Giải toán 8 bài 3: hình thang cân

Bạn đang xem: Giải toán 8 bài 3: hình thang cân Tại Website vuongquocdongu.com

Giải bài tập SGK Toán 8 trang 74, 75 giúp các em học sinh lớp 8 xem gợi ý giải các bài tập của Bài 3: Hình thang cân Hình học 8 Chương 1. Qua đó các em sẽ nhanh chóng hoàn thiện toàn bộ bài tập của bài 3 Chương I Hình học 8 tập 1.

Lý thuyết bài 3: Hình thang cân

1. Định nghĩa

Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.

Tứ giác ABCD là hình thang cân (đáy AB; CD)

và

2. Tính chất

Định lí 1: Trong hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau.

Định lí 2: Trong hình thang cân, hai đường chéo bằng nhau.

Định lí 3: Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.

3. Dấu hiệu nhận biết hình thang cân

Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình thang cân.

Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.

Giải bài tập toán 8 trang 74, 75 tập 1

Bài 11 (trang 74 SGK Toán 8 Tập 1)

Tính độ dài các cạnh của hình thang cân ABCD trên giấy kẻ ô vuông (hình 30, độ dài của cạnh ô vuông là 1cm)

Hình 30

Gợi ý đáp án:

Với độ dài cạnh ô vuông là 1cm thì: AB = 2 cm và DC = 4 cm

Kẻ , ta có AH = 3 cm

Áp dụng định lí Pi-ta-go trong tam giác vuông AHD, ta có:

ABCD là hình thang cân nên

Bài 12 (trang 74 SGK Toán 8 Tập 1)

Cho hình thang cân ABCD (AB // CD, AB < CD). Kẻ các đường cao AE, BF của hình thang. Chứng minh rằng DE = CF.

Gợi ý đáp án:

Xét hai tam giác vuông AED và BFC, ta có:

AD = BC (ABCD là hình thang cân)

(ABCD là hình thang cân)

Nên (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra DE = CF (đpcm)

Bài 13 (trang 74 SGK Toán 8 Tập 1)

Cho hình thang cân ABCD (AB // CD), E là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh rằng EA = EB, EC = ED

Gợi ý đáp án:

Xét hai tam giác ADC và BCD có:

AD = BC (ABCD là hình thang cân)

AC = BD (hai đường chéo của hình thang cân)

DC chung

Nên

Suy ra

Do đó cân tại E

Suy ra EC = ED

Mặt khác AC = BD nên EA = EB

Bài 14 (trang 75 SGK Toán 8 Tập 1)

Đố. Trong các tứ giác ABCD và EFGH trên giấy kẻ ô vuông (h.31), Tứ giác nào là hình thang cân? Vì sao?

Gợi ý đáp án:

Quan sát hình 31, dựa vào tính chất hai cạnh bên của hình thang, ta thấy:

Tứ giác ABCD có AD = BC nên ABCD là hình thang cân.

Tứ giác EHGF có nên EHGF không phải là hình thang cân.

Bài 15 (trang 75 SGK Toán 8 Tập 1)

Cho tam giác ABC cân tại A. Trên các cạnh AB, AC lấy theo thứ tự các điểm D và E sao cho AD = AE

a) Chứng mình rằng BDEC là hình thang cân

b) Tính các góc của hình thang đó, biết rằng

Gợi ý đáp án:

a) Ta có:

AD = AE nên cân tại A

Trong tam giác ADE có:

Tương tự trong tam giác ABC ta cũng có:

Từ (1) và (2) suy ra

Do đó DE // BC ⇒ BDEC là hình thang.

Mặt khác (ABC là tam giác cân)

Nên BDEC là hình thang cân.

b) Với , ta có:

Giải bài tập toán 8 trang 75 tập 1: Luyện tập

Bài 15 (trang 75 SGK Toán 8 Tập 1)

Cho tam giác ABC cân tại A, các đường phân giác BD, CE (D ∈ AC, E ∈ AB). Chứng minh rằng BEDC là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên.

Gợi ý đáp án:

Ta có:

(BD là phân giác)

(CE là phân giác)

Mà (tam giác ABC cân tại A)

Nên

Xét hai tam giác ADB và AEC có:

chung

AB = AC (tam giác ABC cân tại A)

(chứng minh trên)

Do đó

Suy ra AD = AE

Nên tam giác ADE cân tại A

Ta có:

(tam giác ADE cân tại A)

(tam giác ABC cân tại A)

Suy ra

Nên ED // BC

Do đó: tứ giác BEDC là hình thang

Hình thang BEDC có nên BEDC là hình thang cân.

Ta có (so le trong)

Mà (chứng minh trên)

Nên

Do đó tam giác BED cân tại E

Suy ra EB = ED

Vậy hình thang BEDC là hình thang cân có đáy nhỏ ED bằng cạnh bên EB.

Bài 17 (trang 75 SGK Toán 8 Tập 1)

Hình thang ABCD (AB//CD) có . Chứng minh rằng ABCD là hình thang cân.

Gợi ý đáp án:

Ta có

nên tam giác DEC cân tại E

Suy ra ED = EC (1)

Ta lại có:

Mà

Nên

Do đó tam giác AEB cân tại A ⇒ EA = EB (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AC = BD

Hình thang ABCD có hai đường chéo bằng nhau nên ABCD là hình thang cân.

Bài 18 (trang 75 SGK Toán 8 Tập 1)

Chứng minh định lí “Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân” qua bài toán sau: Cho hình thang ABCD (AB//CD) có AC = BD. Qua B kẻ đường thẳng song song với AC, cắt đường thẳng DC tại E. Chứng minh rằng:

a) là tam giác cân

b) .

c) Hình thang ABCD là hình thang cân

Gợi ý đáp án:

a) Ta có

⇒ AC = BE

Ta lại có: AC = BD (gt) ⇒ BE = BD

Do đó tam giác BDE cân tại B.

b) Ta có (hai góc đồng vị)

Ta lại có:

(tam giác BDE cân tại B)

Xét hai tam giác ACD và BDC có:

Cạnh DC chung

(chứng minh trên)

AD = BD (gt)

Nên

c) Hình thang ABCD có:

Nên hình thang ABCD là hình thang cân.

Bài 19 (trang 75 SGK Toán 8 Tập 1)

Đố. Cho ba điểm A, D, K trên giấy kẻ ô vuông (h.32). Hãy tìm điểm thứ tư M là giao điểm của các dòng kẻ sao cho nó cùng với ba điểm đã cho là bốn điểm của hình thang cân.

Gợi ý đáp án:

Nếu cạnh của mỗi ô vuông là 1 đơn vị thì:

Ta có: AK = 3 nên ta phải chọn M sao cho AM//DK và DM = 3. Khi đó ta được hình thang cân ADKM như hình dưới đây.

Giải bài tập SGK Toán 8 trang 74, 75 giúp các em học sinh lớp 8 xem gợi ý giải các bài tập của Bài 3: Hình thang cân Hình học 8 Chương 1. Qua đó các em sẽ nhanh chóng hoàn thiện toàn bộ bài tập của bài 3 Chương I Hình học 8 tập 1.

Lý thuyết bài 3: Hình thang cân

1. Định nghĩa

Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.

Tứ giác ABCD là hình thang cân (đáy AB; CD)

và

2. Tính chất

Định lí 1: Trong hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau.

Định lí 2: Trong hình thang cân, hai đường chéo bằng nhau.

Định lí 3: Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.

3. Dấu hiệu nhận biết hình thang cân

Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình thang cân.

Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.

Giải bài tập toán 8 trang 74, 75 tập 1

Bài 11 (trang 74 SGK Toán 8 Tập 1)

Tính độ dài các cạnh của hình thang cân ABCD trên giấy kẻ ô vuông (hình 30, độ dài của cạnh ô vuông là 1cm)

Hình 30

Gợi ý đáp án:

Với độ dài cạnh ô vuông là 1cm thì: AB = 2 cm và DC = 4 cm

Kẻ , ta có AH = 3 cm

Áp dụng định lí Pi-ta-go trong tam giác vuông AHD, ta có:

ABCD là hình thang cân nên

Bài 12 (trang 74 SGK Toán 8 Tập 1)

Cho hình thang cân ABCD (AB // CD, AB < CD). Kẻ các đường cao AE, BF của hình thang. Chứng minh rằng DE = CF.

Gợi ý đáp án:

Xét hai tam giác vuông AED và BFC, ta có:

AD = BC (ABCD là hình thang cân)

(ABCD là hình thang cân)

Nên (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra DE = CF (đpcm)

Bài 13 (trang 74 SGK Toán 8 Tập 1)

Cho hình thang cân ABCD (AB // CD), E là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh rằng EA = EB, EC = ED

Gợi ý đáp án:

Xét hai tam giác ADC và BCD có:

AD = BC (ABCD là hình thang cân)

AC = BD (hai đường chéo của hình thang cân)

DC chung

Nên

Suy ra

Do đó cân tại E

Suy ra EC = ED

Mặt khác AC = BD nên EA = EB

Bài 14 (trang 75 SGK Toán 8 Tập 1)

Đố. Trong các tứ giác ABCD và EFGH trên giấy kẻ ô vuông (h.31), Tứ giác nào là hình thang cân? Vì sao?

Gợi ý đáp án:

Quan sát hình 31, dựa vào tính chất hai cạnh bên của hình thang, ta thấy:

Tứ giác ABCD có AD = BC nên ABCD là hình thang cân.

Tứ giác EHGF có nên EHGF không phải là hình thang cân.

Bài 15 (trang 75 SGK Toán 8 Tập 1)

Cho tam giác ABC cân tại A. Trên các cạnh AB, AC lấy theo thứ tự các điểm D và E sao cho AD = AE

a) Chứng mình rằng BDEC là hình thang cân

b) Tính các góc của hình thang đó, biết rằng

Gợi ý đáp án:

a) Ta có:

AD = AE nên cân tại A

Trong tam giác ADE có:

Tương tự trong tam giác ABC ta cũng có:

Từ (1) và (2) suy ra

Do đó DE // BC ⇒ BDEC là hình thang.

Mặt khác (ABC là tam giác cân)

Nên BDEC là hình thang cân.

b) Với , ta có:

Giải bài tập toán 8 trang 75 tập 1: Luyện tập

Bài 15 (trang 75 SGK Toán 8 Tập 1)

Cho tam giác ABC cân tại A, các đường phân giác BD, CE (D ∈ AC, E ∈ AB). Chứng minh rằng BEDC là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên.

Gợi ý đáp án:

Ta có:

(BD là phân giác)

(CE là phân giác)

Mà (tam giác ABC cân tại A)

Nên

Xét hai tam giác ADB và AEC có:

chung

AB = AC (tam giác ABC cân tại A)

(chứng minh trên)

Do đó

Suy ra AD = AE

Nên tam giác ADE cân tại A

Ta có:

(tam giác ADE cân tại A)

(tam giác ABC cân tại A)

Suy ra

Nên ED // BC

Do đó: tứ giác BEDC là hình thang

Hình thang BEDC có nên BEDC là hình thang cân.

Ta có (so le trong)

Mà (chứng minh trên)

Nên

Do đó tam giác BED cân tại E

Suy ra EB = ED

Vậy hình thang BEDC là hình thang cân có đáy nhỏ ED bằng cạnh bên EB.

Bài 17 (trang 75 SGK Toán 8 Tập 1)

Hình thang ABCD (AB//CD) có . Chứng minh rằng ABCD là hình thang cân.

Gợi ý đáp án:

Ta có

nên tam giác DEC cân tại E

Suy ra ED = EC (1)

Ta lại có:

Mà

Nên

Do đó tam giác AEB cân tại A ⇒ EA = EB (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AC = BD

Hình thang ABCD có hai đường chéo bằng nhau nên ABCD là hình thang cân.

Bài 18 (trang 75 SGK Toán 8 Tập 1)

Chứng minh định lí “Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân” qua bài toán sau: Cho hình thang ABCD (AB//CD) có AC = BD. Qua B kẻ đường thẳng song song với AC, cắt đường thẳng DC tại E. Chứng minh rằng:

a) là tam giác cân

b) .

c) Hình thang ABCD là hình thang cân

Gợi ý đáp án:

a) Ta có

⇒ AC = BE

Ta lại có: AC = BD (gt) ⇒ BE = BD

Do đó tam giác BDE cân tại B.

b) Ta có (hai góc đồng vị)

Ta lại có:

(tam giác BDE cân tại B)

Xét hai tam giác ACD và BDC có:

Cạnh DC chung

(chứng minh trên)

AD = BD (gt)

Nên

c) Hình thang ABCD có:

Nên hình thang ABCD là hình thang cân.

Bài 19 (trang 75 SGK Toán 8 Tập 1)

Đố. Cho ba điểm A, D, K trên giấy kẻ ô vuông (h.32). Hãy tìm điểm thứ tư M là giao điểm của các dòng kẻ sao cho nó cùng với ba điểm đã cho là bốn điểm của hình thang cân.

Gợi ý đáp án:

Nếu cạnh của mỗi ô vuông là 1 đơn vị thì:

Ta có: AK = 3 nên ta phải chọn M sao cho AM//DK và DM = 3. Khi đó ta được hình thang cân ADKM như hình dưới đây.

Xem thêm bài viết thuộc chuyên mục: Giáo Dục