Cách viết phương trình tổng quát của đường thẳng lớp 10 cực hay
Cách viết phương trình tổng quát của đường thẳng lớp 10 cực hay
A. Phương pháp giải
Quảng cáo
* Để viết phương trình tổng quát của đường thẳng d ta cần xác định :
– Điểm A(x0; y0) thuộc d
– Một vectơ pháp tuyến ( a; b) của d
Khi đó phương trình tổng quát của d là: a(x-x0) + b(y-y0) = 0
* Cho đường thẳng d: ax+ by+ c= 0 nếu đường thẳng d// ∆ thì đường thẳng ∆ có dạng: ax + by + c’ = 0 (c’ ≠ c) .
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Đường thẳng đi qua A(1; -2) , nhận = (1; -2) làm véc tơ pháp tuyến có phương trình là:
A. x – 2y + 1 = 0.
B. 2x + y = 0
C. x – 2y – 5 = 0
D. x – 2y + 5 = 0
Lời giải
Gọi (d) là đường thẳng đi qua A và nhận = (1; -2) làm VTPT
=>Phương trình đường thẳng (d) : 1(x – 1) – 2(y + 2) = 0 hay x – 2y – 5 = 0
Chọn C.
Ví dụ 2: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ đi qua M(1; -3) và nhận vectơ (1; 2) làm vectơ pháp tuyến.
A. ∆: x + 2y + 5 = 0
B. ∆: x + 2y – 5 = 0
C. ∆: 2x + y + 1 = 0
D. Đáp án khác
Lời giải
Đường thẳng ∆: qua M( 1; -3) và VTPT (1; 2)
Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ là 1(x – 1) + 2(y + 3) = 0
Hay x + 2y + 5 = 0
Chọn A.
Quảng cáo
Ví dụ 3: Cho đường thẳng (d): x-2y + 1= 0 . Nếu đường thẳng (∆) đi qua M(1; -1) và song song với d thì ∆ có phương trình
A. x – 2y – 3 = 0
B. x – 2y + 5 = 0
C. x – 2y +3 = 0
D. x + 2y + 1 = 0
Lời giải
Do đường thẳng ∆// d nên đường thẳng ∆ có dạng x – 2y + c = 0 (c ≠ 1)
Ta lại có M(1; -1) ∈ (∆) ⇒ 1 – 2(-1) + c = 0 ⇔ c = -3
Vậy phương trình ∆: x – 2y – 3 = 0
Chọn A
Ví dụ 4: Cho ba điểm A(1; -2); B(5; -4) và C(-1;4) . Đường cao AA’ của tam giác ABC có phương trình
A. 3x – 4y + 8 = 0
B. 3x – 4y – 11 = 0
C. -6x + 8y + 11 = 0
D. 8x + 6y + 13 = 0
Lời giải
Ta có = (-6; 8)
Gọi AA’ là đường cao của tam giác ABC
⇒ AA’ nhận VTPT = = (-6; 8) và qua A(1; -2)
Suy ra phương trình AA’: -6(x – 1) + 8(y + 2) = 0
Hay -6x + 8y + 22 = 0 ⇔ 3x – 4y – 11 = 0.
Chọn B
Ví dụ 5. Đường thẳng d đi qua điểm A( 1; -3) và có vectơ pháp tuyến ( 1; 5) có phương trình tổng quát là:
A. d: x + 5y + 2 = 0
B. d: x- 5y + 2 = 0
C. x + 5y + 14 = 0
D. d: x – 5y + 7 = 0
Lời giải
Ta có: đường thẳng d: qua A( 1; -3) và VTPT ( 1; 5)
⇒ Phương trình tổng quát của đường thẳng d:
1( x – 1) + 5.(y + 3) = 0 hay x + 5y + 14 = 0
Chọn C.
Quảng cáo
Ví dụ 6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2; -1); B( 4; 5) và C( -3; 2) . Lập phương trình đường cao của tam giác ABC kẻ từ A
A. 7x + 3y – 11 = 0
B. -3x + 7y + 5 = 0
C. 3x + 7y + 2 = 0
D. 7x + 3y + 15 = 0
Lời giải
Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A.
Đường thẳng AH : qua A( 2;-1) và Nhận VTPT ( 7; 3)
⇒ Phương trình đường cao AH :
7( x – 2) + 3(y + 1) = 0 hay 7x + 3y – 11 = 0
Chọn A.
Ví dụ 7 : Cho tam giác ABC cân tại A có A(1 ; -2). Gọi M là trung điểm của BC và
M( -2 ; 1). Lập phương trình đường thẳng BC ?
A. x + y – 3 = 0
B. 2x – y + 6 = 0
C. x – y + 3 = 0
D. x + y + 1 = 0
Lời giải
+ Do tam giác ABC cân tại A nên đường trung tuyến AM đồng thời là đường cao
⇒ AM vuông góc BC.
⇒ Đường thẳng BC nhận ( -3 ; 3) = -3(1 ; -1) làm VTPT
+ Đường thẳng BC : qua M(-2; 1) và VTPT ( 1; -1)
⇒ Phương trình đường thẳng BC :
1(x + 2) – 1(y – 1) = 0 hay x – y + 3 = 0
Chọn C.
Ví dụ 8 : Cho tam giác ABC có đường cao BH : x + y – 2 = 0, đường cao CK : 2x + 3y – 5 = 0 và phương trình cạnh BC : 2x – y + 2 = 0. Lập phương trình đường cao kẻ từ A của tam giác ABC ?
A. x – 3y + 1 = 0
B. x + 4y – 5 = 0
C. x + 2y – 3 =0
D. 2x – y + 1 = 0
Lời giải
+ Gọi ba đường cao của tam giác ABC đồng quy tại P. Tọa độ của P là nghiệm hệ phương trình :
⇒ P( 1 ; 1)
+Tọa độ điểm B là nghiệm hệ phương trình :
⇒ B( 0 ;2)
Tương tự ta tìm được tọa độ C(-
;
)
+ Đường thẳng AP :
⇒ Phương trình đường thẳng AP :
1(x – 1) + 2(y – 1) = 0 ⇔ x + 2y – 3 = 0
Chọn C.
Ví dụ 9. Phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua O và song song với đường thẳng ∆ : 3x + 5y – 9 = 0 là:
A. 3x + 5y – 7 = 0
B. 3x + 5y = 0
C. 3x – 5y = 0
D. 3x – 5y + 9 = 0
Lời giải
Do đường thẳng d// ∆ nên đường thẳng d có dạng : 3x + 5y + c = 0 ( c ≠ – 9)
Do điểm O(0; 0) thuộc đường thẳng d nên :
3.0 + 5.0 + c = 0 ⇔ c = 0
Vậy phương trình đường thẳng d: 3x + 5y = 0
Chọn B.
Ví dụ 10: Cho tam giác ABC có B(-2; -4). Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và AC. Biết đường thẳng IJ có phương trình 2x – 3y + 1 = 0. Lập phương trình đường thẳng BC?
A. 2x + 3y – 1 = 0
B. 2x – 3y – 8 = 0
C. 2x + 3y – 6 = 0
D. 2x – 3y + 1 = 0
Lời giải
Do I và J lần lượt là trung điểm của AB và AC nên IJ là đường trung bình của tam giác ABC.
⇒ IJ// BC.
⇒ Đường thẳng BC có dạng : 2x – 3y + c = 0 ( c ≠ 1)
Mà điểm B thuộc BC nên: 2.(-2) – 3(-4) + c = 0 ⇔ c = -8
⇒ phương trình đường thẳng BC: 2x – 3y – 8 = 0
Chọn B.
Ví dụ 11. Cho ba đường thẳng (a):3x – 2y + 5 = 0; (b): 2x + 4y – 7 = 0 và
(c): 3x + 4y – 1 = 0 . Phương trình đường thẳng d đi qua giao điểm của a và b , và song song với c là:
A. 24x + 32y – 53 = 0.
B. 23x + 32y + 53 = 0
C. 24x – 33y + 12 = 0.
D. Đáp án khác
Lời giải
Giao điểm của (a) và ( b) nếu có là nghiệm hệ phương trình :
⇒ A(
;
)
Ta có đường thẳng d // c nên đường thẳng d có dạng: 3x+ 4y+ c= 0 (c≠-1)
Vì điểm A thuộc đường thẳng d nên : 3.
+ 4.
+ c = 0 ⇔ c=
Vậy d: 3x + 4y +
= 0 ⇔ d3 = 24x + 32y – 53 = 0
Chọn A.
C. Bài tập vận dụng
Câu 1: Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm M( 2 ; 1) và nhận vecto
( -2 ; 1) làm VTPT ?
A. 2x + y – 5 = 0
B. – 2x + y + 3 = 0
C. 2x – y – 4 = 0
D. 2x + y – 1 = 0
Hiển thị lời giải
Đáp án: B
Trả lời:
Đường thẳng d :
⇒ Phương trình đường thẳng d : – 2(x – 2) + 1(y – 1) = 0
Hay (d) : -2x + y + 3 = 0.
Câu 2: Cho đường thẳng (a) : 2x+ y- 3=0 và (b) : 3x- 4y+ 1= 0. Lập phương trình đường thẳng d đi qua giao điểm của hai đường thẳng a và b ; nhận vecto
( 2 ; -3) làm VTPT ?
A. 2x – 3y + 6 = 0
B. -2x – 3y + 6 = 0
C. 2x – 3y + 1 = 0
D. 2x + 3y – 1 =0
Hiển thị lời giải
Đáp án: C
Trả lời:
+ Giao điểm A của hai đường thẳng a và b là nghiệm hệ phương trình :
⇒ A( 1 ; 1)
+ Đường thẳng (d) :
⇒ Phương trình đường thẳng d : 2(x – 1) – 3(y – 1) = 0 hay 2x – 3y + 1 = 0.
Câu 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2; -1),
B(4; 5) và C( -3; 2) . Lập phương trình đường cao của tam giác ABC kẻ từ B
A. 3x – 5y + 1 = 0
B. 3x + 5y – 20 = 0
C. 3x + 5y – 12 = 0
D. 5x – 3y -5 = 0
Hiển thị lời giải
Đáp án: D
Trả lời:
Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ B của tam giác ABC.
Đường thẳng BH :
⇒ Phương trình đường cao BH :
5(x – 4) – 3(y – 5) = 0 hay 5x – 3y – 5 = 0
Câu 4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2;-1) ; B( 4;5) và C( -3; 2). Tìm trực tâm tam giác ABC?
A. (
; –
)
B. (
;
)
C. (
;
)
D. (
;
)
Hiển thị lời giải
Đáp án: B
Trả lời:
+ Gọi H và K lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ C và B của tam giác ABC.
+ Đường thẳng CH :
⇒ Phương trình đường cao CH :
2(x + 3) + 6(y – 2) = 0 hay 2x + 6y – 6 = 0
⇔ (CH) : x+ 3y – 3= 0
+ Đường thẳng BK :
=>Phương trình đường cao BK : – 5(x – 4) + 3(y – 5)=0 hay -5x + 3y + 5 = 0.
+ Gọi P là trực tâm tam giác ABC. Khi đó P là giao điểm của hai đường cao CH và BK nên tọa độ điểm P là nghiệm hệ :
Vậy trực tâm tam giác ABC là P(
;
)
Câu 5: Cho tam giác ABC có A( 2;-1) ; B( 4; 5) và C( -3; 2). Phương trình tổng quát của đường cao AH của tam giác ABC là:
A. 3x – 7y + 11 = 0.
B. 7x + 3y – 11 = 0
C. 3x – 7y – 13 = 0.
D. 7x + 3y + 13 = 0.
Hiển thị lời giải
Đáp án: B
Trả lời:
Gọi AH là đường cao của tam giác.
Đường thẳng AH : đi qua A( 2; -1) và nhận = (-7; -3) = – (7; 3) làm VTPT
=> Phương trình tổng quát AH: 7(x – 2) + 3(y + 1)= 0 hay 7x + 3y – 11 = 0
Câu 6: Cho đường thẳng (d): 3x- 2y+ 8= 0. Đường thẳng ∆ đi qua M(3; 1) và song song với (d) có phương trình:
A. 3x – 2y – 7 = 0.
B. 2x + 3y – 9 = 0.
C. 2x – 3y – 3 = 0.
D. 3x – 2y + 1 = 0
Hiển thị lời giải
Đáp án: A
Trả lời:
Do ∆ song song với d nên có phương trình dạng: 3x – 2y + c = 0 (c ≠ 8)
Mà ∆ đi qua M (3;1) nên 3.3 – 2.1 + c = 0 nên c = – 7
Vậy phương trình ∆: 3x – 2y – 7 = 0
Câu 7: Cho tam giác ABC có B(2; -3). Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và AC. Biết đường thẳng IJ có phương trình x- y+ 3= 0. Lập phương trình đường thẳng BC?
A. x + y + 2 = 0
B. x – y – 5 = 0
C. x – y + 6 = 0
D. x – y = 0
Hiển thị lời giải
Đáp án: B
Trả lời:
Do I và J lần lượt là trung điểm của AB và AC nên IJ là đường trung bình của tam giác ABC.
⇒ IJ// BC.
⇒ Đường thẳng BC có dạng : x – y + c = 0 ( c ≠ 3)
Mà điểm B thuộc BC nên: 2 – (-3) + c = 0 ⇔ c = -5
⇒ phương trình đường thẳng BC: x – y – 5 = 0
Câu 8: Cho tam giác ABC cân tại A có A(3 ; 2). Gọi M là trung điểm của BC và M( -2 ; -4). Lập phương trình đường thẳng BC ?
A. 6x – 5y + 13 = 0
B. 5x – 6y + 6 = 0
C. 5x + 6y + 34 = 0
D. 5x + 6y + 1 = 0
Hiển thị lời giải
Đáp án: C
Trả lời:
+ Do tam giác ABC cân tại A nên đường trung tuyến AM đồng thời là đường cao
⇒ AM vuông góc BC.
⇒ Đường thẳng BC nhận ( – 5; -6) = -(5; 6) làm VTPT
+ Đường thẳng BC :
⇒ Phương trình đường thẳng BC :
5(x + 2) + 6( y + 4) = 0 hay 5x + 6y + 34= 0
Câu 9: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua điểm M( -1; 2) và song song với trục Ox.
A. y + 2 = 0
B. x + 1 = 0
C. x – 1 = 0
D. y – 2 = 0
Hiển thị lời giải
Đáp án: D
Trả lời:
Trục Ox có phương trình y= 0
Đường thẳng d song song với trục Ox có dạng : y + c = 0 ( c ≠ 0)
Vì đường thẳng d đi qua điểm M( -1 ;2) nên 2 + c = 0 ⇔ c= -2
Vậy phương trình đường thẳng d cần tìm là : y – 2= 0
Chuyên đề Toán 10: đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
Ngân hàng trắc nghiệm lớp 10 tại khoahoc.vietjack.com
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng….miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k6: fb.com/groups/hoctap2k6/
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:
Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.
phuong-phap-toa-do-trong-mat-phang.jsp
Phương Trình Đường Thẳng (Toán 10) – Buổi 1: Phương Trình Tổng Quát | Thầy Nguyễn Phan Tiến
