 nhận 42 2 ππ ⎛⎞ =+=±≠ ⎜⎟ ⎝⎠ Cách 2 : Biểu diễn các ngọn cung điều kiện và ngọn cung nghiệm ta thấy khôngngọn cung nào trùng nhau. Do đó : (*) ⇔ k x 42 π π =+ Lưu ý cách 2 rất mất thời gian Cách 3 : Nếu π ππ =+ =+ 33k 3x h 422 π h6k Thì +=+ 36k 24h ⇔ 14 =− ⇔ =−2h 3k 2 (vô lý vì ∈ k, h Z ) Bài 44: Giải phương() 222 11 tg x cot g x cot g 2x * 3 ++ = Điều kiện cos x 0 sin x 0 sin 2x 0 sin 2x 0 ≠ ⎧ ⎪ ≠⇔ ≠ ⎨ ⎪ ≠ ⎩ Do đó : (*) ⇔ 222 1111cos x sin x sin 2x 3 ⎛⎞⎛⎞⎛ ⎞ −+ −+ −= ⎜⎟⎜⎟⎜ ⎟ ⎝⎠⎝⎠⎝ ⎠ 11 ⇔ 22 22 11cos x sin x 4 sin x cos x 3 ++ = 20 ⇔ 22 22 4sin x 4cos x20 4sin xcos x 3 ++ = ⇔ 2 52 sin 2x 3 = 0 ⇔ 2 3 sin 2x 4 = (nhận do sin2x 0 ≠ ) ⇔ () 13 1cos4x 24 −= ⇔ 12 cos 4x cos 23 π =− = ⇔ 2 4x k2 3 π =± + π ⇔ () k xk 62 ππ =± + ∈Z Chú ý :thể dễ dàng chứng minh : 2 tgx cot gx sin 2x += Vậy (*) ⇔ () 2 2 11 tgx cot gx 2sin x 3 ⎛⎞ +−+−= ⎜⎟ ⎝⎠⇔ 2 52 sin 2x 3 = 0 Bài 45 : (Đề thi tuyển sinh Đại học khối D, năm 2003) Giải phương() 222 xx sin tg x cos 0 * 24 2 π ⎛⎞ −−= ⎜⎟ ⎝⎠ Điều kiện : cos x 0 sin x≠⇔ ≠± lúc đó : (*) ⇔ [] 2 2 1sinx1 1cosx 1cosx 0 22cosx2 ⎡π⎤ ⎛⎞ − −−+ ⎜⎟ ⎢⎥ ⎝⎠ ⎣⎦ = ⇔ () () () 2 2 1sinx1cosx 1cosx 0 1sinx −− − += − ⇔ () 2 1cosx 1cosx 0 1sinx − −+ = + ⇔ () 1cosx 1cosx0 1sinx − ⎡⎤ +− ⎢⎥ + ⎣⎦ = = ⇔ ()( )cos x cos x sin x 0+−− ⇔ () cosxnhậndocosx 0 tgx=− ≠ ⎡ ⎢ =− ⎣ ⇔ =π+ π ⎡ ⎢ π ⎢ =− + π ⎣ xk2 xk 4 Bài 46 : Giải phương()( ) 2 sin 2x cot gx tg2x 4 cos x *+= Điều kiện : ⇔ sin x 0 cos 2x 0 ≠ ⎧ ⎨ ≠ ⎩ 2 sin x 0 2cos x0 ≠ ⎧ ⎨ − ≠ ⎩ ⇔ cos x2 cos x 2 ≠± ⎧ ⎪ ⎨ ≠± ⎪ ⎩ Ta: cos x sin 2x cot gx tg2x sin x cos 2x += + cos 2x cos x sin 2x sin x sin x cos 2x + = cos x sin x cos 2x = Lúc đó : (*) ⎛⎞ ⇔= ⎜⎟ ⎝⎠ 2 cos x 2sinxcosx 4cos x sin x cos 2x ⇔ 2 2 2cos x 4cos x cos 2x = ( ) Do sin x 0≠ ⇔ cos x 02 cos 2x = ⎡ ⎢ ⎢ = ⎣ ⇔ () ⎡ ⎛⎞ = ≠≠± ⎢ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎢ ⎝⎠ ⎢ π ⎢ == ≠ ⎣ 2 cosx 0 Nhậndocosx vàcos 2x cos , nhận do sin x 0 23 ⇔ π ⎡ =+π ⎢ ⎢ π ⎢ =± + π ⎢ ⎣ xk 2 xk 6 () ∈kZ Bài 47 : Giải phương trình: () 22 cot g x tg x 16cos 4x cos 2x − =+ Ta: 22 22 22 cos x sin x cot g x tg x sin x cos x −= − 44 22 2 cos x sin x 4 cos 2x sin x cos x sin 2x − == Điều kiện : ⇔ si sin 2x 0 cos 2x 0 ≠ ⎧ ⎨ ≠ ⎩ n 4x 0 ≠ Lúc đó (*) () 2 4 16cos 4x sin 2x ⇔=+ () ()() () () () ⇔= + ⇔= + − ⇔= − = ⇔ =≠ ⇔− = ππ ⇔=⇔=+∈  2 22 2 141cos4xsin2xcos 4xcos 4x 121cos4x 2sin4xsin 4x nhận do sin 4x 0 2 11 1cos8x 22 k cos 8x 0 x , k 16 8 Bài 48 : Giải phương trình: () 44 7 sin x cos x cot g x cot g x * 836 ππ ⎛⎞⎛⎞ += + − ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠ Điều kiện sin x 0 sin x 0 33 2 sin 2x 0 3 sin x 0 cos x 0 63 ⎧⎧ ππ ⎛⎞ ⎛⎞ +≠ +≠ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎪⎪ π ⎪⎝ ⎠ ⎪⎝ ⎠ ⎛⎞ ⇔⇔+ ⎨⎨ ⎜⎟ ππ ⎝⎠ ⎛⎞ ⎛⎞ ⎪⎪ −≠ + ≠ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎪⎪ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎩⎩ ≠ […]… 2x ≠ 0 ∧ sin 3x ≠ 0 Lúc đó (*) ⇔ cotg3x ( tg 2 x cot g 2 2x − 1) = tg 2 x − cot g 2 2x ⎡⎛− cos 2x ⎞ ⎛+ cos 4x ⎞ ⎤− cos 2x+ cos 4x ⇔ cot g3x ⎢⎜ − ⎟⎜ ⎟ −= ⎣⎝+ cos 2x ⎠ ⎝− cos 4x ⎠ ⎦+ cos 2x− cos 4x ⇔ cot g3x ⎡ (1 − cos 2x ) (1 + cos 4x ) − (1 + cos 2x ) (1 − cos 4x ) ⎤ ⎣ ⎦ = (1 − cos 2x ) (1 − cos 4x ) − (1 + cos 4x ) (1 + cos 2x ) ⇔ cot g3x [ 2 cos 4x − 2 cos 2x ] = −2 ( cos 4x… (*)⇔ 4 (1 − sin x )− sin 2 x 2− sin 2 x ⇔ (1 + cos2 x ) (1 + sin x ) − 2 sin 3 x = (1 + sin x ) (1 − sin 2 x ) + 2 sin 2 x ⇔ (1 + sinx ) (1 + cos2 x ) = (1 + sin x ) cos2 x + 2 sin 2 x (1 + sin x )+ sin x = 0 ⇔ ⎢ 2 2 2+ cos x = cos x + 2 sin x ⎡sin x =( loại do cos x ≠ 0 ) ⇔ ⎢ ⇔ cos2x = 0− cos 2x π ⇔ 2x = + kπ 2 π π ⇔ x = + k (nhậ n do cosx ≠ 0) 4 2 Bà i 53 : Giả i phương trình. .. x + 1) − 2 (1 + cos x ) = 0 (1 − cos x ) 3 − 2 = 0 ( do sin x ≠ 0 nên cos x +≠ 0)− cos x ⇔+ 2 cos x = 0⇔ cos x = − (nhậ n so vớ i điề u kiệ n ) 2 2π + k2π, k ∈ ⇔ x=± 3 Bà i 52 : Giả i phương trình 2 2 (1 − cos x ) + (1 + cos x ) − tg 2 x sin x =+ sin x + tg 2 x * ( ) ( ) 4 (1 − sin x ) 2 ⇔ ⎧cos x ≠ 0 Điề u kiệ n : ⎨ ⇔ cos x ≠ 0 ⎩sin x ≠2 (1 + cos2 x ) sin 3 xsin 2 x − = (1 +…= 2 4 4 cos4 x x ⎛ ⎞ y/ tgx + cos x − cos2 x = sin x ⎜+ tg tgx ⎟ 2 ⎝ ⎠ Cho phương trình: ( 2 sin x − 1) ( 2 cos 2x + 2 sin x + m ) = 3 − 4 cos2 x (1) a/ Giả i phươngkhi m =b/ Tìm m để (1)đú n g 2 nghiệ m trê n [ 0, π ] 5 ( ĐS: m = 0 ∨ m 3 ) Cho phương trình: 4 cos5 x sin x − 4 sin5 x.cos x = sin2 4x + m (1) Biế t rằ n g x = π là mộ t nghiệ m củ a (1) Hã y giả i phương trình. .. + cos2 x ) − 2 sin 2 x cos2 x 2 =1sin2 2x 2 sin x cos 2x + cos x sin 2x sin 2x sin x + cos x cos 2x = cos x sin 2x cos ( 2x − x )= = cos x sin 2x sin 2x− sin 2 2×2 Do đó : (*) ⇔ = sin 2x 2 sin 2x− sin 2 2x = 2 2 2 ⇔ sin 2x =( nhận do sin 2x ≠ 0 ) tgx + cot g2x = ⇔ cos2 2x = 0 π + kπ, k ∈ 2 π kπ , k ∈ ⇔x = + 4 2 ⇔ 2x = Bà i 55 : Giả i phươngtg 2 x.cot g 2 2x.cot g3x.. .1 3 ⇔ − sin 2x + cos 2x ≠ 0 2 2 ⇔ tg2x ≠ 3 ( Ta: sin4 x + cos4 x = sin2 x + cos2 x ) 2 − 2sin2 x.cos2 x =sin2 2x 2 π⎞ π⎞ ⎛π ⎛ ⎛π ⎞ ⎛ ⎞ Và : cot g ⎜ x + ⎟ cot g ⎜ − x ⎟ = cot g ⎜ x + ⎟ tg ⎜ + x ⎟ =3⎠ 3⎠ ⎝3 ⎝ ⎝6 ⎠ ⎝ ⎠7 Lú c đó : (*) ⇔− sin2 2x = 2 8⇔ − (1 − cos 4x ) = − 4 8⇔ cos 4x = 2 π π kπ ⇔ 4x = ± + k2π ⇔ x = ± + 3 12 2 3 (nhậ n do tg2x = ± ≠… 7x.cos 5x⇔ [sin 8x + sin 2x ] = [sin12x + sin 2x ] 2 2 ⇔ sin 8x = sin12x ⇔ 12 x = 8x + k2π ∨ 12 x = π − 8x + k2π kπ π kπ ∨ x= + ⇔x = 2 20 10 So lạ i vớ i điề u kiệ n kπ 5kπ kπ x= thì cos 5x = cos = cos (loạ i nế u k lẻ ) 2 2 2 kπ π ⎛ π kπ ⎞ x= thì cos 5x = cos ⎜ + + ⎟ ≠ 0 nhận 2 ⎠ 20 10 ⎝4 π kπ + Do đó : (*)⇔ x = hπ ∨ x = , vớ i k, h ∈ 20 10 Bà i 54 : Giả i phươngsin4 x + cos4 x= ( tgx… tg2x = ± ≠ 3) 3 Bà i 49: Giả i phương2tgx + cot g2x = 2 sin 2x +( *) sin 2x ⎧cos 2x ≠ 0 Điề u kiệ n : ⎨ ⇔ sin 2x ≠ 0 ⇔ cos 2x ≠⎩sin 2x ≠ 0 2 sin x cos 2x+ = 2 sin 2x + Lú c đó : (*) ⇔ cos x sin 2x sin 2x 2 2 ⇔ 4 sin x + cos 2x = 2 sin 2x +( ) ⇔ 4 sin2 x +− 2 sin 2 x = 8 sin2 x cos2 x +( ) ⇔ 2 sin2 x− 4 cos2 x = 0 ⇔ 2 sin2 x− 2 (1 + cos 2x ) ⎤ = 0 ⎣ ⎦ ⎡sin x = 0 ( loại… tg 2 x cot g 2 2x − 1) = tg 2 x − cot g 2 2x tg 2 x − cot g 2 2x tg 2 2x.tg 2 x −= tg 2 x cot g 2 2x −tg 2 x − tg 2 2x (1 + tg2x.tgx ) (1 − tg2x.tgx ) ⇔ cot g3x = (tg2x − tgx) ( tg2x + tgx) ⇔ cot g3x = cot gx cotg3x ⇔ cos 3x = 0 ∨ sin x = cos x ⇔ cot g3x = BÀI TẬP2 3 ⎛π ⎞ Tìm cá c nghiệ m trê n ⎜ , 3π ⎟ củ a phương trình: ⎝3 ⎠ 5π ⎞ 7π ⎞ ⎛ ⎛ sin ⎜ 2x + ⎟ − 3 cos ⎜ x − ⎟ =+ 2 sin x 2 ⎠ 2 ⎠… x 2 ⎠ 2 ⎠ ⎝ ⎝ ⎛ π⎞ Tìm cá c nghiệ m x trê n ⎜ 0, ⎟ củ a phương⎝ 2⎠ 2 2 sin 4x − cos 6x = sin (10 , 5π + 10 x ) Giả i cá c phươngsau: a/ sin 3 x + cos3 x = 2 sin5 x + cos5 x ( ) sin x + sin 2x + sin 3x = 3 cos x + cos 2x + cos 3x+ cos x c/ tg 2 x =− sin x d/ tg2x − tg3x − tg5x = tg2x.tg3x.tg5x 4 e/ cos x = cos2 x 3 π⎞⎛ + f/ 2 2 sin ⎜ x + ⎟ = 4 ⎠ sin x cos x ⎝ 2 i/ 2tgx + cot g2x . ()()()() 11 1 1 1 cos 6x 1 cos 8x 1 cos10x 1 cos12x 22 2 2 −−+=− −+ ⇔ cos 6x cos 8x cos10x cos12x += + ⇔ 2cos7xcosx 2cos11xcosx = ⇔ ( ) 2cos x cos7x cos11x 0−=. ⇔ 222 11 1 11 1 cos x sin x sin 2x 3 ⎛⎞⎛⎞⎛ ⎞ −+ −+ −= ⎜⎟⎜⎟⎜ ⎟ ⎝⎠⎝⎠⎝ ⎠ 11 ⇔ 22 22 11 1 cos x sin x 4 sin x cos x 3 ++ = 20 ⇔ 22 22 4sin x 4cos x 1 20 4sin

Xem thêm :  Chuyển đổi hình ảnh sang văn bản


Giải phương trình lượng giác cơ bản – Toán 11 – Thầy Nguyễn Công Chính


Xem thêm bài viết thuộc chuyên mục: Giáo Dục

Related Articles

Check Also
Close
Back to top button