Bạn đang xem: Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm, tìm m để phương trình sau có nghiệm Tại Website vuongquocdongu.com

Cách tìm m để hai phương trình có nghiệm chung cực hay

Cách tìm m để hai phương trình có nghiệm chung cực hay

A. Phương pháp giải

– Bài toán: Cho 2 phương trình dạng ax2 + bx + c = 0 có chứa tham số m. Tìm m để 2 phương trình có ít nhất một nghiệm chung

– Cách giải:

+ B1: Tìm điều kiện của m để 2 phương trình cùng có nghiệm

+ B2: Giả sử x0 là nghiệm chung của 2 phương trình. Tìm x0

+ B3: Thế x0 tìm được vào một trong hai phương trình tìm m

+ B4: Đối chiếu m tìm được với điều kiện ở B1, nếu thỏa mãn thì nhận, không thỏa mãn thì loại

Ví dụ 1: Cho 2 phương trình : x2 + mx + 2 = 0(1) và x2 + 2x + m = 0(2). Tìm m để hai phương trình có ít nhất một nghiệm chung

Giải

Phương trình (1) có nghiệm khi: Δ ≥ 0

Phương trình (2 ) có nghiệm khi: Δ’ ≥ 0 ⇔ 1 – m ≥ 0 ⇔ m ≤ 1

⇒ Điều kiện để 2 phương trình cùng có nghiệm là m ≤ -2√2 (*)

Giả sử x0 là nghiệm chung của 2 phương trình, ta có:

Trừ 2 phương trình cho nhau ta được: mx0 – 2×0 + 2 – m = 0 ⇔ (m – 2)x0 = m – 2

Do m ≤ -2√2 nên m – 2 ≠ 0, suy ra x0 = 1

Thay x0 = 1 vào phương trình (1): 1 + m + 2 = 0 hay m = -3( thỏa mãn (*))

Vậy với m = -3 thì 2 phương trình có ít nhất một nghiệm chung

Ví dụ 2: Cho 2 phương trình : x2 – 2mx + 4m = 0(1) và x2 – mx + 10m = 0(2) . Tìm m để phương trình (2) có một nghiệm gấp 2 lần một nghiệm của phương trình (1)

Giải

Phương trình (1) có nghiệm khi: Δ’ ≥ 0

Phương trình (2 ) có nghiệm khi: Δ ≥ 0

⇔ m2 – 40m ≥ 0 ⇔ m(m – 40) ≥ 0

⇒ Điều kiện để 2 phương trình cùng có nghiệm là m ≥ 40 ∨ m ≤ 0 (*)

Giả sử x0 là nghiệm của phương trình (2) thì 2×0 là nghiệm của phương trình (1). Thay x0 vào (2) và 2×0 vào (1) ta có:     

Trừ 2 phương trình cho nhau ta được: 9m = 0 ⇔ m = 0 (thỏa mãn (*))

Vậy với m = 0 thì phương trình (2) có một nghiệm gấp 2 lần một nghiệm của phương trình (1)

Ví dụ 3: Cho 2 phương trình : x2 + x + a = 0(1) và x2 + ax + 1 = 0(2).

a. Tìm a để 2 phương trình  có ít nhất một nghiệm chung

b. Tìm a để 2 phương trình tương đương

Giải

a. Phương trình (1) có nghiệm khi: Δ ≥ 0 ⇔ 1 – 4a ≥ 0 ⇔ a ≤ 1/4

Phương trình (2 ) có nghiệm khi: Δ ≥ 0

Điều kiện để 2 phương trình cùng có nghiệm là: a ≤ -2  (*)

Giả sử x0 là nghiệm chung của 2 phương trình (2) ta có:

Trừ 2 phương trình cho nhau ta được: x0(1 – a) – (1 – a) = 0

⇔   x0(1 – a) = (1 – a) (**)

Vì a ≤ -2  nên 1 – a luôn khác 0. Chia hai vế của (**) cho 1 – a ta được x0 = 1

Thay x0 = 1 vào (1) ta có: a = -2 ( thỏa mãn (*))

Vậy với a = -2 thì 2 phương trình  có ít nhất một nghiệm chung

b. Kí hiệu ∆1, S1, P1 lần lượt là biệt thức đen-ta, tổng 2 nghiệm, tích 2 nghiệm của phương trình (1)

Kí hiệu ∆2, S2, P2 lần lượt là biệt thức đen-ta, tổng 2 nghiệm, tích 2 nghiệm l của phương trình (2)

Hai phương trình tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm . Ta xét các trường hợp sau:

+ TH1: Hai phương trình cùng có tập nghiệm là rỗng

Trường hợp này xảy ra khi:

+ TH2: Hai phương trình có nghiệm kép giống nhau

Trường hợp này xảy ra khi vô nghiệm

+ TH3: Hai phương trình có nghiệm phân biệt giống nhau

Trường hợp này xảy ra khi

⇒ vô nghiệm

Vậy với  thì 2 phương trình đã cho tương đương

B. Bài tập

Câu 1: Số giá trị của m để hai phương trình x2 – 2mx – 4m + 1 = 0 (1) và x2 + (3m + 1)x + 2m + 1 = 0 (2) có nghiệm chung là

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Giải

Phương trình (1) có nghiệm khi  Δ’ ≥ 0 ⇔ m2 + 4m – 1 ≥ 0

Phương trình (2 ) có nghiệm khi Δ ≥ 0 ⇔ (3m + 1)2 – 4(2m + 1) ≥ 0 ⇔ 9m2 – 2m – 3 ≥ 0

Điều kiện để hai phương trình có nghiệm là:

Giả sử x0 là nghiệm chung của 2 phương trình, ta có:

Trừ 2 phương trình cho nhau ta được: -2mx0 – (3m + 1)x0 – 4m + 1 – 2m – 1 = 0 ⇔ -(5m + 1)x0 – 6m = 0

Nếu
 thì điều kiện (*) trở thành

⇒
 không thỏa mãn (*), nghĩa là với
thì hai phương trình đều vô nghiệm. Vậy muốn hai phương trình có nghiệm chung thì

Khi
thì

Thay  vào phương trình (1):

Xét –m + 1 = 0 ⇔  m = 1( thỏa mãn (*)) ⇒ nhận

Xét 40m2 + 7m + 1 = 0 có ∆ = 72 -4.40.1 = -111 < 0 nên vô nghiệm

Vậy với m = 1 thì 2 phương trình có nghiệm chung

Đáp án B

Câu 2: Số giá trị của m để hai phương trình 2×2 – (3m + 2)x + 12 = 0 (1) và 4×2 – (9m – 2)x + 36 = 0 (2) có nghiệm chung là

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Giải

Phương trình (1) có nghiệm khi: Δ ≥ 0 ⇔ (3m + 2)2 – 4.2.12 ≥ 0 ⇔ 9m2 + 12m – 92 ≥ 0

Phương trình (2) có nghiệm khi: Δ ≥ 0 ⇔ (9m – 2)2 – 4.4.36 ≥ 0 ⇔ 81m2 – 36m + 4 – 576 ≥ 0 ⇔ 81m2 – 36m – 572 ≥ 0

Điều kiện để hai phương trình có nghiệm là:

Giả sử x0 là nghiệm chung của 2 phương trình, ta có:

Trừ 2 phương trình cho nhau ta được: -(6m + 4)x0 + (9m – 2)x0 – 12 = 0 ⇔ (3m – 6)x0 – 12 = 0

Nếu m = 2 thì điều kiện (*) trở thành:

⇒ m = 2 không thỏa mãn (*), nghĩa là với m = 2 thì 2 phương trình cùng vô nghiệm

Vậy muốn hai phương trình có nghiệm chung thì m ≠ 2

Khi m ≠ 2 thì

Thay vào phương trình (1):

Xét m = 3( thỏa mãn (*)) ⇒ nhận

Vậy với m = 3 thì 2 phương trình có nghiệm chung

Đáp án B

Câu 3: Tổng các giá trị của m để hai phương trình 2×2 + (3m + 1)x – 9 = 0 (1) và 6×2 + (7m – 1)x – 19 = 0 (2) có nghiệm chung là

Giải

Phương trình (1) có nghiệm khi: Δ ≥ 0 ⇔ (3m + 1)2 – 4.2.(-9) ≥ 0 ⇔ (3m + 1)2 + 72 ≥ 0,(∀ m ∈ R)

Phương trình (2) có nghiệm khi: Δ ≥ 0 ⇔ (7m – 1)2 – 4.6.(-19) ≥ 0 ⇔ (7m-1)2 + 456 ≥ 0,(∀ m ∈ R)

⇒ Với mọi m hai phương trình luôn có nghiệm

Giả sử x0 là nghiệm chung của 2 phương trình, ta có:

Trừ 2 phương trình cho nhau ta được: (9m + 3)x0-(7m-1)x0-27+19=0 ⇔ (2m + 4)x0-8=0(*)

Nếu m = -2 thì phương trình  (*)  vô nghiệm

Nghĩa là với m = -2 thì 2 phương trình cùng không có nghiệm chung

Vậy muốn hai phương trình có nghiệm chung thì m ≠ -2

Khi m ≠ -2 thì

Thay  vào phương trình (1):

Vậy với m = 2,  thì 2 phương trình có nghiệm chung

Đáp án D

Câu 4: Tích các giá trị của m để hai phương trình 2×2 + mx – 1 = 0 (1) và mx2 – x + 2 = 0 (2) có nghiệm chung là

A. -1

B. 5

C. 8

D. -10

Giải

+) TH1: m = 0 thì phương trình (1): 2×2 – 1 = 0

Phương trình (2): -x + 2 = 0 ⇔  x = 2

⇒ với m = 0 thì hai phương trình không có nghiệm chung

+) TH2: m ≠ 0 thì hai phương trình đều là phương trình bậc hai. Khi đó

Phương trình (1) có nghiệm khi Δ ≥ 0 m2 + 8 ≥ 0,(∀ m ∈ R)

Phương trình (2 ) có nghiệm khi Δ ≥ 0 ⇔ 1 – 8m ≥ 0 ⇔ m ≤ 1/8

⇒ Với  hai phương trình luôn có nghiệm

Giả sử x0 là nghiệm chung của 2 phương trình, ta có:

Vì m ≠ 0 nên ta nhân 2 vế của phương trình thứ nhất với m, nhân 2 vế của phương trình thứ hai với 2 ta được:

Trừ 2 phương trình cho nhau ta được:

Thay vào phương trình (1):

Xét phương trình m2 – m + 7 = 0 có ∆ = (-1)2 – 4.1.7 = -27 < 0 nên vô nghiệm

Vậy với m = -1 thì 2 phương trình có nghiệm chung

Đáp án A

Câu 5: Cho hai phương trình x2 – (m + 4)x + m + 5 = 0 (1) và x2 – (m + 2)x + m + 1 = 0 (2), khẳng định nào sau đây là đúng

A. Có một giá trị của m để hai phương trình có nghiệm chung

B. Tích các giá trị của m để hai phương trình có nghiệm chung bằng 10

C. Giá trị của m để hai phương trình có nghiệm chung là số lớn hơn 3

D. Không có giá trị của m để hai phương trình có nghiệm chung

Giải

Phương trình (1) có nghiệm khi: Δ ≥ 0 ⇔ (m + 4)2 – 4(m + 5) ≥ 0

⇔ m2 + 8m + 16 – 4m – 20 ≥ 0 ⇔ m2 + 4m – 4 ≥ 0

Phương trình (2 ) có nghiệm khi: Δ ≥ 0 ⇔ (m + 2)2 – 4(m + 1) ≥ 0

⇔ m2 + 4m + 4-4m – 4 ≥ 0 ⇔ m2 ≥ 0,(∀ m ∈ R)

⇒ Điều kiện để hai phương trình luôn có nghiệm là: m2 + 4m – 4 ≥  0(*)

Giả sử x0 là nghiệm chung của 2 phương trình, ta có:

Trừ 2 phương trình cho nhau ta được:  -(m + 4)x0 + (m + 2)x0 + 4 = 0 ⇔ -2×0 + 4 = 0 ⇔ x0 = 2

Thay  vào phương trình (1):

Với m = 1 thì m2 + 4m – 4 = 1 + 4 – 4 = 1 > 0 thỏa mãn điều kiện (*)nên nhận

Vậy với m = 1 thì 2 phương trình có nghiệm chung

Đáp án A

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 chọn lọc, có đáp án hay khác:

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm lớp 9 tại khoahoc.vietjack.com

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng….miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k7: fb.com/groups/hoctap2k7/

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết – Bài tập Toán lớp 9 Đại số và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 9 và Hình học 9.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.

chuong-4-ham-so-y-ax2-phuong-trinh-bac-hai-mot-an.jsp

Xem thêm bài viết thuộc chuyên mục: Giáo Dục