Quy tắc chuyển vế: tổng hợp lý thuyết và các dạng toán cơ bản

Bạn đang xem: Quy tắc chuyển vế: tổng hợp lý thuyết và các dạng toán cơ bản Tại Website vuongquocdongu.com

Tìm hiểu về đẳng thức và bất đẳng thức

Trong toán học, đẳng thức được hiểu như là một quan hệ giữa hai đại lượng. Tổng quát hơn, từ hai biểu thức, khẳng định rằng hai đại lượng hay giá trị đó bằng nhau, tức có cùng giá trị, hay cả hai đều biểu diễn cùng một đối tượng toán học. 

Đẳng thức giữa \( a \) và \( b \)  được viết là \( a=b \) và đọc là \( a \)  bằng \( b \) , trong đó \( a \) và \( b \) được gọi là hai vế của đẳng thức.

Ví dụ 1:

• \( x=y \) nghĩa là \( x \) và \( y \) cùng tượng trưng cho cùng một vật

• \( (x+1)^{2}=x^{2} + 2x +1 \) nghĩa là nếu \( x \) là một số bất kì, hai biểu thức đó vẫn có cùng giá trị. Trong trường hợp, cũng có thể nói là hai vế của đẳng thức tượng trưng cho cùng một hàm số.

Ví dụ 2: Những đẳng thức

• 6=8-2

• \( x^{2} = x.x \) 

• Tính chất hoán vị:

  \( a=b \) thì \( b=a \) 

• Tính chất bắc cầu:

  \( a=b \)  và \( b=c \) thì \( a=c \)

• Tính chất liên quan đến phép cộng và phép trừ:

  • \( a=b \Rightarrow a+c=b+c \) 

  • \( a=b \Rightarrow a-c=b-c \) 

• Tính chất liên quan đến phép nhân và phép chia:

  • \( a=b \Rightarrow ac=bc \) 

  • \( a=b \Rightarrow a/c = b/c \) 

• Trong toán học, một bất đẳng thức theo định nghĩa chính là một phát biểu về quan hệ thứ tự giữa hai đối tượng.

  • Kí hiệu \( a< b \) có nghĩa là \( a \) nhỏ hơn \( b \) 

  • Kí hiệu \( a>b \) có nghĩa là \( a \) lớn hơn \( b \) 

• Những quan hệ nói trên được gọi là bất đẳng thức nghiêm ngặt; ngoài ra ta còn có

  • \( a \leq  b \) có nghĩa là a nhỏ hơn hoặc bằng b.

  • \( a \geq  b \) có nghĩa là a lớn hơn hoặc bằng b.

• Người ta còn dùng một ký hiệu khác để chỉ ra rằng một đại lượng lớn hơn rất nhiều so với một đại lượng khác.

  • Kí hiệu \( a\gg b \) có nghĩa là a lớn hơn b rất nhiều.

• Các ký hiệu a, b ở hai vế của một bất đẳng thức có thể là các biểu thức của các biến. Sau đây ta chỉ xét các bất đẳng thức với các biến nhận giá trị trên tập số thực hoặc các tập con của nó.

Nhận xét: 

• Nếu như một bất đẳng thức đúng với mọi giá trị của tất cả các biến có mặt trong bất đẳng thức, thì bất đẳng thức này được gọi là bất đẳng thức tuyệt đối hay không điều kiện.

• Nếu một bất đẳng thức chỉ đúng với một số giá trị nào đó của các biến, thì với các giá trị khác thì nó bị đổi chiều hay không còn đúng nữa thì nó được gọi là một bất đẳng thức có điều kiện. 

• Một bất đẳng thức đúng vẫn còn đúng nếu cả hai vế của nó được thêm vào hoặc bớt đi cùng một giá trị, hoặc nếu cả hai vế của nó được nhân hay chia với cùng một số dương. 

• Một bất đẳng thức thường bị đảo chiều nếu cả hai vế của nó được nhân hay chia bởi một số âm.

Ví dụ: Các bất đẳng thức: 

• \( 6>4-2 \) 

• \( x^{2}+2x^{2}+6>0 \) 

• \( -a^{4} -4a^{2} \leq  0 \)

Lý thuyết quy tắc chuyển vế – quy tắc đổi dấu

Quy tắc: Khi chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia của một đẳng thức bất kỳ, ta cần phải đổi dấu số hạng đó: dấu “+” thành dấu “-” và ngược lại dấu “-” thành dấu “+”

Nếu \( x=a-b \) thì theo quy tắc chuyển vế ta có \( x+b=a \) 

Ngược lại, nếu  \( x +b = a \) thì theo quy tắc chuyển vế ta có  \( x=a-b \) 

Những điều nói trên chứng tỏ rằng nếu \( x \)  là hiệu của \( a \) và \( b \) thì \( a \)  là tổng của \( x \) và \( b \) . Nói cách khác, phép trừ là phép tính ngược của phép cộng

Ví dụ: 

\( x+4=y-2 \Rightarrow x-y=-2-4 \Rightarrow x-y=-6 [latex] 

Từ quy tắc này ta phát biểu được một số tính chất đẳng thức:

• Nếu [latex] a=b \) thì \( a+c=b+c \) 

• Nếu \( a+c=b+c \) thì \( a=b \) 

• Nếu \( a=b \) thì [/latex] b=a [/latex] 

Vậy là chúng ta đã tìm hiểu định nghĩa và các tính chất về quy tắc chuyển vế trong toán học. Sau đây hãy làm quen với một số dạng bài tập về quy tắc chuyển vế nhé. 

Quy tắc chuyển vế đổi dấu trong bất đẳng thức

Tương tự như trong đẳng thức ta cũng có quy tắc chuyển vế trong bất đẳng thức với các tính chất tương đối giống nhau.

Quy tắc: Khi chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia của một bất đẳng thức, ta phải đổi dấu số hạng đó: dấu “+” thành dấu “-” và dấu “-” thành dấu “+”

Bất đẳng thức cũng có những tính chất tương tự như trong đẳng thức:

Ví dụ:

• \( a-x+5 \geq  b \Rightarrow a-b-x+5 \geq  0 \) 

• \( x^{3}+2x^{2}-2x< 9 \Rightarrow x^{3}+2x^{2}-2x-9 <0 \)

Các dạng toán về quy tắc chuyển vế đổi dấu

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất của đẳng thức, quy tắc dấu ngoặc và quy tắc chuyển vế rồi thực hiện phép tính với các số đã biết.

Ví dụ 1: Tìm số nguyên \( x \in \mathbb{Z} \) biết:

1. \( 6-x= (-5) – 6 \)

2. \( x-3 = 7-9 \) 

1. \( 6-x= (-5) – 6 \)

\( \Rightarrow 6-x= -11 \) 

\( \Rightarrow -x= -11-6 \)  (áp dụng tính chất của đẳng thức)

\( \Rightarrow -x= -17 \) 

\( \Rightarrow x= 17 \) 

     2. \( x-3 = 7-9 \) 

\( \Rightarrow x-3= -2 \) 

\( \Rightarrow x= -2+3 \) (áp dụng tính chất của đẳng thức)

\( \Rightarrow x= 1 \) 

Ví dụ 2: (Bài 63 trang 87 SGK)

Tìm số nguyên \( x \in \mathbb{Z} \), biết rằng tổng của 3 số \( 3; -2; x \) bằng \( 5 \) 

Theo đề bài chúng ta có:

\( 3 + (-2) + x = 5 \) 

\( -2+x=5-3 \) 

\( x=5-3+2 \) 

\( x=4 \) 

Ví dụ 3: Cho \( a, b \in \mathbb{Z} \) . Tìm số nguyên \( x \in \mathbb{Z} \)  biết:

1. \( a+x=b \)

2. \( a-x=b \) 

1. \( x=b-a \) 

2. \( x=a-b \) 

Phương pháp giải:

Ta cần phải nắm vững khái niệm giá trị tuyệt đối của một số nguyên a, đó chính là khoảng cách từ điểm a đến điểm 0 trên trục số (tính theo đơn vị dài để lập trục số).

• Giá trị tuyệt đối của số 0 là số 0.

• Giá trị tuyệt đối của một số nguyên dương là chính nó;

• Giá trị tuyệt đối của một số nguyên âm chính là số đối của nó (và là một số nguyên dương).

• Hai số đối nhau có giá trị tuyệt đối bằng nhau.

=>  \( \left | x \right |=a (a \in \mathbb{N}) \)  thì \( x=a \) hoặc \( x=-a \) .

Ví dụ: (Bài 62 trang 87 SGK)

Tìm số nguyên \( a \in \mathbb{Z} \) biết:

1. \( \left | a \right |=2 \) 

2. \( \left | a+2 \right |=0 \) 

1. \( \left | a \right |=2 \) nên \( a=2 \) hoặc \( a=-2 \) 

2. \( \left | a+2 \right |=0 \) nên \( a+2=0 \) hay \( a=-2 \) 

Phương pháp giải

Thay đổi vị trí số hạng, áp dụng quy tắc dấu ngoặc một cách thích hợp rồi làm phép tính.

Ví dụ 1: Tính

1. (-54)+(-217)

2. -45+18

3. 15-34

4. 15-27-54

5. (-15)+75-24

1. -271

2. -27

3. -19

4. -66

5. 36

Ví dụ 2: (Bài 70 trang 88 SGK)

Tính các tổng sau một cách hợp lý: 

1. \( 3784 + 23 – 3785 – 15 \) 

2. \( 21 + 22 + 23 + 24 – 11 – 12 – 13 – 14 \) 

1. \( 3784 + 23 – 3785 – 15 = (3784 – 3785) + (23 – 15)=-1 + 8=7 \) 

2. \( 21 + 22 + 23 +24 – 11 – 12 – 13 – 14 = (21 – 11) + (22 – 12) + (23 – 13) + (24 – 14) = 10 + 10 + 10 + 10 = 40 \) 

Ví dụ 3: (Bài 71 trang 88 SGK)

Tính nhanh :

1.  \( – 2001 + (1999 + 2001) \)  ;          

2. \( (43 – 863) – (137 – 57) \) .

1.  \( – 2001 + (1999 + 2001) = (- 2001 + 2001) + 1999 = 1999 \) ;

2. \( (43 – 863) – (137 – 57) = 43 – 863 – 137 + 57 = (43 + 57) – (863 + 137) = 100 – 1000 = – 900 \) .

Phương pháp giải:

Căn cứ vào đề bài, suy luận để dẫn đến việc thực hiện phép cộng, phép trừ các số nguyên

cho trước.

Ví dụ 10. (Bài 68 trang 87 SGK)

Một đội bóng đá năm ngoái đã ghi được 27 bàn, đồng thời lại để thủng lưới 48 bàn. Năm nay đội ghi được 39 bàn và đã để thủng lưới 24 bàn. Hãy tính hiệu số bàn thắng – thua của đội đó trong mỗi mùa giải.

Để tính hiệu số bàn thắng – thua, ta phải làm phép trừ số nguyên. Hiệu số bàn thắng – thua năm ngoái của đội bóng là 27 – 48 = – 21. Hiệu số bàn thắng – thua năm nay của đội

bóng là 39 – 24 = 15.

Hiệu số bàn thắng – thua :

1. Năm ngoái : -21                     

2. Năm nay : 15

Ví dụ 11. (Bài 69 trang 87 SGK)

Trong bảng dưới đây đã có nhiệt độ cao nhất và nhiệt độ thấp nhất của một số thành phố vào một ngày nào đó. Em hãy ghi vào cột bên phải số độ chênh lệch (nhiệt độ cao nhất trừ nhiệt độ thấp nhất) trong ngày đó của mỗi thành phố như bảng:

Để tính số độ chênh lệch trong một ngày của thành phố, ta cần phải tính hiệu giữa nhiệt độ cao nhất và nhiệt độ thấp nhất.

Đáp số: Ghi ở cột thứ tự từ trên xuống dưới:

\( 9^{\circ}C; 6^{\circ}C; 14^{\circ}C; 10^{\circ}C; 12^{\circ}C; 7^{\circ}C; 13^{\circ}C;   \) 

Ví dụ 12. (Bài 72 trang 88 SGK)

Đố : Có 9 tấm bìa có ghi số và chia thành 3 nhóm như hình 51 SGK.

Hãy chuyển một tấm bìa từ nhóm này sang nhóm khác sao cho tổng các số trong mỗi nhóm

đều bằng nhau.

Tổng các số  ở ba nhóm bằng:

[2 + (-1) + (- 3)] + [5 + (- 4) + 3] + [(- 5) + 6 + 9] = (- 2) + 4 + 10 = 12.

Sau khi chuyển, tổng các số ở mỗi nhóm bằng : 12 : 3 = 4.

Số này đúng bằng tổng các số ở nhóm II. Suy ra cần chuyển bìa ghi số 6 từ nhóm III sang nhóm I.

Vừa qua chúng ta đã làm quen với một số dạng toán thường gặp trong chương trình lớp 6 có áp dụng quy tắc chuyển về, sau đây các bạn hãy tự luyện tập với một số bài tập tự luyện nhé!.

Một số bài tập về quy tắc chuyển vế tự luyện

Câu 1: Nếu \( a+c=b+c \) thì:

1. \( a=b \) 

2. \( a

3. \( a>b \) 

4. Cả A, B, C đều sai

Câu 2: Cho \( b \in \mathbb{Z} \) và \( b-x=-11 \) . Tìm \( x \) :

1. \( -11 – b \) 

2. \( -11 + b \) 

3. \( b + 11 \)

4. \( -b + 11 \) 

Câu 3: Tìm \( x \) biết \( x + 5 = 2 \) 

1. \( -3 \) 

2. \( -7 \) 

3. \( 3 \) 

4. \( 7 \) 

Câu 4: Số nguyên \( x \in \mathbb{Z} \)  nào sau đây thoả mãn \( x-7=20 \) ?

1. \( x = 27 \) 

2. \( x = 13 \) 

3. \( x = -12 \) 

4. \( x = -27 \) 

Câu 5: Có bao nhiêu số nguyên \( x \in \mathbb{Z} \)  sao cho \( x +13= 445 \)?

1. 0

2. 1

3. 2

4. 3

Bài 1: Tìm số nguyên \( x \in \mathbb{Z} \) biết:

\( 7 – (19+14) = x + (17-25) \) 

Bài 2: Tìm số nguyên \( x \in \mathbb{Z} \)  biết:

1. \( \left | x-5 \right |=4 \) 

2. \( \left | x+7 \right |=0 \) 

Bài 3: Cho các số nguyên \( x, y \in \mathbb{Z} \). Hãy chứng minh rằng:

1. Nếu \( x-y>0 \) thì \( x>y \) 

2. Nếu \( x>y \) thì \( x-y>0 \) 

Bài 4:  Người ta chứng minh được rằng: Khoảng cách giữa hai điểm \( a, b \)  trên trục số (\( a, b \in \mathbb{Z} \)) bằng \( \left | a-b \right |=0 \) hay \( \left | b-a \right |=0 \) .Hãy tìm khoảng cách giữa các điểm \( a \)  và \( b \) trên trục số khi:

1. \( a=-5 \) ; \( b=7 \) 

2. \( a=-7 \) ; \( b=-4 \) 

3. \( a=12 \) ; \( b=6 \)  

Bài 5:  Tìm số nguyên \( x \in \mathbb{Z} \)  biết rằng \( x-8 \) là số nguyên âm nhỏ nhất có hai chữ số:

Bài 6: Chứng minh rằng: \( \left | a-b \right |= \left | b-a \right | \) 

Bài 7: Một chiếc diều bay lên đến độ cao 15m, sau đó hạ xuống 5m rồi lại lên cao 7m, hạ xuống 6m rồi gặp gió lại lên 9m. Hỏi cuối cùng chiếc diều ở độ cao bao nhiêu ?

Xem chi tiết qua bài giảng dưới đây:

(Nguồn: www.youtube.com)

Xem thêm:

quy-tac-chuyen-ve-doi-dau-pdf

Rate this post

Please follow and like us: