KHÁI NIỆM VỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Vấn đề 1. thể tích khối chóp CÓ ĐÁP ÁN
Câu 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA=a2. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.
A. V=a326. B. V=a324. C. V=a32. D. V=a323.
Câu 2. Cho hình chóp S.ABC có tam giác SBC là tam giác vuông cân tại S, SB=2a và khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC bằng 3a. Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABC.
A. V=2a3. B. V=4a3. C. V=6a3 D. V=12a3.
Câu 3. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho khối chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, SA=4, AB=6, BC=10 và CA=8. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC.
A. V=40. B. V=192. C. V=32. D. V=24.
Câu 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có cạnh AB=a, BC=2a. Hai mặt bên SAB và SAD cùng vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD, cạnh SA=a15 . Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABCD.
A. V=2a3156. B. V=2a3153. C. V=2a315. D. V=a3153.
Câu 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy ABCD và SC=a5. Tính theo a thể tích V khối chóp S.ABCD.
A. V=a333. B. V=a336. C. V=a33. D. V=a3153.
Câu 6. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và BA=BC=a. Cạnh bên SA=2a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABC.
A. .V=a3.. B. V=a332. C. V=a33. D. V=2a33.
Câu 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B, AB=BC=1, AD=2. Cạnh bên SA=2 và vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
A. V=1. B. V=32. C. V=13. D. V=2.
Câu 8. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và có AB=a, BC=a3. Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ABC. Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABC.
A. V=a3612. B. V=a364. C. V=2a3612. D. V=a366.
Câu 9. Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy, SA=2a. Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABCD.
A. V=a31512. B. V=a3156. C. V=2a3. D. V=2a33.
Câu 10. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy. Tính thể tích V của khối chóp đã cho.
A. V=13 a312. B. V=11 a312. C. V=11 a36. D. V=11 a34.
Câu 11. Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng a216. Tính theo a thể tích V của khối chóp đã cho.
A. V=a338. B. V=a3312. C. V=a3324. D. V=a336.
Câu 12. (ĐỀ THỬ NGHIỆM 2016 – 2017) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a và thể tích bằng a3. Tính chiều cao h của hình chóp đã cho.
A. h=a36. B. h=a32. C. h=a33. D. h=a3.
Câu 13. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB=a. Cạnh bên SA=a2, hình chiếu của điểm S lên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm của cạnh huyền AC. Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABC.
A. V=a3612. B. V=a364. C. V=2a3612. D. V=a366.
Câu 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng 1, góc ABC^=60°. Cạnh bên SD=2. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng ABCD là điểm H thuộc đoạn BD thỏa HD=3HB. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.
A. V=524. B. V=1524. C. V=158. D. V=1512.
Câu 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Tam giác SAB vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Hình chiếu vuông góc của S trên AB là điểm H thỏa AH=2BH. Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABCD.
A. V=a326. B. V=a323. C. V=a339. D. V=a329.
Câu 16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy, góc SBD^=600. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.
A. V=a3. B. V=a332. C. V=a33. D. V=2a33.
Câu 17. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AC=2a, AB=SA=a. Tam giác SAC vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy ABC. Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABC.
A. V=a34. B. V=3a34. C. V=a3. D. V=2a33.
Câu 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Cạnh bên SA=a và vuông góc với đáy; diện tích tam giác SBC bằng a222(đvdt). Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABCD.
A. V=a3. B. V=a332. C. V=a33. D. V=2a33.
Câu 19. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C, cạnh huyền AB bằng 3. Hình chiếu vuông góc của S xuống mặt đáy trùng với trọng tâm của tam giác ABC và SB=142. Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABC.
A. V=32. B. V=14. C. V=34. D. V=1.
Câu 20. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với mặt đáy một góc 600. Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABCD.
A. V=a366. B. V=a362. C. V=a363. D. V=a33.
Câu 21. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=a, AC=5a. Đường thẳng SA vuông góc với mặt đáy, cạnh bên SB tạo với mặt đáy một góc 600. Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABCD.
A. V=62a3. B. V=42a3. C. V=22a3. D. V=2a3.
Câu 22. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng ABC; góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng ABC bằng 600. Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABC.
A. V=a34. B. V=3a34. C. V=a32. D. V=a3.
Câu 23. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc BAD^=1200. Cạnh bên SA vuông góc với đáy ABCD và SD tạo với đáy ABCD một góc 600. Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABCD.
A. V=a34. B. V=3a34. C. V=a32. D. V=a3.
Câu 24. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 1. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng ABCD là trung điểm H của cạnh AB, góc giữa SC và mặt đáy bằng 300. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.
A. V=156. B. V=1518. C. V=13. D. V=56.
Câu 25. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AC=2a,BC=a. Đỉnh S cách đều các điểm A,B,C. Biết góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng ABCD bằng 60o. Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABCD.
A. V=a34. B. V=3a34. C. V=a32. D. V=a3.
Câu 26. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AB=AC=a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy ABC. Gọi I là trung điểm của BC, SI tạo với mặt phẳng ABC góc 600. Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABC.
A. V=a364. B. V=a366. C. V=a32. D. V=a3612.
Câu 27. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng ABC là trung điểm H của cạnh BC. Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng ABC bằng 600. Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABC.
A. V=a338. B. V=3a338. C. V=a334. D. V=a333.
Câu 28. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B; đỉnh S cách đều các điểm A,B,C. Biết AC=2a,BC=a; góc giữa đường thẳng SB và mặt đáy ABC bằng 600. Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABC.
A. V=a364. B. V=a366. C. V=a32. D. V=a3612.
Câu 29. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, BD=1. Hình chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt phẳng đáy ABCD là trung điểm OD. Đường thẳng SD tạo với mặt đáy một góc bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
A. V=324. B. V=38. C. V=18. D. V=312.
Câu 30. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a. Tam giác ABC đều, hình chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt phẳng ABCD trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Đường thẳng SD hợp với mặt phẳng ABCD góc 300. Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABCD.
A. V=a333. B. V=a33. C. V=a339. D. V=2a339.
Câu 31. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân với cạnh đáy AD và BC; AD=2a,AB=BC=CD=a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng ABCD và SD tạo với mặt phẳng ABCD góc 450. Tính thể tích V của khối chóp đã cho.
A. V=a336. B. V=a332. C. V=3a332. D. V=a33.
Câu 32. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên SAD là tam giác vuông tại S. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy là điểm H thuộc cạnh AD sao cho HA=3HD. Biết rằng SA=2a3 và SC tạo với đáy một góc bằng 300. Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABCD.
A. V=86a39. B. V=82a3. C. V=86a3. D. V=86a33.
Câu 33. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA=AB=a. Gọi N là trung điểm SD, đường thẳng AN hợp với đáy ABCD một góc 300. Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABCD.
A. V=a339. B. V=a333. C. V=a33. D. V=a336.
Câu 34. (ĐỀ THAM KHẢO 2016 – 2017) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy, SD tạo với mặt phẳng SAB một góc bằng 300. Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABCD.
A. V=6a318. B. V=3a3. C. V=6a33. D. V=3a33.
Câu 35. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 3, tam giác SBC vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, đường thẳng SD tạo với mặt phẳng SBC một góc 600. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.
A. V=16. B. V=6. C. V=63. D. V=3.
Câu 36. Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên với mặt đáy bằng 600. Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABC.
A. V=a3324. B. V=a338. C. V=a38. D. V=a3312.
Câu 37. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Đường thẳng SA vuông góc đáy và mặt bên SCD hợp với đáy một góc bằng 600. Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABCD.
A. V=a339. B. V=a336. C. V=a33. D. V=a333.
Câu 38. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB=a, AD=a3, SA vuông góc với đáy và mặt phẳng SBC tạo với đáy một góc 600. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.
A. V=3a3. B. V=3 a33. C. V=a3. D. V=a33.
Câu 39. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa mặt phẳng SBD và mặt phẳng ABCD bằng 600. Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABCD.
A. V=a3612. B. V=a3. C. V=a366. D. V=a362.
Câu 40. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, đường chéo AC=a, tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, góc giữa SCD và đáy bằng 450. Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABCD.
A. V=a34. B. V=3a34. C. V=a32. D. V=a312.
Câu 41. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AD=DC=1, AB=2; cạnh bên SA vuông góc với đáy; mặt phẳng SBC tạo với mặt đáy ABCD một góc 450. Tính thể tích Vcủa khối chóp S.ABCD.
A. V=2. B. V=322. C. V=22. D. V=26.
Câu 42. Cho tứ diện ABCD có SΔABC=4cm2, SΔABD=6cm2, AB=3cm. Góc giữa hai mặt phẳng ABC và ABD bằng 60ο. Tính thể tích V của khối tứ diện đã cho.
A. V=233cm3. B. V=433cm3. C. V=23cm3. D. V=833cm3.
Câu 43. (ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017) Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB,AC và AD đôi một vuông góc với nhau; AB=6a, AC=7a và AD=4a. Gọi M,N,P tương ứng là trung điểm các cạnh BC, CD, BD. Tính thể tích V của tứ diện AMNP.
A. V=72a3. B. V=14a3. C. V=283a3. D. V=7a3.
Câu 44. (ĐỀ THỬ NGHIỆM 2016 – 2017) Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng 12 và G là trọng tâm của tam giác BCD. Tính thể tích V của khối chóp A.GBC.
A. V=3. B. V=4. C. V=6. D. V=5.
Câu 45. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy và khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC bằng a22. Tính thể tích V của khối chóp đã cho.
A. V=a32. B. V=a3. C. V=3 a39. D. V=a33.
Câu 46. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân ở B, AC=a2, SA=a và vuông góc với đáy ABC. Gọi G là trọng tâm tam giác SBC. Mặt phẳng α qua AG và song song với BC cắt SB, SC lần lượt tại M, N. Tính theo a thể tích V của khối chóp S.AMN.
A. V=2a327. B. V=2a329. C. V=a39. D. V=a327.
Câu 47. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN và DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng ABCD và SH=a3. Tính thể tích khối chóp S.CDNM.
A. V=5a338. B. V=5a3324. C. V=5a38. D. V=5a3312.
Câu 48. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh 2a. Mặt bên tạo với đáy góc 600. Gọi K là hình chiếu vuông góc của O trên SD. Tính theo a thể tích V của khối tứ diện DKAC.
A. V=2a3315. B. V=4a335. C. V=4a3315. D. V=a33.
Câu 49*. Cho hình chóp S.ABC có ASB^=CSB^=600,ASC^=900 và SA=SB=a, SC=3a. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC.
A. V=a363. B. V=a3612. C. V=a3312. D. V=a324.
Câu 50. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA=SB, SC=SD, SAB⊥SCD và tổng diện tích hai tam giác SAB và SCD bằng 7a210. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.
A. V=a35. B. V=4a315. C. V=4a325. D. V=12a325.
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI
Vấn đề 1. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP
Câu 1.
Diện tích hình vuông ABCD là SABCD=a2.
Chiều cao khối chóp là SA=a2.
Vậy thể tích khối chóp VS.ABCD=13SABCD.SA=a323.
Chọn D.
Câu 2. Ta chọn SBC làm mặt đáy → chiều cao khối chóp là dA,SBC=3a.
Tam giác SBC vuông cân tại S nên SΔSBC=12SB2=2a2.
Vậy thể tích khối chóp V=13SΔSBC.dA,SBC=2a3. Chọn A.
Câu 3.
Tam giác ABC, có AB2+AC2=62+82=102=BC2
→tam giác ABC vuông tại A→SΔABC=12AB.AC=24.
Vậy thể tích khối chóp VS.ABC=13SΔABC.SA=32. Chọn C.
Câu 4.
Vì hai mặt bên SAB và SAD cùng vuông góc với ABCD, suy ra SA⊥ABCD. Do đó chiều cao khối chóp là SA=a15.
Diện tích hình chữ nhật ABCD là SABCD=AB.BC=2a2.
Vậy thể tích khối chóp VS.ABCD=13SABCD.SA=2a3153.
Chọn B.
Câu 5.
Đường chéo hình vuông AC=a2.
Xét tam giác SAC, ta có SA=SC2-AC2=a3.
Chiều cao khối chóp là SA=a3.
Diện tích hình vuông ABCD là SABCD=a2.
Vậy thể tích khối chop VS.ABCD=13SABCD.SA=a333.
Chọn A.
Câu 6.
Diện tích tam giác vuông SΔABC=12BA.BC=a22.
Chiều cao khối chóp là SA=2a.
Vậy thể tích khối chóp VS.ABC=13SABC.SA=a33.
Chọn C.
Câu 7.
Diện tích hình thang ABCD là
SABCD=AD+BC2.AB=32.
Chiều cao khối chóp là SA=2.
Vậy thể tích khối chóp VS.ABCD=13SABCD.SA=1.
Chọn A.
Câu 8.
Gọi H là trung điểm của AB, suy ra SH⊥AB.
Do SAB⊥ABC theo giao tuyến AB nên SH⊥ABC.
Tam giác SAB là đều cạnh AB=a nên SH=a32.
Tam giác vuông ABC, có AC=BC2-AB2=a2.
Diện tích tam giác vuông SΔABC=12AB.AC=a222.
Vậy VS.ABC=13SΔABC.SH=a3612. Chọn A.
Câu 9.
Gọi I là trung điểm của AB. Tam giác SAB cân tại S và có I là trung điểm AB nên SI⊥AB. Do SAB⊥ABCD theo giao tuyến AB nên SI⊥ABCD.
Tam giác vuông SIA, có
SI=SA2-IA2=SA2-AB22=a152.
Diện tích hình vuông ABCD là SABCD=a2.
Vậy VS.ABCD=13SABCD.SI=a3156.
Chọn B.
Câu 10.
Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Vì S.ABC là khối chóp đều nên suy ra SI⊥ABC.
Gọi M là trung điểm của BC ⇒ AI=23AM=a33.
Tam giác SAI vuông tại I, có
SI=SA2-SI2=2a2-a332=a333.
Diện tích tam giác ABC là SΔABC=a234.
Vậy thể tích khối chóp VS.ABCD=13SΔABC.SI=11 a312.
Chọn B.
Câu 11.
Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Vì S.ABC là khối chóp đều nên suy ra SI⊥ABC.
Gọi M là trung điểm của BC ⇒ AI=23AM=a33.
Tam giác SAI vuông tại I, có
SI=SA2-AI2a2162-a332=a2.
Diện tích tam giác ABC là SΔABC=a234.
Vậy thể tích khối chóp VS.ABC=13SΔABC.SI=a3324
Chọn C.
Câu 12. Xét hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a⇒ SΔABC=a23.
Thể tích khối chóp VS.ABC=13SΔABC.h→h=3.VS.ABCSΔABC=3a3a23=a3. Chọn D.
Câu 13. Gọi M là trung điểm AC. Theo giả thiết, ta có SM⊥ABC⇒SM⊥AC.
Tam giác vuông ABC, có AC=AB2=a2.
Tam giác vuông SMA, có
SM=SA2-AM2=SA2-AC22=a62.
Diện tích tam giác vuông cân ABC là SΔABC=a22.
Vậy VS.ABC=13SΔABC.SM=a3612. Chọn A.
Câu 14.
Vì ABC^=60° nên tam giác ABC đều.
Suy ra
BO=32;BD=2BO=3;HD=34BD=334.
Tam giác vuông SHD, có SH=SD2-HD2=54.
Diện tích hình thoi ABCD là SABCD=2SΔABC=32 .
O
S
A
C
D
B
H
Vậy thể tích khối chóp VS.ABCD=13SABCD.SH=1524. Chọn B.
Câu 15.
Trong tam giác vuông SAB, ta có
SA2=AH.AB=23AB.AB=23a2;
SH=SA2-AH2=a23.
Diện tích hình vuông ABCD là SABCD=a2.
Vậy VS.ABCD=13SABCD.SH=a329. Chọn D.
Câu 16.
Ta có ΔSAB=ΔSAD→SB=SD.
Hơn nữa, theo giả thiết SBD^=600.
Do đó ΔSBD đều cạnh SB=SD=BD=a2.
Tam giác vuông SAB, ta có SA=SB2-AB2=a.
Diện tích hình vuông ABCD là SABCD=a2.
Vậy VS.ABCD=13SABCD.SA=a33 (đvtt). Chọn C.
Câu 17.
Kẻ SH⊥AC. Do SAC⊥ABC theo giao tuyến AC nên SH⊥ABC.
Trong tam giác vuông SAC, ta có
SC=AC2-SA2=a3, SH=SA.SCAC=a32.
Tam giác vuông ABC, có BC=AC2-AB2=a3.
Diện tích tam giác ABC là SΔABC=12AB.BC=a232.
Vậy VS.ABC=13SΔABC.SH=a34. Chọn A.
Câu 18.
Ta có BC⊥AB (do ABCD là hình vuông). 1
Lại có BC⊥SA (do SA vuông góc với đáy ABCD). 2
Từ 1 và 2, suy ra BC⊥SAB⇒BC⊥SB. Do đó tam giác SBC vuông tại B.
Đặt cạnh hình vuông là x>0.
Tam giác SAB vuông tại A nên
SB=SA2+AB2=a2+x2.
Theo chứng minh trên, ta có tam giác SBC vuông tại B nên
a222=SΔABC=12SB.BC=12a2+x2.x→x=a.
Diện tích hình vuông ABCD là SABCD=a2.
Vậy VS.ABCD=13SABCD.SA=a33. Chọn C.
Câu 19. Gọi M,N lần lượt là trung điểm AB,AC. Suy ra G=CM∩BN là trọng tâm tam giác ABC. Theo giả thiết, ta có SG⊥ABC.
Tam giác ABC vuông cân tại C, suy ra CA=CB=AB2=32
và CM⊥AB.
Ta có CM=12AB=32, suy ra GM=13CM=12;
BG=BM2+GM2=102;SG=SB2-GB2=1.
Diện tích tam giác ABC là SΔABC=12CA.CB=94.
Vậy VS.ABC=13SΔABC.SG=34. Chọn C.
Câu 20. Gọi O=AC∩BD. Do S.ABCD là hình chóp đều nên SO⊥ABCD.
Suy ra OB là hình chiếu của SB trên ABCD.
Khi đó 600=SB,ABCD^=SB,OB^=SBO^.
Tam giác vuông SOB, có SO=OB.tanSBO^=a62.
Diện tích hình vuông ABC là SABCD=AB2=a2.
Vậy VS.ABCD=13SABCD.SO=a366. Chọn A.
Câu 21. Trong tam giác vuông ABC, ta có BC=AC2-AB2=26a.
Vì SA⊥ABCD nên hình chiếu vuông góc của SB trên mặt phẳng ABCD là AB.
Do đó 600=SB,ABCD^=SB,AB^=SBA^.
Tam giác vuông SAB, có SA=AB.tanSBA^=a3.
Diện tích hình chữ nhật SABCD=AB.BC=26a2.
Vậy VS.ABCD=13SABCD.SA=22a3. Chọn C.
Câu 22. Do SA⊥ABCD nên ta có
600=SB,ABC^=SB,AB^=SBA^.
Tam giác vuông SAB, có SA=AB.tanSBA^=a3.
Diện tích tam giác đều ABC là SΔABC=a234.
Vậy VS.ABC=13SΔABC.SA=a34. Chọn A.
Câu 23. Do SA⊥ABCD nên ta có 600=SD,ABCD^=SD,AD^=SDA^.
Tam giác vuông SAD, có SA=AD.tanSDA^=a3.
Diện tích hình thoi
SABCD=2SΔBAD=AB.AD.sinBAD^=a232.
Vậy thể tích khối chop VS.ABCD=13SABCD.SA=a32.
Chọn C.
Câu 24. Vì SH⊥ABCD nên hình chiếu vuông góc của SC trên mặt phẳng đáy ABCD là HC. Do đó 300=SC,ABCD^=SC,HC^=SCH^.
Tam giác vuông BCH, có HC=BC2+BH2=52.
Tam giác vuông SHC, có SH=HC.tanSCH^=156.
Diện tích hình vuông ABCD là SABCD=1.
Vậy VS.ABCD=13SABCD.SH=1518. Chọn B.
Câu 25. Gọi O là trung điểm AC, suy ra O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Theo giả thiết đỉnh S cách đều các điểm A,B,C nên hình chiếu của S xuống đáy là điểm O→SO⊥ABCD→hình chiếu vuông góc của SB trên mặt đáy ABCD là OB.
Do đó 600=SB,ABCD^=SB,OB^=SBO^.
Tam giác vuông SOB, có SO=OB.tanSBO^=a3.
Tam giác vuông ABC, có AB=AC2-BC2=a3.
Diện tích hình chữ nhật SABCD=AB.BC=a23.
Vậy VS.ABCD=13SABCD.SO=a3. Chọn D.
Câu 26. Vì SA⊥ABC nên hình chiếu vuông góc của SI trên mặt phẳng ABC là AI. Do đó 60o=SI,ABC^=SI,AI^=SIA^.
Tam giác ABC vuông tại A, suy ra trung tuyến AI=12BC=a22.
Tam giác vuông SAI, có SA=AI.tanSIA^=a62.
Diện tích tam giác vuông SΔABC=12AB.AC=a22.
Vậy VS.ABC=13SA.SΔABC=a3612. Chọn D.
Câu 27. Vì SH⊥ABC nên hình chiếu vuông góc của SA trên mặt đáy ABC là HA. Do đó 600=SA,ABC^=SA,HA^=SAH^.
Tam giác ABC đều cạnh a nên AH=a32.
Tam giác vuông SHA, có SH=AH.tanSAH^=3a2.
Diện tích tam giác đều ABC là SΔABC=a234.
Vậy VS.ABC=13SΔABC.SH=a338. Chọn A.
Câu 28. Gọi H là trung điểm AC. Do tam giác ABC vuông tại B nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Đỉnh S cách đều các điểm A,B,C nên hình chiếu của S trên mặt đáy ABC trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, suy ra SH⊥ABC. Do đó 600=SB,ABC^=SB,BH^=SBH^.
Tam giác vuông SHB, có
SH=BH.tanSBH^=AC2.tanSBH^=a3.
Tam giác vuông ABC, có AB=AC2-BC2=a3.
Diện tích tam giác vuông SΔABC=12BA.BC=a232.
Vậy VS.ABC=13SΔABC.SH=a32. Chọn C.
Câu 29. Vì SH⊥ABCD nên hình chiếu vuông góc của SD trên mặt đáy ABCD là HD. Do đó 600=SD,ABCD^=SD,HD^=SDH^.
Tam giác vuông SHD, có
SH=HD.tanSDH^=BD4.tanSDH^=34.
Trong hình vuông ABCD, có AB=BD2=12.
Diện tích hình vuông ABCD là SABCD=AB2=12.
Vậy VS.ABCD=13SABCD.SH=324. Chọn A.
Câu 30. Gọi O=AC∩BD; M là trung điểm AB. Suy ra H=BO∩CM.
Theo giả thiết SH⊥ABCD nên hình chiếu vuông góc của SD trên mặt đáy ABCD là HD. Do đó 300=SD,ABCD^=SD,HD^=SDH^.
Tam giác ABC và ADC đều cạnh a, suy ra
OD=a32OH=13BO=a36⇒HD=OD+OH=2a33.
Tam giác vuông SHD, có SH=HD.tanSDH^=2a3.
Diện tích hình thoi SABCD=2SΔABC=2.a234=a232.
Vậy VS.ABCD=13SABCD.SH=a339. Chọn C.
Câu 31. Ta có 450=SD,ABCD^=SD,AD^=SDA^.
Suy ra tam giác SAD vuông cân tại A nên SA=AD=2a.
Trong hình thang ABCD, kẻ BH⊥AD H∈AD.
Do ABCD là hình thang cân nên AH=AD-BC2=a2.
Tam giác AHB, có BH=AB2-AH2=a32.
Diện tích SABCD=12AD+BCBH=3a234.
Vậy VS.ABCD=13SABCD.SA=a332. Chọn B.
Câu 32. Hình chiếu vuông góc của SC trên mặt đáy là HC nên
300=SC,ABCD^=SC,HC^=SCH^.
Tam giác vuông SAD, có SA2=AH.AD
⇔12a2=34AD.AD=34AD2.
Suy ra AD=4a, HA=3a, HD=a, SH=HA.HD=a3,
HC=SH.cotSCH^=3a,CD=HC2-HD2=2a2.
Diện tích hình chữ nhật ABCD là SABCD=AD.CD=82a2.
Vậy thể tích khối chop VS.ABCD=13SABCD.SH=86a33. Chọn D.
Câu 33. Tam giác SAD vuông tại A, có AN là trung tuyến nên AN=12SD.
Gọi M là trung điểm AD, suy ra MN∥SA nên MN⊥ABCD.
Do đó 300=AN,ABCD^=AN,AM^=NAM^.
Tam giác vuông NMA, có AM=AN.cosNAM^=SD34.
Tam giác SAD, có SD2=SA2+AD2⇔SD2=a2+SD322 .
Suy ra SD=2a nên AD=a3.
Diện tích hình chữ nhật SABCD=AB.AD=a23.
Vậy VS.ABCD=13SABCD.SA=a333. Chọn B.
Câu 34. ABCD là hình vuông suy ra AB⊥AD. (1)
Vì SA⊥ABCD →SA⊥AD. 2
Từ 1 và 2, suy ra AD⊥SAB.
Khi đó SA là hình chiếu của SD trên mặt phẳng SAB.
Do đó 300= SD;SAB^=SD;SA^=DSA^.
Tam giác SAD vuông tại A, có SA=ADtanDSA^=a3.
Vậy thể tích khối chóp VS.ABCD=13SABCD.SA=a333. Chọn D.
Câu 35. Kẻ SH⊥BC. Vì SBC⊥ABCD theo giao tuyến BC nên SH⊥ABCD.
Ta có DC⊥BCDC⊥SH⇒DC⊥SBC. Do đó 600=SD,SBC^=SD,SC^=DSC^.
Từ DC⊥SBC→DC⊥SC.
Tam giác vuông SCD, có SC=DCtanDSC^=1.
Tam giác vuông SBC, có
SH=SB.SCBC=BC2-SC2.SCBC=63.
Diện tích hình vuông ABCD là SABCD=3.
Vậy VS.ABCD=13SABCD.SH=63. Chọn C.
Câu 36. Gọi E,F lần lượt là trung điểm BC,BA vàO=AE∩CF.
Do S.ABC là hình chóp đều nên SO⊥ABC.
Khi đó 600=SBC,ABC^=SE,OE^=SEO^.
Tam giác vuông SOE, có
SO=OE.tanSEO^=AE3.tan600=a36.3=a2.
Diện tích tam giác đều ABC là SΔABC=a234.
Vậy VS.ABC=13SΔABC.SO=a3324. Chọn A.
Câu 37. Ta có SA⊥ABCD⇒SA⊥CDnên cóCD⊥ADCD⊥SA⇒CD⊥SAD⇒CD⊥SD.
Do SCD∩ABCD=CDSD⊥CD;AD⊥CD, suy ra 600=SCD,ABCD^=SD,AD^=SDA^.
Tam giác vuông SAD, có SA=AD.tanSDA^=a3.
Diện tích hình vuông ABCD là SABCD=AB2=a2.
Vậy thể tích khối chóp VS.ABCD=13SABCD.SA=a333.
Chọn D.
Câu 38. Ta có SA⊥ABCD⇒SA⊥BCnên cóBC⊥ABBC⊥SA⇒BC⊥SAB⇒BC⊥SB.
Do SBC∩ABCD=BCSB⊥BC;AB⊥BC, suy ra 600=SBC,ABCD^=SB,AB^=SBA^.
Tam giác vuông SAB, có SA=AB.tanSBA^=a3.
Diện tích hình chữ nhật ABCD là
SABCD=AB.AD=a23.
Vậy thể tích khối chóp VS.ABCD=13SABCD.SA=a3.
Chọn C.
Câu 39. Vì SA⊥ABCD⇒SA⊥BD. 1
Gọi O=AC∩BD, suy ra BD⊥AO. 2
Từ 1 và 2, suy ra BD⊥SAO⇒BD⊥SO.
Do SBD∩ABCD=BDSO⊥BD,AO⊥BD, suy ra
600=SBD,ABCD^=SO,AO^=SOA^.
Tam giác vuông SAO, ta có SA=AO.tanSOA^=a62.
Diện tích hình vuông ABCD là SABCD=a2.
Vậy VS.ABCD=13SABCD.SA=a366. Chọn C.
Câu 40. Gọi H là trung điểm AB, suy ra SH⊥AB.
Mà SAB⊥ABCD theo giao tuyến AB nên SH⊥ABCD.
Tam giác ABC đều cạnh a nên
CH⊥AB→CH⊥CDCH=AB32=a32.
Ta có SCD∩ABCD=CDSC⊂SCD,SC⊥CDHC⊂ABCD,HC⊥CD suy ra
450=SCD,ABCD^=SC,HC^=SCH^.
Tam giác vuông SHC, có SH=HC.tanSCH^=a32.
Diện tích hình thoi ABCD là SABCD=2SΔADC=a232.
Vậy thể tích khối chóp VS.ABCD=13SABCD.SH=a34. Chọn A.
Câu 41. Gọi I là trung điểm AB, suy ra CI=AD=1=12AB.
Do đó tam giác ABC vuông tại C. Suy ra BC⊥AC nên
450=SBC,ABCD^=SC,AC^=SCA^.
Ta có AC=AD2+DC2=2.
Tam giác vuông SAC, có SA=AC.tanSCA^=2.
Diện tích hình thang SABCD=AB+DCAD2=32.
Vậy thể tích khối chóp VS.ABCD=13SABCD.SA=22.
Chọn C.
Câu 42.
Kẻ CK⊥AB. Ta có SΔABC=12AB.CK→CK=83cm.
Gọi H là chân đường cao của hình chóp hạ từ đỉnh C.
Xét tam giác vuông CHK, ta có
CH=CK.sinCKH^=CK.sinABC,ABD^=433.
Vậy thể tích khối tứ diện V=13SΔABD.CH=833cm3. Chọn D.
Câu 43. Do AB,AC và AD đôi một vuông góc với nhau nên
VABCD=16AB.AC.AD=16.6a.7a.4a=28a3.
Dễ thấy SΔMNP=14SΔBCD.
Suy ra VAMNP=14VABCD=7a3. Chọn D.
Câu 44. Vì G là trọng tâm của tam giác BCD nên SΔGBC=13SΔDBC.
Suy ra VA.GBC=13VABCD=13.12=4. Chọn B.
Câu 45. Gọi H là hình chiếu của A trên SB⇒AH⊥SB.
Ta có SA⊥ABCD⇒SA⊥BCAB⊥BC⇒BC⊥SAB⇒AH⊥BC.
Suy ra AH⊥SBC⇒dA,SBC=AH=a22.
Tam giác SAB vuông tại A, có 1AH2=1SA2+1AB2⇒SA=a.
Vậy V=13.SA.SABCD=a33. Chọn D.
Câu 46. Từ giả thiết suy ra AB=BC=a.
Diện tích tam giác SΔABC=12AB.BC=a22.
Do đó VS.ABC=13SΔABC.SA=a36.
Gọi I là trung điểm BC.
Do G là trọng tâm ΔSBC nên SGSI=23.
Vì BC∥α→BC song song với giao tuyến MN
→ΔAMN∽ΔABC theo tỉ số 23→SΔAMN=49SΔSBC.
Vậy thể tích khối chóp VS.AMN=49.VS.ABC=2a327.
Chọn A.
Nhận xét.
1) bạn đọc có thể tham khảo cách giải khác bằng tỉ số thể tích
2) Hai tam giác đồng dạng theo tỉ số k thì tỉ số thể tích bằng k2.
Câu 47.
Theo giả thiết, ta có SH=a3.
Diện tích tứ giác SCDNM=SABCD-SΔAMN-SΔBMC
=AB2-12AM.AN-12BM.BC=a2-a28-a24=5a28.
Vậy VS.CDNM=13SCDNM.SH=5a3324. Chọn B.
Câu 48. Gọi M là trung điểm CD, suy ra OM⊥CD nên
600=SCD,ABCD^=SM,OM^=SMO^.
Tam giác vuông SOM, có SO=OM.tanSMO^=a3.
Kẻ KH⊥OD⇒KH∥SO nên KH⊥ABCD.
Tam giác vuông SOD, ta có KHSO=DKDS=DO2DS2
=OD2SO2+OD2=25→KH=25SO=2a35.
Diện tích tam giác SΔADC=12AD.DC=2a2.
Vậy VDKAC=13SΔADC.KH=4a3315. Chọn C.
Câu 49*. Gọi M là trung điểm của AB⇒SM⊥AB. (1)
Ta có SA=SBASB^=600⇒ΔSAB đều→AB=aSM=a32.
Tam giác SAC, có AC=SA2+SC2=a10.
Tam giác SBC, có BC=SB2+SC2-2SB.SC.cosBSC^=a7.
Tam giác ABC, có cosBAC^=AB2+AC2-BC22AB.AC=105.
→CM=AM2+AC2-2AM.AC.cosBAC^=a332.
Ta có SM2+MC2=SC2=9a2→ΔSMC vuông tại M→SM⊥MC. 2
Từ 1 và 2, ta có SM⊥ABC.
Diện tích tam giác SΔABC=12AB.AC.sinBAC^=a262.
Vậy thể tích khối chop VSABC=13SΔABC.SM=a324. Chọn D.
Cách 2. (Dùng phương pháp tỉ số thể tích).
Trên cạnh SC lấy điểm D sao cho SD=a.
Dễ dàng suy ra
AB=CD=a,AD=a2SA=SD=a,AD=a2→ΔABDvuongcanΔSADvuongcan.
Lại có SA=SB=SD=a nên hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng ABD là trung điểm I của AD.
Ta tính được SI=a22 và SΔABD=12a2.
Suy ra VS.ABD=13SΔABD.SI=a3212.
Ta có VS.ABDVS.ABC=SDSC=13
→VS.ABC=3VS.ABD=a324.
Cách 3. Phương pháp trắc nghiệm. ” Cho hình chóp S.ABC có ASB^=α,BSC^=β,CSA^=γ và SA=a, SB=b, SC=c.” Khi đó ta có:
VS.ABC=abc61-cos2α-cos2β-cos2γ-2cosαcosβcosγ.
Áp dụng công thức, ta được VS.ABC=a324.
Câu 50. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD.
Tam giác SAB cân tại S suy ra SM⊥AB⇒SM⊥d, với d=SAB∩SCD.
Vì SAB⊥SCD suy ra SM⊥SCD⇒SM⊥SN và SMN⊥ABCD.
Kẻ SH⊥MN→SH⊥ABCD.
Ta có SΔSAB+SΔSCD=7a210⇔12AB.SM+12CD.SN=7a210→SM+SN=7a5.
Tam giác SMN vuông tại S nên SM2+SN2=MN2=a2.
Giải hệ SM+SN=7a5SM2+SN2=a2⇔SM=3a5&SN=4a5→SH=SM.SNMN=12a25.
Vậy thể tích khối chóp VS.ABCD=13.SABCD.SH=4a325. Chọn C.
Thể Tích Khối Chóp Toán 12 (Full Dạng) – Phần 1 | Thầy Nguyễn Phan Tiến
