Giáo Dục

Cách giải bất phương trình mũ

Bài viết hướng dẫn giải một số dạng toán bất phương trình mũ thường gặp trong chương trình Giải tích 12.

A. TÓM TẮT SÁCH GIÁO KHOA
Bất phương trình mũ cơ bản là bất phương trình có một trong các dạng:
${a^x} > m$, ${a^x} \ge m$, ${a^x} < m$, ${a^x} \le m$ với $0 < a \ne 1.$

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Phương pháp chung:
Áp dụng tính chất đồng biến, nghịch biến của hàm số mũ để giải.

Vấn đề 1: Bất phương trình mũ dạng cơ bản.
1. PHƯƠNG PHÁP:
Với bất phương trình ${a^x} > m$ $(1).$
+ Nếu $m \le 0$ thì tập nghiệm của $(1)$ là $S = R$ (vì ${a^x} > 0$, $\forall x \in R$).
+ Nếu $m>0$ thì: $(1) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x > {{\log }_a}m{\rm{\:khi\:}}a > 1}\\
{x < {{\log }_a}m{\rm{\:khi\:}}0 < a < 1}
\end{array}} \right..$

2. CÁC VÍ DỤ:
Ví dụ 1: Giải các bất phương trình sau:
a) ${3^x} > 81.$
b) ${\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} > 32.$

a) ${3^x} > 81$ $ \Leftrightarrow {3^x} > {3^4}$ $ \Leftrightarrow x > 4.$
b) ${\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} > 32$ $ \Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} > {2^5}$ $ \Leftrightarrow {2^{ – x}} > {2^5}$ $ \Leftrightarrow – x > 5$ $ \Leftrightarrow x < – 5.$

Ví dụ 2: Giải bất phương trình sau: ${3^x} + {3^{x + 1}} + {3^{x – 1}} < {5^x} + {5^{x + 1}} + {5^{x – 1}}.$

Ta có: ${3^x} + {3^{x + 1}} + {3^{x – 1}} < {5^x} + {5^{x + 1}} + {5^{x – 1}}$ $ \Leftrightarrow {3^x}\left( {1 + 3 + \frac{1}{3}} \right) < {5^x}\left( {1 + 5 + \frac{1}{5}} \right)$ $ \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{5}} \right)^x} < \frac{{93}}{{65}}$ $ \Leftrightarrow x > {\log _{\frac{3}{5}}}\frac{{93}}{{65}}.$

3. BÀI TẬP:
1. Giải các bất phương trình sau:
a) ${3^{{x^2} – 2x + {{\log }_3}5}} > 5.$
b) ${8.4^{\frac{{x – 3}}{{{x^2} + 1}}}} < 1.$

2. Giải các bất phương trình:
a) ${2^{ – {x^2} + 3x}} < 4.$
b) ${\left( {\frac{7}{9}} \right)^{2{x^2} – 3x}} \ge \frac{9}{7}.$

3. Giải bất phương trình: ${3^{x + 2}} + {3^{x – 1}} \le 28.$

4. Giải bất phương trình: ${5^{{{\log }_3}\frac{{x – 2}}{x}}} < 1.$

Vấn đề 2: Đưa bất phương trình mũ về cùng một cơ số.
1. PHƯƠNG PHÁP:
Với $0 < a \ne 1$. Ta có:
+ ${a^{f(x)}} > {a^{g(x)}}$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{f(x) > g(x)\:nếu\:a > 1}\\
{f(x) < g(x)\:nếu\:0 < a < 1}
\end{array}} \right..$
+ ${a^{f(x)}} \ge {a^{g(x)}}$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{f(x) \ge g(x)\:nếu\:a > 1}\\
{f(x) \le g(x)\:nếu\:0 < a < 1}
\end{array}} \right..$

2. CÁC VÍ DỤ:
Ví dụ 1: Giải bất phương trình: ${3^{{x^2} – 2x}} < 3.$

Xem thêm :  Nguyên tử khối của kali (k)? kali (k) hóa trị mấy?

Ta có: ${3^{{x^2} – 2x}} < 3$ $ \Leftrightarrow {x^2} – 2x < 1$ $ \Leftrightarrow 1 – \sqrt 2 < x < 1 + \sqrt 2 .$

Ví dụ 2: Giải bất phương trình: ${2^{|x – 2|}} > {4^{|x + 1|}}.$

Ta có: ${2^{|x – 2|}} > {4^{|x + 1|}}$ $ \Leftrightarrow {2^{|x – 2|}} > {2^{2|x + 1|}}$ $ \Leftrightarrow |x – 2| > 2|x + 1|$ $ \Leftrightarrow {x^2} – 4x + 4 > 4{x^2} + 8x + 4$ $ \Leftrightarrow 3{x^2} + 12x < 0$ $ \Leftrightarrow – 4 < x < 0.$
Vậy nghiệm của bất phương trình là: $-4< x < 0.$

Ví dụ 3: Giải bất phương trình: ${\left( {\sqrt {10} + 3} \right)^{\frac{{x – 3}}{{x – 1}}}} < {\left( {\sqrt {10} – 3} \right)^{\frac{{x + 1}}{{x + 3}}}}.$

Điều kiện: $x \ne 1$, $x \ne – 3.$
Nhận xét: $(\sqrt {10} + 3).(\sqrt {10} – 3) = 1$ $ \Rightarrow (\sqrt {10} – 3) = {(\sqrt {10} + 3)^{ – 1}}.$
${(\sqrt {10} + 3)^{\frac{{x – 3}}{{x – 1}}}} < {(\sqrt {10} – 3)^{\frac{{x + 1}}{{x + 3}}}}$ $ \Leftrightarrow {(\sqrt {10} + 3)^{\frac{{x – 3}}{{x – 1}}}} < {(\sqrt {10} + 3)^{ – \frac{{x + 1}}{{x + 3}}}}$ $ \Leftrightarrow \frac{{x – 3}}{{x – 1}} < – \frac{{x + 1}}{{x + 3}}$ $ \Leftrightarrow \frac{{x – 3}}{{x – 1}} + \frac{{x + 1}}{{x + 3}} < 0$ $ \Leftrightarrow \frac{{{x^2} – 5}}{{(x – 1)(x + 3)}} < 0$ $ \Leftrightarrow – 3 < x < – \sqrt 5 $ hoặc $1 < x < \sqrt 5 .$
Vậy nghiệm của bất phương trình: $ – 3 < x < – \sqrt 5 $ hoặc $1 < x < \sqrt 5 .$

3. BÀI TẬP:
1. Giải bất phương trình: ${(\sqrt 2 + 1)^{\frac{{6x – 6}}{{x + 1}}}} \le {(\sqrt 2 – 1)^{ – x}}.$

2. Giải các bất phương trình sau:
a) $\frac{1}{{{2^{|2x – 1|}}}} > \frac{1}{{{2^{3x – 1}}}}.$
b) ${\left( {\frac{3}{7}} \right)^{{x^2} + 1}} \ge {\left( {\frac{3}{7}} \right)^{3x – 1}}.$

3. Giải bất phương trình: ${3^{\sqrt {{x^2} – 2x} }} \ge {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{x – |x – 1|}}.$

4. Giải bất phương trình: ${x^{2{x^2} – 5x + 2}} \ge 1$ (với $0 < x \ne 1$).

Vấn đề 3: Phương pháp đặt ẩn số phụ.
1. PHƯƠNG PHÁP:
Nếu đặt $t = {a^x}$, điều kiện $t>0$ thì:
${a^{2x}} = {\left( {{a^2}} \right)^x} = {\left( {{a^x}} \right)^2} = {t^2}.$
${a^{3x}} = {t^3}.$
${a^{ – x}} = \frac{1}{t}.$
……
Lưu ý một số kết quả sau thường sử dụng khi đặt ẩn phụ:
${(\sqrt 2 – 1)^x}{(\sqrt 2 + 1)^x} = 1.$
${(2 – \sqrt 3 )^x}{(2 + \sqrt 3 )^x} = 1.$
${(4 – \sqrt {15} )^x}{(4 + \sqrt {15} )^x} = 1.$
${(\sqrt {7 – \sqrt {48} } )^x}{(\sqrt {7 + \sqrt {48} } )^x} = 1.$

2. CÁC VÍ DỤ:
Ví dụ 1: Giải bất phương trình: ${4^x} – {2.5^{2x}} < {10^x}.$

Xem thêm :  Code giải phương trình bậc 2 trong c/c++

${4^x} – {2.5^{2x}} < {10^x}$ $ \Leftrightarrow 1 – 2.{\left( {\frac{5}{2}} \right)^{2x}} < {\left( {\frac{5}{2}} \right)^x}$ $(1).$
Đặt $t = {\left( {\frac{5}{2}} \right)^x}$, điều kiện $t > 0.$
$(1)$ trở thành $1 – 2{t^2} < t$ $ \Leftrightarrow 2{t^2} + t – 1 > 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t < – 1}\\
{t > \frac{1}{2}}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow {\left( {\frac{5}{2}} \right)^x} > \frac{1}{2}$ $ \Leftrightarrow x > {\log _{\frac{5}{2}}}\frac{1}{2}$ $ \Leftrightarrow x > – {\log _{\frac{5}{2}}}2.$

Ví dụ 2: Giải bất phương trình: ${(\sqrt 5 + 1)^{x – {x^2}}} + {2^{ – {x^2} + x + 1}} < 3.{(\sqrt 5 – 1)^{x – {x^2}}}.$

Ta có: ${(\sqrt 5 + 1)^{x – {x^2}}} + {2^{ – {x^2} + x + 1}} < 3.{(\sqrt 5 – 1)^{x – {x^2}}}$ $(1).$
Ta có: ${2^{ – {x^2} + x}} > 0$ với mọi $x.$ Chia hai vế cho ${2^{ – {x^2} + x}}$ ta được:
$(1) \Leftrightarrow {\left( {\frac{{\sqrt 5 + 1}}{2}} \right)^{x – {x^2}}} + 2 < 3{\left( {\frac{{\sqrt 5 – 1}}{2}} \right)^{x – {x^2}}}$ $(2).$
Ta nhận thấy $\left( {\frac{{\sqrt 5 + 1}}{2}} \right)\left( {\frac{{\sqrt 5 – 1}}{2}} \right) = 1.$
Đặt ${\left( {\frac{{\sqrt 5 + 1}}{2}} \right)^{x – {x^2}}} = t$, $t > 0$ $ \Rightarrow {\left( {\frac{{\sqrt 5 – 1}}{2}} \right)^{x – {x^2}}} = \frac{1}{t}.$
$(2)$ trở thành:
$t + 2 < \frac{3}{t}$ $ \Leftrightarrow {t^2} + 2t – 3 < 0$ $ \Leftrightarrow 0 < t < 1$ $ \Leftrightarrow 0 < {\left( {\frac{{\sqrt 5 + 1}}{2}} \right)^{x – {x^2}}} < 1$ $ \Leftrightarrow x – {x^2} < 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x < 0}\\
{x > 1}
\end{array}} \right..$

3. BÀI TẬP:
1. Giải các bất phương trình sau:
a) ${4^x} – {3.2^x} + 2 > 0.$
b) ${\left( {\frac{1}{3}} \right)^{\frac{2}{x}}} + {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{\frac{1}{x}}} > 12.$

2. Giải các bất phương trình sau:
a) ${9^{\sqrt {{x^2} – 3x} }} + 3 < {28.3^{\sqrt {{x^2} – 3x – 1} }}.$
b) ${2^{3x}} – \frac{8}{{{2^{3x}}}} – 6\left( {{2^x} – \frac{1}{{{2^{x – 1}}}}} \right) \le 1.$

3. Giải bất phương trình: ${25^{1 + 2x – {x^2}}} + {9^{1 + 2x – {x^2}}} \ge {34.15^{2x – {x^2}}}.$

4. Giải các bất phương trình sau:
a) ${3^{2x}} – {8.3^{x + \sqrt {x + 4} }} – {9.9^{\sqrt {x + 4} }} > 0.$
b) ${2^{2\sqrt {x + 3} – x – 6}} + {15.2^{\sqrt {x + 3} – 5}} < {2^x}.$

5. Giải bất phương trình: ${x^2}{2^{2x}} + 9(x + 2){.2^x} + 8{x^2}$ $ \le (x + 2){2^{2x}} + 9{x^2}{2^x} + 8x + 16.$

Vấn đề 4: Phương pháp lôgarit hóa.
1. PHƯƠNG PHÁP:
Với bất phương trình mũ mà hai vế là tích hay thương của nhiều lũy thừa với các cơ số khác nhau thì ta có thể lấy lôgarit hai vế, ta có:
+ ${a^{f(x)}} > {b^{g(x)}}$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{f(x) > g(x).{{\log }_a}b{\rm{\:nếu\:}}a > 1}\\
{f(x) < g(x).{{\log }_a}b{\rm{\:nếu\:}}0 < a < 1}
\end{array}.} \right.$
+ ${a^{f(x)}} \ge {b^{g(x)}}$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{f(x) \ge g(x).{{\log }_a}b{\rm{\:nếu\:}}a > 1}\\
{f(x) \le g(x).{{\log }_a}b{\rm{\:nếu\:}}0 < a < 1}
\end{array}.} \right.$

Xem thêm :  Soạn bài đánh nhau với cối xay gió dễ hiểu nhất – ngữ văn 8

2. CÁC VÍ DỤ:
Ví dụ 1: Giải bất phương trình: ${3^{2x – 1}} < {11^{3 – x}}.$

${3^{2x – 1}} < {11^{3 – x}}$ $ \Leftrightarrow 2x – 1 < {\log _3}{11^{3 – x}}$ $ \Leftrightarrow 2x – 1 < (3 – x){\log _3}11$ $ \Leftrightarrow x < \frac{{3{{\log }_3}11 + 1}}{{2 + {{\log }_3}11}}.$

Ví dụ 2: Giải bất phương trình ${(x – 2)^{{x^2} – 6x + 8}} > 1$ với $2 < x \ne 3.$

${(x – 2)^{{x^2} – 6x + 8}} > 1$ với $2 < x \ne 3$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x – 2 > 0}\\
{(x – 2 – 1)\left( {{x^2} – 6x + 8 – 0} \right) > 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x > 2}\\
{2 < x < 3{\rm{\:hoặc\:}}x > 4}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow 2 < x < 3$ hoặc $x > 4.$

3. BÀI TẬP:
1. Giải các bất phương trình sau:
a) ${5^{{x^2} – 1}} + {5^{{x^2}}} \ge {7^x} – {7^{x – 1}}.$
b) ${5^{4{x^2} – 3}} > {5.3^{3x – 3}}.$

2. Giải các bất phương trình sau:
a) ${5^x}{.8^{\frac{{x – 1}}{x}}} > 500.$
b) ${3^{{x^2}}}{.2^x} \le 1.$


Bất Phương Trình Mũ (Toán 12) | Thầy Nguyễn Phan Tiến


Bất Phương Trình Mũ (Toán 12) | Thầy Nguyễn Phan Tiến
? Đăng kí học ĐẦY ĐỦ VIDEO LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP TỰ LUYỆN
có Full Đáp Án Chi Tiết xem ở đây: https://thaynguyenphantien.vn
? Các em tham gia các nhóm học tập trên FB nhé
2004 Toán Thầy Tiến: https://thaynguyenphantien.vn/2k4
2005 Toán Thầy Tiến: https://thaynguyenphantien.vn/2k5
2006 Toán Thầy Tiến: https://thaynguyenphantien.vn/2k6
?Tiktok Dạy Toán: https://www.tiktok.com/@thaytien.daytoan
? Fanpage Chính Thức : https://fb.com/thaynguyenphantien
? Facebook cá nhân : https://fb.com/thaytientoan8910
? Website: https://thaynguyenphantien.vn
? Học ONLINE : Khóa học Video trên Web kết hợp với Livestream Fb đầy đủ bài tập, đáp án chi tiết và hỗ trợ tận tình, giải đáp thắc mắc bài tập mọi lúc mọi nơi, khóa luyện thi chuyên nghiệp nhất
? Học OFFLINE tại tòa SinhPlaza, số 18 Đức Diễn, Bắc Từ Liêm, Hà Nội.
Khi các bạn vẫn đang xả hơi, ham chơi thì đối thủ vẫn đang âm thầm nỗ lực học tập.
Vậy nên chúng ta không bắt đầu cố gắng từ bây giờ thì chúng ta \

Xem thêm bài viết thuộc chuyên mục: Giáo Dục

Related Articles

Back to top button